Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 1

Banyak pembagi positif sama saja dengan banyaknya faktor positif dari \(2^{2020}\). karena \(2^{2020}\) sudah dalam bentuk faktorisasi prima maka banyak faktor positifnya adalah \(2020 + 1 = 2021\)

Misalkan banyaknya pensil merah adalah \(M\) , pensil biru adalah \(B\) dan semua pensil adalah \(N\) , maka
\(M={\frac{15}{100}}\times N\) \(\iff \) \(N={\frac{100}{15}}\times M\) \(\iff \) \(N={\frac{100}{15}}\times 18=120\)
\(B={\frac{40}{100}}\times N ={\frac{40}{100}}\times 120=48 \)
jadi banyaknya pensil biru adalah 48 pensil

– Banyak susunan seluruhnya \(={\frac{6!}{2!\times 2!}}=180\)
– Banyak susunan Jika TT berdekatan \(={\frac{5!}{2!}}=60\)
– Banyak susunan Jika KK berdekatan \(={\frac{5!}{2!}}=60\)
– Banyak susunan Jika TT dan KK berdekatan \(=4!=24\)
Jadi banyak susunan jika huruf yang sama tidak berdekatan adalah \(180 – 60 – 60 + 24 = 84\)

Polanya berulang pada tulisan \(MAKANTIDUR\) yang terdiri dari 10 huruf dengan 4 huruf vocal. Karena banyak susunan huruf ada 2020 dan 2020 habis dibagi oleh 10, maka banyak huruf Vokal dalam susunan tersebut adalah \(\frac{2020}{10}\times 4 = 808\)

\(2 + 20 + 22 + 200 + 202 + 220 + 222 + 2000 + 2002 + 2020 = 6910\)

Misalkan usia Aco adalah \(A\) dan usia Boci adalah \(B\)
\({A-2}=3\times ({B-2})\)
\({A-2}=3B-6\)
\(A=-4+3B … (1)\)
selanjutnya
\(B+2={\frac{1}{2}}(A+2) =>(A+2)=2(B+2)\)
\(A+2=2B+4\)
\(A-2B=2 … (2)\)
subtitusi persamaan (1) ke Persamaan (2)
\(-4+3B-2B=2\)
\(B=6\)
subtitusi nilai B ke persamaan (1)
\(A=-4+3(6)=-4+18=14\)
Jadi jumlah usia Aco dan Boci saat ini adalah \(14 + 6 = 20\) tahun

Misalkan banyak mainan Hendra \(= 𝐻\), Marwan \(= 𝑀\) dan Sofyan \(= 𝑆\)
\(𝑀 = \{1,2,3,4,5\}\)
\(H = \{1,2,3,4,5\}\)
\(S = \{1,2,3,4,5\}\)
\(𝑀 + 𝐻 ≤ 7\)
\(𝑀 + 𝑆 ≤ 7\)
\(𝑆 + 𝐻 ≤ 7\)
Dengan melakukan observasi  jumlah maksimum dicapai ketika salah satu dari mereka memiliki 4 mobil dan lainnya 3 mobil. Jadi total maksimum adalah 10 mobil.

• Banyak kemungkinan susunan digit seluruhnya adalah \(3^{6}=729\) cara
• Hanya menggunakan digit 1 dan 2 adalah \(2^{6}=64\) cara
• Hanya menggunakan digit 1 dan 3 adalah \(2^{6}=64\) cara
• Hanya menggunakan digit 2 dan 3 adalah \(2^{6}=64\) cara
• Hanya menggunakan digit 1 saja, 2 saja atau 3 saja ada 3 cara
Jadi banyaknya susunan angka seluruhnya adalah \(729 – 64 – 64 – 64 + 3 = 540\) cara

Misalkan
Volume kubus 1 dengan panjang sisi \(a\) adalah \(a^{3}\)
Volume kubus 2 dengan panjang sisi \(b\) adalah \(b^{3}\)
\(𝑎^3 + 𝑏^3=25\)
\(𝑎+𝑏=4\)
Yang dicari adalah jumlah luas permukaan kedua kubus = \(6(𝑎^2 + 𝑏^2)\)
\(𝑎^3 + 𝑏^3=(𝑎+𝑏)(𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2)=25\)
\(4(𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2)=25\)
\(𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2=\frac{25}{4} … (1)\)
selanjutnya
\(𝑎+𝑏=4\)
\((𝑎+𝑏)^2=𝑎^2 + 𝑏^2 + 2𝑎𝑏=16 … (2)\)
Kurangkan persamaan (2) dan (1), diperoleh
\(3𝑎𝑏 =\frac{39}{4}\)
\(𝑎𝑏 =\frac{13}{4}\)
Jumlah luas permukaan adalah
\( 6(𝑎^2 + 𝑏^2)=6((𝑎+𝑏)^2 − 2𝑎𝑏)= 6(16−2(\frac{13}{4})) = 6(16−(\frac{13}{2}))=6(\frac{19}{2})=57\)

Kita hitung mulai dari bawah, pada posisi dasar dianggap 1

Untuk sampai ke segitiga di atas ada 4 cara, karena ada 4 titik sudut segitiga berbeda yang saling sekutu dengan segitiga di atas.

