Contoh Soal Lomba KST Kelas 8 Tingkat SMP/MTs

KST SMP

Lomba Matematika dan Sains Terbuka KST adalah lomba yang diadakan oleh perkumpulan pembina olimpiade Jawa Tengah (PPO JATENG). Bidang yang diperlombakan adalah Matematika dan Sains mulai dari kelas 1 sampai dengan kelas 9. Mulai Tahun 2022 lomba ini diadakan serentak diseluruh Indonesia. Keterangan lengkap tentang pendaftaran bisa cek di menu “Info lomba”

Berikut ini contoh soal dan pembahasan KST kelas 8 SMP/MTs. soal diambil dari www.ppojateng.org


1. \(2018\times ( 2017^2+ 4034+ 1 )− 2016\times 2019\times 2020+ 2016^2 =⋯\)


Misalkan \(𝑎=2018\)
\(2018\times ( 2017^2+ 4034+ 1 )− 2016\times 2019\times 2020+ 2016^2\)
\(=𝑎((𝑎−1)^2+2(𝑎−1)+1)−(𝑎−2)(𝑎+1)(𝑎+2)+(𝑎−2)^2\)
\(=𝑎(𝑎^2−2𝑎+1+2𝑎−2+1)−(𝑎^2−4)(𝑎+1)+𝑎^2−4𝑎+4\)
\(=𝑎(𝑎^2)−(𝑎^3+𝑎^2−4𝑎−4)+𝑎^2−4𝑎+4 \)
\(=𝑎^3−𝑎^3−𝑎^2+4𝑎+4+𝑎^2−4𝑎+4\)
\(=8\)


2. Nilai dari \(18 – 13 \times 7 + 68 – 6\times 9 = …\) .
A. -59
B. -38
C. -21
D. 8
E. 28


\(18 – 13 \times 7 + 68 – 6\times 9 \)
\(=18 – 91 + 68-54\)
\(=-59\)


3. Pak Ali mempunyai 18 kue, 24 kerupuk, dan 30 permen. Makanan itu akan dibagikan kepada sejumlah anak dengan jumlah yang sama untuk masing masing makanan yang diterima setiap anak. Berapa maksimal anak yang dapat menerima ketiga jenis makanan itu?
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
E. 9


\(FPB(18, 24, 30)=6\)

Jadi maksimal anak yang dapat menerima ketiga jenis makanan itu adalah \(6\) anak


4. Nilai dari \(90^2−87^2+84^2−81^2+78^2−75^2+⋯+6^2−3^2=\overline{𝑎𝑏𝑐𝑑}\)
Nilai dari \(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=⋯\)


\(90^2−87^2+84^2−81^2+78^2−75^2+⋯+6^2−3^2\) \(=3(90+87)+3(84+81)+3(78+75)+⋯+3(6+3)\)
\(=3(3+6+9+⋯+81+84+87+90)\)
\(=9(1+2+3+⋯+30)\)
\(=\frac{9(31)30}{2}\)
\(=9(31)(15)\)
\(=4185=\overline{𝑎𝑏𝑐𝑑}\)
Jadi nilai \(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=4+1+8+5=18\)


5. Jika \(𝑎\) dan \(𝑏\) bilangan real positif yang memenuhi
\(\frac{1}{𝑎^2}−\frac{2}{𝑏^2}=2\)
\(\frac{3}{𝑎^2}−\frac{4}{𝑏^2}=8\),
maka nilai dari \(𝑎𝑏\) adalah …


\(\frac{1}{𝑎^2}−\frac{2}{𝑏^2}=2\) … (1)
\(\frac{3}{𝑎^2}−\frac{4}{𝑏^2}=8\) … (2)

