Kumpulan soal dan pembahasan trigonometri analitika kelas 11

\(\cos(α-β)=\cos α ·\cos β +\sin α · \sin β =\cos \frac{π}{3}\) 
\(⇒\cos α ·\cos β + \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
\(⇒\cos α ·\cos β = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)

selanjutnya 
\(\cos(α+β)=\cos α ·\cos β -\sin α · \sin β=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 \)

Ketika kita menemukan soal ini dan melihat sudutnya bukan sudut istimewa maka langkah selanjutnya segera cari rumus trigono yang berhubungan dengan soal di atas.

gunakan rumus
\(\sin α° – \sin β°=2\cos{\frac{1}{2}(α+β)}\sin{\frac{1}{2}(α-β)}\)

\(\sin {75}°-\sin {165}°\)
\(=2\cos{\frac{1}{2}(75+165)°}\sin{\frac{1}{2}(75-165)°}\)
\(=2\cos{\frac{240}{2}}\sin{(-\frac{90}{2})}\)
\(=2\cos{120}\sin{(-45)}\)
\(=2 (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2}\sqrt 2)\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt {2}\)

dari bentuk soalnya semua dalam cos sehingga kita harus ubah terlebih dahulu nilai cos 2x dalam cos juga supaya bisa langsung difaktorkan, jangan ubah cos 2x dalam sin, pasti bakalan pusing.

gunakan rumus \(\cos 2x = 2\cos^2 x – 1\)

selanjutnya
\(\cos 2x – 2\cos x = -1\)
\(2\cos^2 x – 1 – 2\cos x +1=0\)
\(2\cos^2 x  – 2\cos x =0\)
\(2\cos x(\cos x – 1)=0\)
\(\cos x = 0 ∨ \cos x = 1\)

Untuk \(\cos x = 0\), nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\{\frac{π}{2}, \frac{3π}{2}\}\)
untuk \(\cos x = 1\), nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\{0, 2π\}\)

Jadi HP nya adalah \(\{0, \frac{π}{2}, \frac{3π}{2}, 2π\}\)

ubah terlebih dahulu cos 2x dalam sin, dengan menggunakan rumus

\(\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x\)

selanjutnya
\(4 \sin x = 1 + 2\cos 2x\)
\(4 \sin x = 1 + 2(1 – 2\sin^2 x)\)
\(4 \sin x = 1 + 2 – 4\sin^2 x\)
\(4 \sin x = 3 – 4\sin^2 x\)
\( 4\sin^2 x + 4 \sin x-3=0\)
\((2\sin x – 1)(2\sin x +3)=0\) 
\(\sin x = \frac{1}{2} ∨ \sin x =- \frac{3}{2}\)

untuk  \(\sin x = \frac{1}{2}\), nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\{30°, 150°\}\)
untuk  \(\sin x = -\frac{3}{2}\), tidak ada nilai \(x\) yang memenuhi karena nilai \(\sin x\) kurang dari \(-1\)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\{30°, 150°\}\)

\(\cot x = \frac{3}{4}⇒\tan x = \frac{4}{3}\)
dengan bantuan segitiga siku-siku untuk mencari nilai \(\sin x\) dan \(\cos x\)

\(\sin x =\frac{4}{5}\) dan \(\cos x =\frac{3}{5}\)

Selanjutnya gunakan rumus 
\(\sin α° + \sin β°=2\sin{\frac{1}{2}(α+β)}\cos{\frac{1}{2}(α-β)}\), dan
\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

\(\sin 3x + \sin x \)
\(=2\sin{\frac{1}{2}(3x+x)}\cos{\frac{1}{2}(3x-x)}\)
\(=2\sin{\frac{1}{2}(4x)}\cos{\frac{1}{2}(2x)}\)
\(=2\sin 2x \cos x\)
\(=2(2\sin x \cos x) \cos x\)
\(=4\sin x \cos x \cos x\)
\(=4(\frac{4}{5})(\frac{3}{5})(\frac{3}{5})\)
\(=\frac{144}{125}\)

ubah terlebih dahulu cos 2x dalam sin, dengan menggunakan rumus
\(\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x\)

\(\cos 2x – \sin x = 0\) 
\(1 – 2\sin^2 x – \sin x = 0\)
\( 2\sin^2 x + \sin x – 1 = 0\)
\((2\sin x – 1)(\sin x +1)=0\) 
\(\sin x = \frac{1}{2} ∨ \sin x = – 1\)

untuk \(\sin x = \frac{1}{2}\), nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\{30°, 150°\}\)
untuk \(\sin x = -1\), nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\{270°\}\)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(\{30°, 150°, 270°\}\)

\(\sin α = \frac{3}{5}\) dan \(\cos β = \frac{12}{13}\)
dengan bantuan segitiga siku-siku untuk mencari nilai \(\sin\) dan \(\cos\)

(gambar tidak sesuai skala hanya membantu dalam perhitungan mencari nilai sin dan cos)

Dari gambar, diperoleh \(\cos α = \frac{4}{5}\) dan \(\sin β = \frac{5}{13}\)
selanjutnya

\(\begin{align}
\sin(α+β)&=\sin α \cos β + \cos α \sinβ \\
&=\frac{3}{5}·\frac{12}{13} + \frac{4}{5}·\frac{5}{13}\\
&=\frac{36}{65}+\frac{20}{65}\\
&=\frac{56}{65}\\
\end{align}\)

untuk mengambar segi-12 cukup rumit, maka kita cukup mengambar potongan segitiga yang termuat di segi-12

titik O dan AB  merupakan titik pusat dan panjang sisi segi-12 beraturan, \(∠AOB=30º\)  diperoleh dari \(\frac{360}{12}=30°\)

\([AOB]=\frac{192}{12}=16 cm^2\)
panjang \(AO = OB\)
\([AOB]=\frac{1}{2} (AO^2)\sin 30°\)
\(=\frac{1}{2} (AO^2)\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{4}(AO^2)= 16 ⇒AO =\sqrt{64}=8\)

Dengan menggunakan aturan cosinus

\(\begin{align}
AB^2 &= OA^2 + OB^2 – 2(OA)(OB)\cos 30°\\
&=64+64-2(8)(8)(\frac{1}{2}\sqrt 3)\\
&=128-2(64)(\frac{1}{2}\sqrt 3)\\
&=128-64\sqrt 3\\
\end{align}\)

\(AB=\sqrt{128-64\sqrt 3}=8\sqrt{2-\sqrt 3}\)

Jadi keliling segi-12 adalah \(12AB=12(8\sqrt{2-\sqrt 3})=96\sqrt{2-\sqrt 3}\)

klo rusuknya 5 cm, kelilingnya 12(5)=60 cm (kurang jelas maksud soal, g sesuai dengan pilihan)

Gunakan rumus \(\sin(A-B)=\sin A \cos B – \cos A \sin B\)

\(\sin (A-B)=\sin A \cos B – \cos A \sin B=q\)
\(⇒p- \cos A \sin B=q\)
\(⇒\cos A \sin B=p-q\) (kudua ruas dibagi \( \sin A \cos B = p\))
\(⇒\frac{\cos A \sin B}{\sin A \cos B}=\frac{p-q}{p}\)
\(⇒\frac{\cos A}{\sin A}·\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{p-q}{p}\)
\(⇒\cot A \tan B =1-\frac{q}{p}\)