Asian Science And Math Olympiad (ASMO) 2019 For Grade 8 - BorneoMath

11. Odd integers starting from 1 are grouped as follows: (1), (3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19), …, where the \(n^{th}\) group consists of n odd integers. Determine how many odd integers are there in the same group which 2019 belongs to.

\((1)\) mediannya \(1\)
\((3, 5)\) mediannya \(4\)
\((7, 9, 11)\) mediannya \(9\)
\((13, 15, 17, 19)\) mediannya adalah \(16\)
Cari bilangan kuadrat yang paling dekat dengan 2019, bilangan kuadrat terdekat adalah \(45^2 = 2025\)
Kemungkinan kelompoknya adalah

\((…,….,…., 2019, 2020, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026, 2027, …,…,…)\)

Jadi banyaknya bilangan pada kelompok yang memuat \(2019\) adalah \(45\) bilangan

12. Let \(x – y =1\). Determine the value of \(x^4 – xy^3- x^3y -3x^2y +3xy^2 + y^4\).

\(\begin{align}
𝑥^4– 𝑥𝑦^3 − 𝑥^3𝑦 − 3𝑥^2𝑦 + 3𝑥𝑦^2 + 𝑦^4 &= 𝑥^4 − 𝑥^3𝑦 − 3𝑥^2𝑦 + 3𝑥𝑦^2 + 𝑦^4– 𝑥𝑦^3\\
&= 𝑥^3(𝑥 − 𝑦) − 3𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦) + 𝑦^3(𝑦 − 𝑥)\\
&= 𝑥^3 − 3𝑥𝑦 − 𝑦^3\\
&= (𝑥 − 𝑦)^3 + 3𝑥𝑦(𝑥 − 𝑦) − 3𝑥𝑦\\
&= 1 + 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦\\
&= 1\\
\end{align}\)

13. A number lock has a 3-digit code. Determine the correct code from the following hints.
9 5 0: nothing is correct.
8 6 7: one digit is correct but in the wrong position.
9 0 2: one digit is correct but in the wrong position.
8 0 4: one digit is correct and in the correct position.
4 2 8: two digits are correct but in the wrong position.

ASMO

Bagian 1, 9, 5 dan 0 tidak termasuk sebagi angka kode kunci.

Bagian 3. 902 satu digit benar posisi salah, digit yang benar
adalah 2, kemungkinan posisinya adalah 2,_,_ atau _,2_

Bagian 5, 428 dua digit benar posisinya salah, salah satu dari dua digit yang benar adalah 2. Berdasarkan petunjuk bagian 3 kemunkinan yang benar adalah 2,_, _

Bagian 4, 804, satu angka benar dan posisinya juga benar, angka yang benar adalah 4, jadi kemungkinanya 2, _ , 4.

Dari bagian 2 angka yang benar tapi posisi salah adalah angka 7.
Jadi kodenya yang tepat adalah 274

14. Nina has listed down all the whole numbers from 1 to 2016 both inclusive on a piece of paper. After that, she circles all the multiples of two in red, all the multiples of three in blue and all the multiples of four in green. Determine how many whole numbers Nina circles exactly twice.

not yet available

15. Figure below shows a rectangle ABCR is inscribed in a sector of circle RST. Arc TBS is one quarter of a circle with center R and radius 6 units. If the length plus the width of the rectangle ABCR is 10, determine the perimeter of the shaded region.

Diketahui \(𝑆𝑅 = 6 = 𝑅𝐵\) dan \(𝑎 + 𝑏 = 10\)

\(\begin{align}
\text{𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 arsiran} &= 𝐴𝐶 + 𝐶𝑇 + 𝐴𝑆 + 𝑆̂𝑇\\
&= 6 + 6 − 𝑏 + 6 − 𝑎 +\frac{1}{4}(2𝜋)6\\
&= 18 − (𝑎 + 𝑏) + 3𝜋\\
&= 18 − 10 + 3𝜋 = 8 + 3𝜋\\
\end{align}\)