3 kali persamaan (1) dikurangi pers (2)
\(\frac{3}{𝑎^2}−\frac{6}{𝑏^2}=8\) 
\(\frac{3}{𝑎^2}−\frac{4}{𝑏^2}=8\)
————————-  –
\(−\frac{2}{𝑏^2}=−2⟹𝑏^2=1⟹𝑏=1\)
subtitusi \(𝑏=1\) ke pers(1), diperoleh
\(\frac{1}{𝑎^2}−\frac{2}{𝑏^2}=2\)
\(⟹\frac{1}{𝑎^2}−\frac{2}{1}=2\)
\(⟹\frac{1}{𝑎^2}=4\)
\(⟹𝑎^2=\frac{1}{4}⟹𝑎=\frac{1}{2}\)
Jadi nilai \(𝑎𝑏=(\frac{1}{2})1=\frac{1}{2}\)


6. Banyaknya bilangan bulat negatif \(𝑥\) yang memenuhi pertidaksamaan
\(\frac{2𝑥+9}{𝑥+2}≤1\)
adalah…


\(\frac{2𝑥+9}{𝑥+2}≤1\)
\(⟹\frac{𝑥+2+𝑥+7}{𝑥+2}≤1\)
\(⟹1+\frac{𝑥+7}{𝑥+2}≤1\)
\(⟹\frac{𝑥+7}{𝑥+2}≤0\)
Ada dua kemungkinan
Kemungkinan 1.

\(𝑥+7≤0\) dan \(𝑥+2>0\)
\(𝑥+7≤0⟹𝑥=\{…,−9,−8,−7\}\)
\(𝑥+2>0⟹𝑥=\{−1,0,1,…\}\)
Tidak mempunyai solusi karena solusi \(x\) tidak ada irisan
Kemungkinan 2
\(𝑥+7≥0\) dan \(𝑥+2<0\)
\(𝑥+7≥0⟹𝑥=\{−7,−6,−5,….\}\)
\(𝑥+2<0⟹𝑥=\{…,−7,−6,−5,−4,−3\}\)
Solusi yang memenuhi di kedua nilai \(x\) adalah \(\{−7,−6,−5,−4,−3\}\) jadi mempunyai \(5\) solusi negative.


7. Di dalam kotak merah terdapat 9 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak putih terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak merah dan putih masing-masing diambil 2 bola satu persatu dengan pengembalian, maka peluang terambil 1 bola merah adalah …



Ada empat kemungkinan yaitu \(PMPP, MPPP, PPPM, PPMP\)
Peluang terambilnya 1 merah

\(=\frac{9}{12}(\frac{3}{12})(\frac{4}{8})(\frac{4}{8})+\frac{9}{12}(\frac{3}{12})(\frac{4}{8})(\frac{4}{8})+\frac{9}{12}(\frac{9}{12})(\frac{4}{8})(\frac{4}{8})+\frac{9}{12}(\frac{9}{12})(\frac{4}{8})(\frac{4}{8})\)

\(=\frac{3}{64}+\frac{3}{64}+\frac{9}{64}+\frac{9}{64}\)

\(=\frac{24}{64}\)

\(=\frac{12}{32}\)


8. \(𝑛\) adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga \(30𝑛+7\) bukan bilangan prima. Nilai dari \(𝑛^2−𝑛+6\) adalah …


Misalkan \(𝑚=30𝑛+7\)
Untuk \(n=7\), jelas bahwa \(m\) bisa dibagi \(7\), karena yang dicari adalah \(n\) minimum maka kita cek untuk \(n<7\)
Untuk \(𝑛<7, 𝑚=\{37,67,97,127,157,𝟏𝟖𝟕\}\)
Karena \(187\) bisa dibagi \(11\), maka \(m\) bukan bilangan prima, diperoleh \(𝑛=6\),
Jadi Nilai dari \(𝑛^2−𝑛+6=36−6+6=36\)


9. Diberikan segitiga \(𝑃𝑄𝑅\) siku-siku di \(𝑄\). Jika panjang \(𝑃𝑄\) adalah \(𝑥+4\) , panjang \(𝑄𝑅\) adalah \(3𝑥+2\) dan panjang \(𝑃𝑅\) adalah \(3𝑥+4\) maka panjang \(𝑃𝑄\) adalah …


Rumus Pythagoras :