Untuk sampai ke segitiga di atas ada 3 cara, karena ada 3 titik sudut segitiga berbeda yang saling sekutu dengan segitiga di atas.
Dengan demikian jika dilanjutkan terus menerus ke atas maka di peroleh 153 cara.

Dengan observasi bilangan  yang memenuhi kondisi di atas adalah bilangan yang bersatuan 1, 5 dan 6
\(1^𝑛 \) satuannya selalu 1
\(5^𝑛\) satuannya selalu 5
\(6^𝑛\) satuannya selalu 6
karena yang dicari bilangan terkecil \(𝑎\) dan \(b\), maka kita pilih \(𝑎=1\) dan \(b=5\).
Jadi  nilai terkecil \(a+b=1+5\)

Misalkan anggota barisan bilangan di atas di simbolkan dengan \(x\) kecuali 2020 dan 3602 karena sudah dipastikan bahwa bukan kuadrat sempurna, maka nilai \(x\) berada pada rentang \(45^2<𝑥< 60^2\).
Bilangan pada barisan di atas ketika dibagi 7 memberikan sisa 4,
misalkan barisan bilangan \(45, 46, 47, …, 60\) dapat dibentuk menjadi \((7𝑎+𝑏),𝑎\) bilangan bulat positif dan \(𝑏=\) {0,1,2,3,4,5,6}, selanjutnya kita selidiki,
\((7𝑎+𝑏)^2=49𝑎^2+14𝑎𝑏+𝑏^2=7(7𝑎^2+2𝑎𝑏)+𝑏^2\) maka haruslah \(𝑏^2 mod 7 = 4\)
Karena nilai \(𝑏\)  terbatas hanya dari 0 sampai dengan 6, setelah di cek, maka nilai \(𝑏\) yang memenuhi adalah 2 dan 5
Dengan demikian bilangan dari \(45, 46, 47, …, 60\) yang ketika dibagi 7 memberi sisa 2 atau 5 adalah \(47, 51, 54\) dan \(58\)

\(500 =2^2\times 5^3\)
\(a=2^x\times 5^y\)
\(b=2^w\times 5^z\)
\(c=2^p\times 5^q\)
\(𝑎𝑏𝑐 =2^{𝑥+𝑤+𝑝}\times 5^{𝑦+𝑧+𝑞}\)
Diperoleh:
\(x+w+p=2\)
Dengan menggunakan teorema star bars banyak pasangan (x, w, p) adalah
\({3+2-1}\choose {3-1}\)=\({4\choose 2}=6\) pasangan
\(y+z+q=3\)
Dengan menggunakan teorema star bars banyak pasangan (y, z, q) adalah
\({3+3-1}\choose {3-1}\)=\({5\choose 2}=10\) pasangan
Jadi banyak pasangan \((𝑎,𝑏,𝑐)\) seluruhnya adalah \(6\times {10}=60\) pasangan

\(a+b+c=42\)
\(𝑎𝑏=7𝑐\)
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
\(𝑎^2+𝑏^2=𝑐^2\)
\((𝑎+𝑏)^2−2𝑎𝑏=𝑐^2\)
\((42−𝑐)^2−14𝑐=𝑐^2\)
\(1764−84𝑐+𝑐^2−14𝑐=𝑐^2\)
\(1764=98𝑐\)
\(𝑐=18\)
Dengan demikian panjang sisi miring segitiga adalah 18

Banyak digit bilangan dari \(1\) sampai dengan \(9\) ada \(9\) digit.
Banyak digit bilangan dari \(10\) sampai dengan \(99\) ada \(180\)digit.
Banyak digit bilangan dari \(100\) sampai dengan \(709\) ada \(1830\)digit.
Banyak digit bilangan dari \(1\) sampai dengan \(709\) adalah \(9 + 180 + 1830 = 2019\).
Dengan demikian \(710\) adalah terhitung digit \( ke-2020, ke-2021\), dan \(ke -2022\).
Jadi \(3\) angka yang dimulai dari digit \(ke -2020 \)adalah \(710\).

Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh
\((2𝑎)^2+(3𝑎)^2=𝑐^2−𝑏^2\)
\(4𝑎^2+9𝑎^2=(𝑐−𝑏)(𝑐+𝑏)\)
\(13𝑎^2=(𝑐−𝑏)(𝑐+𝑏)\)
Karena \(𝑎,𝑏\) dan \(𝑐\) adalah bilangan bulat positif, maka dipilih \(𝑎\) minimum yaitu 1, sehingga
\(13=(𝑐−𝑏)(𝑐+𝑏)\)
\(𝑐+𝑏=13\)
\(𝑐−𝑏=1\)
Dengan menggunakan eliminasi diperoleh \(𝑐=7\) dan \(𝑏=6\)
Jadi nilai minimum yang mungkin dari \(𝑎+𝑏+𝑐=14\).

\(2𝑥^6+3𝑥^4−2𝑥^2=0\)
\(x^2(2𝑥^4+3𝑥^2−2=0\)
Diperoleh \(𝑥^2=0\) atau \(2𝑥^4+3𝑥^2−2=0\)
Untuk \(𝑥^2=0\) diperoleh \(𝑥=0\)
Untuk \(2𝑥^4+3𝑥^2−2=0\) dan \(𝑥≠0\)
Misal: \(𝑥^2=𝑎\)
\(2𝑎^2+3𝑎−2=0\)
\((2𝑎−1)(𝑎+2)=0\)
\(𝑎=\frac{1}{2}\) atau \(𝑎=−2\)
Untuk \(𝑎=\frac{1}{2}⟹𝑥^2=\frac{1}{2}⟹𝑥=±\sqrt{\frac{1}{2}}\)
Untuk \(𝑎=−2⟹𝑥^2=−2⟹𝑥=±\sqrt{−2}\) tidak memenuhi.
Jadi akar realnya ada \(3\) yaitu \(\left \lbrace -\sqrt{\frac{1}{2}},0,\sqrt{\frac{1}{2}}\right \rbrace\)

Dari gambar di atas diperoleh panjang sisi persegi adalah \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2\)

Dengan menggunakan perbandingan sudut \(30^0\) maka diperoleh perbandingan \(𝑎: 𝑏: 𝑐 = 1: \sqrt{3}: 2\)
\(a+b+c=x+\sqrt{3}x+2x=2\)
\(x(3+\sqrt{3})=2⟹x=\frac{2}{3+\sqrt{3}}\)
\(x=\frac{2}{3+\sqrt{3}}\times\frac{3-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\frac{2(3-\sqrt{3})}{9-3}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}⟹x^2=\frac{12-6\sqrt{3}}{9}=\frac{4-2\sqrt{3}}{3}\)
Luas segitiga hitam = \(4(\frac{1}{2}ab)=4(\frac{1}{2}\sqrt{3}x^2)=2\sqrt{3}(\frac{4-2\sqrt{3}}{3})=\frac{8\sqrt{3}-12}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}-4=A\)
selanjutnya, kita cari nilai \((𝐴 + 4)\times (𝐴 + 4) = \frac{a}{b}\)
\((𝐴 + 4)\times (𝐴 + 4) = (\frac{8\sqrt{3}}{3})\times (\frac{8\sqrt{3}}{3})=\frac{64}{3}=\frac{a}{b}\)
Jadi nilai dari \(𝑎+𝑏\) adalah \(64 + 3 = 67\)

Dengan menggunakan rumus Pythagoras cari panjang \(CD\)
\(CD=\sqrt{AC^2 – AD^2}=\sqrt{8^2 – 5^2}=\sqrt{64 – 25}=\sqrt{39}\)
Selanjutnya Karena \(𝐴𝐶\) dan \(𝐴B\) adalah garis singgung lingkaran maka panjang \(𝐴𝐷 = 𝐴𝐹 = 5\), didapat \(𝐹𝐶 =AC-AF=8-5=3\).
Perhatikan bahwa \(△𝐴𝐵𝐶≈△𝐶𝐹𝐸\), diperoleh perbandingan
\(\frac{CF}{CA}=\frac{EF}{AB} ⟹EF=\frac{3}{8}\times AB\)
sama halnya dengan
\(\frac{CF}{CA}=\frac{CG}{CD} ⟹CG=\frac{3}{8}\times CD⟹DG=CD-CG=CD-\frac{3}{8}\times CD=\frac{5}{8}\times CD\)
Luas \(△DEF=\frac{1}{2} EF.DG\)\( =\frac{1}{2}\times{\frac{3}{8}}\times AB\times{\frac{5}{8}}\times CD= \frac{1}{2}\times{\frac{15}{64}}\times AB\times CD\)
karena luas \(△ABC=\frac{1}{2} AB.CD\), maka
Luas \(△DEF=\frac{1}{2}\times{\frac{15}{64}}\times AB\times CD = \frac{15}{64}\) luas \(ABC\)
karena luas \(ABC=x\) dan \(DEF=y\) maka
\(y=\frac{15}{64} x⟹\frac{x}{y}=\frac{64}{15}\)
jadi nilai dari \(120(\frac{x}{y})=120(\frac{64}{15})=512\)

Bola yang tersedia ada \(100\) dengan \(4\) warna berbeda. Pada pengambilan ke \(81\) ia mendapatkan \(4\) bola berwarna sama artinya pada saat pengambilan terakhir bola yang tersisa adalah sama warna sehingga dipastikan banyak bola adalah sebanyak \(20\). Ini artinya bahwa bola minimum di setiap warna adalah \(20\) bola. Karena bola yang tersisa ada \(80\) yang terdiri dari \(3\) warna maka kemungkinan nilai maksimum bola dicapai ketika dua warna yang tersisa sama sama berjumlah \(20\) dan satu warnanya adalah \(40\). Dengan demikian nilai \(M=40\) dan nilai \(N = 20, M – N = 20\)