16. Determine the number of multiples of 3 that are less than 1000 but not divisible by either 9 or by 10.

Banyak bilangan kelipatan \(3 = ⌊\frac{999}{3}⌋ = 333\)
Banyak bilangan kelipatan \(9 = ⌊\frac{999}{9}⌋ = 111\)
Banyak bilangan kelipatan \(30 = ⌊\frac{999}{30}⌋ = 33\)
Banyak bilangan kelipatan \(90 = ⌊\frac{999}{90}⌋ = 11\)
Jadi banyaknya bilangan kelipatan \(3\) yang tidak habis dibagi \(9\) atau \(10\) adalah
\(333 − 111 − 33 + 11 = 200\)

17. Find the value of

\(\frac{(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})…(1-\frac{1}{2007^2})}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})…(1-\frac{1}{2007})}\)

\(=\frac{(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})…(1-\frac{1}{2007})(1+\frac{1}{2007})}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{4})…(1-\frac{1}{2007})}\)

\(=(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\)\((1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{5})…(1+\frac{1}{2006})(1+\frac{1}{2007})\)

\(=(\frac{3}{2})(\frac{4}{3})\)\((\frac{5}{4})(\frac{6}{5})…(\frac{2007}{2006})(\frac{2008}{2007})\)

\(=(\frac{2008}{2})=1004\)

18. Determine how many three-digit integers less than 1000 have exactly two different digits in their representation (for example, 232, or 466)?

Bilangan tiga angka yang memiliki dua digit berbeda adalah bilangan tiga angka yang memiliki tepat dua digit kembar.

Yang memua angka nol, \(\overline{a00}\) ada 9 bilangan \(\overline{aa0}\) dan \(\overline{a0a}\) ada \(18\) bilangan. Banyak bilangan yang memuat angka \(0\) adalah \(27\) bilangan.

Bilangan yang tidak memuat angka nol, \(\overline{abb}\) banyak permutasi ada \(3\) dan banyak susunan \(9 × 8 = 72\). Banyak bilangan yang tidak memuat angka \(0\) ada \(3 × 72 = 216\)

Jadi banyak bilangan \(3\) digit yang tepat memiliki \(2\) digit berbeda adalah \(216 + 27 = 243\)
bilangan

19. Let \(ABC\) be a triangle and \(D\) be a point on the segment \(BC\) such that \(DC=2BD\). Let \(E\) be the mid-point of \(AC\). Let \(AD\) and \(BE\) intersect in \(P\). Determine the ratios \(\frac{BP}{PE}\) and \(\frac{AP}{PD}\).

not yet available

20. Determine the smallest positive integer \(x\) such that \(x(x +1)(x + 2)\) is divisible by \(247\).

\(𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 𝑘. 247\)
\(𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 𝑘. 13.19 = 39.38.37\)
Jadi nilai \(x\) terkecil yang memenuhi adalah \(37\)

21. The Hawaiian alphabet consists of 7 consonants and 5 vowels. How many three-letter “words” are possible if there are never two consonants together and if a word must always end in a vowel?

Misalkan huruf Vokal : \(V\) dan Konsonan : \(K\)
\(KVV\), banyak kemungkinan \(7 × 5 × 5 = 175\)
\(VKV\), banyak kemungkinan \(5 × 7 × 5 = 175\)
\(VVV\), banyak kemungkinan \(5 × 5 × 5 = 125\)
Jadi banyak kemungkinan adalah \(175 + 175 + 125 = 475\)

22. Solve \(615 +x^2=2^y\) where \(x\) and \(y\) are integers.

Misalkan bilangan \(𝑦 = 2𝑎\)

\(615 + 𝑥^2 = 2^𝑦\)
\(615 + 𝑥^2 = 2^{2𝑎} = (2𝑎 )^2\)
\((2^𝑎 )^2 − 𝑥^2 = 615\)
\((2^𝑎 + 𝑥)(2^𝑎 − 𝑥) = 41 × 15 = 123 × 5 = 615 × 1 = 205 × 3\)
Kemungkinan nilai dari
\(2^𝑎 + 𝑥 + 2^𝑎 − 𝑥 = \{56, 128, 616, 208\}\)
\(2(2^𝑎 ) = \{56, 128, 616, 208\}\)
\((2^𝑎 ) = \{28, 64, 308, 104\}\)
Yang memenuhi \(2^𝑎 = 64 ⇒ 𝑎 = 6\), diperoleh nilai \(𝑦 = 2(6) = 12\) dan nilai \(x\) adalah
\(2𝑎 − 𝑥 = 5\)
\(𝑥 = 2^6 − 5 = 59\)

Jadi nilai \(x\) dan \(y\) yang memenuhi adalah \(59\) dan \(12\)

23. The positive integer \(N\) has six digits in increasing order. For example, \(124 689\) is such a number where \(1<2<4<6<8<9\). However, unlike \(124 689\), three of the digits of \(N\) are \(3, 4\) and \(5\), and \(N\) is a multiple of \(6\). Determine all the possible six-digit integers \(N\).

Kemungkinan susunan bilangan
12345_
1345__
2345__
345___
Syarat bilangan habis dibagi 6 adalah habis dibagi 2 dan habis dibagi 3, Jika habis habis dibagi dua digit terakhir genap, Jika habis dibagi 3 maka jumlah angkanya habis dibagi 3. Dengan melakukan percobaan bilangan N yang memenuhi adalah 123456, 134568, dan 345678.

24. A square is inscribed in a circle. A smaller square is drawn. It shares a side with the inscribed square and its other two corners touch the circle. Determine the ratio of the area of small square to the area of large square.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\((\frac{1}{2}𝑎√2)^2= (\frac{1}{2}𝑏)^2+ (\frac{1}{2}𝑎 + 𝑏)^2\)
\(⇒\frac{1}{2}𝑎^2 =\frac{1}{4}𝑏^2 +\frac{1}{4}𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2\)
\(⇒2𝑎^2 = 𝑏^2 + 𝑎^2 + 4𝑎𝑏 + 4𝑏^2\)
\(⇒𝑎^2 = 5𝑏^2 + 4𝑎𝑏\)
\(⇒𝑎^2 − 4𝑎𝑏 − 5𝑏^2 = 0\)
\(⇒(𝑎 − 5𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 0\)
\(⇒𝑎 = 5𝑏 ⋁𝑎 = −𝑏\)

Yang memenuhi adalah \(𝑎 = 5𝑏\), perbandingan \(𝑎: 𝑏 = 5: 1\). Jadi perbandingan luas persegi besar dan persegi kecil adalah \(𝑎^2: 𝑏^2 = 25 ∶ 1\)

25. Let \(x\) be a positive integer such that \(x^2 +19x +48\) is a perfect square. Determine the value of \(x\).

\(𝑥^2 + 19𝑥 + 48 = 𝑛^2\)
\(⇒4𝑥^2 + 76𝑥 + 192 = 4𝑛^2\)
\(⇒(2𝑥 + 19)^2 − 169 = (2𝑛)^2\)
\(⇒(2𝑥 + 19)^2 − (2𝑛)^2 = 169\)
\(⇒(2𝑥 + 19 + 2𝑛)(2𝑥 + 19 − 2𝑛) = 169 × 1 = 13 × 13\)

Karena \(x\) positif maka yang mungkin adalah
\(2𝑥 + 19 + 2𝑛 = 169\)
\(2𝑥 + 19 − 2𝑛 = 1\)
___________________+
\(4𝑥 + 38 = 170\)
\(4𝑥 = 132\)
\(𝑥 = 33\)

Pages: 1 2

Pages ( 2 of 2 ): « Previous 1 2

Related Posts

Asian Science And Math Olympiad (ASMO) 2019 For Grade 10

Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika tahun 2023 Part 1

Contoh soal Aljabar tentang suku sejenis dan koefisien suku

Leave a Reply Cancel reply