\(𝑃𝑅^2=𝑃𝑄^2+𝑄𝑅^2\)
\((3𝑥+4)^2=(𝑥+4)^2+(3𝑥+2)^2\)
\(9𝑥^2+24𝑥+16=𝑥^2+8𝑥+16+9𝑥^2+12𝑥+4\)
\(𝑥^2−4𝑥+4=0\)
\((𝑥−2)^2=0\)
\(𝑥=2\)

Jadi panjang \(𝑃𝑄=𝑥+4=2+4=6\)


10. Jika H={2, 4, 5}, K = {1, 4, 7} dan L = {1, 5, 7}, maka (H – K) Ú L = …

A. {1}
B. {2}
C. {1, 2}
D. {1, 4, 5, 7}
E. {1, 2, 4, 5, 7}


11. Perhatikan gambar di samping ini.


AC adalah garis bagi ∠DAB , panjang CD = 5 cm, BD =10 cm, dan AD = 8 cm. Berapakah panjang AB?
A. 8
B. 6
C. 7
D. 4
E. 3


12. Tentukan \(m\) agar \(y=mx^2 – 2mx + m\) di atas garis \(y=2x-3\)

A. \(m<0\)
B. \(m>0\)
C. \(m<0 atau m>1\)
D. \(0 < m < 1\)
E. \(-1 < m < 1\)


13. Pak Ali membeli 2 tipe mobil, mobil tipe I dibeli seharga Rp250.000.000,00 , mobil tipe II dibeli seharga Rp 175.000.000,00 Setelah 3 tahun Pak Ali berniat menjual kedua mobilnya. Akibat penjualan mobil tipe I Pak Ali mengalami kerugian 20% . Jika Pak Ali berharap kerugian total hanya sebesar 10% , maka ak Ali harus menjual mobil tipe II seharga …

A. Rp182.500.000,00
B. Rp192.500.000,00
C. Rp267.000.000,00
D. Rp267.500.000,00
E. Rp268.000.000,00


14. Angka satuan dari \(2017^{2018} + 2018^{2019} + 2019^{2020}\) adalah …

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 6


15. Konstanta dari \((2x^3 – \frac{1}{2x})^8\) adalah …

A. \(\frac{5}{4}\)
B. \(\frac{7}{4}\)
C. \(\frac{9}{4}\)
D. \(\frac{11}{4}\)
E. \(\frac{13}{4}\)


16. Jika \(\sqrt{54-14\sqrt 5} – \sqrt{12+2\sqrt {35}} – \sqrt{32-10\sqrt 7}=a+b\sqrt 5\) maka nilai \(a-b\)=…

A. -1
B. 0
C. 2
D. 4
E. 6


17. Jika \(0,201920192019…=\frac{𝑥}{𝑦}\), \(x\) dan \(y\) bilangan bulat positif dan \(𝑥𝑦\) relative prima, maka nilai dari \(𝑦−𝑥\) adalah …

A. 2660
B. 1330
C. 1331
D. 673
E. 671


18. Pada segitiga ABC , sisi AB = 13 cm, BC = 12 cm dan Titik D adalah titik sembarang yang terletak di dalam segitiga ABC, dan jarak D ke setiap titik segitiga adalah \(e , f\)  dan \(g\)  seperti tampak pada gambar.  Berapakah nilai dari \(5e + 12f  + 13g\) ?

A. 60 cm²
B. 70 cm²
C. 75 cm²
D. 80 cm²
E. 90 cm²


19. Balok berukuran \(4\times 4\times 3\) tampak seperti gambar di bawah ini. Jarak titik \(D\) kesegitiga \(ABC\) adalah …

A. \(\frac{5}{17}\sqrt {34}\)
B. \(\frac{7}{17}\sqrt {34}\)
C. \(\frac{6}{17}\sqrt {34}\)
D. \(\frac{8}{17}\sqrt {34}\)
E. \(\frac{9}{17}\sqrt {34}\)


20. Perhatikan gambar di samping. OAB adalah juring lingkaran yang berpusat di titik O. Sebuah lingkaran menyinggung sisi-sisi juring OAB. Jika OB = R dan AB = 2a , maka keliling lingkaran yang ada di dalam juring OAB adalah . . . .


 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *