Contoh Soal Lomba KST Kelas 9 Tingkat SMP/MTs

KST SMP

Lomba Matematika dan Sains Terbuka KST adalah lomba yang diadakan oleh perkumpulan pembina olimpiade Jawa Tengah (PPO JATENG). Bidang yang diperlombakan adalah Matematika dan Sains mulai dari kelas 1 sampai dengan kelas 9. Mulai Tahun 2022 lomba ini diadakan serentak diseluruh Indonesia. Keterangan lengkap tentang pendaftaran bisa cek di menu “Info lomba”

Berikut ini contoh soal dan pembahasan KST kelas 9 SMP/MTs. soal diambil dari www.ppojateng.org


1.Diketahui segitiga \(ABC\) kelilingnya \(48\; cm, ∠A = 90°\) dan ukuran panjang sisi-sisinya membentuk barisan aritmatika. Jika \(S\) adalah titik tengah sisi \(AB\) dan \(T\) adalah titik tengah sisi \(BC\), maka luas segitiga \(TSC\) adalah . . . \(cm^2\).


Keliling \(ABC = 48\) cm, karena panjang sisinya membentuk barisan aritmatika, kita misalkan \(𝐴𝐶 = 𝑥\; ,𝐴𝐵 = 𝑥 – 𝑏\; ,𝐵𝐶 = 𝑥 + 𝑏\)
\(𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝑥 − 𝑏 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑏 =48\)
\(⇒ 3𝑥 = 48\)
\(⇒ 𝑥=16\)

Dengan menggunakan rumus pythagoras
\(𝐴𝐶^2=𝐵𝐶^2−𝐴𝐵^2\)
\(𝑥^2=(𝑥+𝑏)^2−(𝑥−𝑏)^2\)
\(16^2=(16+𝑏)^2−(16−𝑏)^2\)
\(16^2=32(2𝑏)\)
\(𝑏=\frac{256}{64}=4\)
Diperoleh panjang \(𝐴𝐶=16,𝐴𝐵=12,𝐵𝐶=20\)
\([𝑇𝑆𝐶]=\frac{1}{4}[𝐴𝐵𝐶]=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}\times 12\times16)=24\; 𝑐𝑚^2\)


2. Nilai dari \(\sqrt{218^2 – 182^2}=…\)


\(\begin{align}
\sqrt{218^2 – 182^2}&=\sqrt{(218-182)(218+182)}\\
&=\sqrt{36(400)}\\
&=6(20)\\
&=120\\
\end{align}\)


3. Persamaan kuadrat \(𝑥^2−9𝑥+𝑎=0\) mempunyai dua akar yang berbeda. Jika salah satu akarnya sama dengan dua kali akar yang lain, maka jumlah angka-angka penyusun bilangan \(𝑎\) adalah . . . .


Rumus Vieta
Jika akar-akar persamaaan \(𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0\) adalah \(𝑥_1\) dan \(𝑥_2\) maka berlaku \(𝑥_1+𝑥_2=−\frac{𝑏}{𝑎}\) dan \(𝑥_1 𝑥_2=\frac{𝑐}{𝑎}\).
Misalkan akar dari persamaan \(𝑥^2−9𝑥+𝑎=0\) adalah \(𝑥_1\) dan \(𝑥_2\) maka berlaku \(𝑥_1+𝑥_2=9\) dan \(𝑥_1 𝑥_2=𝑎\).
Karena akar realnya berbeda \(𝐷>0\)
Diketahui \(𝑥_1 =2𝑥_2\) maka \(𝑥_1+𝑥_2=9⟹2𝑥_2+𝑥_2=9⟹3𝑥_2=9⟹𝑥_2=3\)
Karena \(𝑥_2=3\) dan \(𝑥_1+𝑥_2=9\) maka \(𝑥_1=6\)
selanjutnya
\(𝑎=𝑥_1 𝑥_2=3.6=18\)
Jadi jumlah angka-angka penyusun bilangan \(𝑎\) adalah \(1+8=9\)


4. Diketahui \(a\) adalah bilangan real yang memenuhi \(𝑎^2+\frac{1}{𝑎^2}=14\). Nilai terbesar yang mungin untuk \(𝑎^3+\frac{1}{𝑎^3}\) adalah …


\(𝑎^2+\frac{1}{𝑎^2}=14\)
\(⟹(𝑎+\frac{1}{𝑎})^2−2=14⟹(𝑎+\frac{1}{𝑎})2=16 ⟹ 𝑎+\frac{1}{𝑎}=±4\)
Nilai terbesar dari
\(𝑎^3+\frac{1}{𝑎^3}=(𝑎+\frac{1}{𝑎})(𝑎^2−1+\frac{1}{𝑎^2})=4(14−1)=4(13)=52\)


5. Faktor prima terbesar dari \(2^{16}−16\) adalah …


\(2^{16}−16=2^{16}−2^4\)
\(=(2^8+2^2)(2^8−2^2)\)
\(=2^2(2^6+1)(2^4−2)(2^4+2)\)
\(=4(65)(14)(18)\)
Bilangan prima terbesar didapatkan dari factor \(65\) yaitu \(13\)


6. Jika \(𝑓(𝑥)=\frac{𝑥^2+1}{𝑥^2−1}\), maka \(𝑓(\frac{1}{𝑥})=⋯\)


\(𝑓(\frac{1}{𝑥})=\frac{(\frac{1}{𝑥})^2+1}{(\frac{1}{𝑥})^2−1}\)

\(=\frac{\frac{1}{𝑥^2}+\frac{𝑥^2}{𝑥^2}}{\frac{1}{𝑥^2}−\frac{𝑥^2}{𝑥^2}}\)

\(=\frac{1+𝑥^2}{1−𝑥^2}\)


baca juga SEAMO PAPER C 2019 [PROBLEM And SOLUTION]


7. Diketahui ukuran panjang diagonal-diagonal sisi suatu balok adalah \(\sqrt{13}\; 𝑐𝑚\), \(\sqrt{10}\; 𝑐𝑚\) dan \(\sqrt{5}\; 𝑐𝑚\). Volume balok itu adalah … \(𝑐𝑚^3\)


Misalkan panjang, lebar dan tingginya berturut-turut adalah \(𝑝,𝑙\), dan \(𝑡\)
Berdasarkan rumus Pythagoras untuk mencari diagonal sisi kubus, diperoleh
\(𝑝^2+𝑙^2=13\)

\(𝑝^2+𝑡^2=10\)
\( 𝑡^2+𝑙^2=5\)
Jumlahkan ketiga persamaan:
\(2(𝑝^2+𝑙^2+𝑡^2)=28\)
\(⇒𝑝^2+𝑙^2+𝑡^2=14\)
Diperoleh \(𝑝^2=9,𝑙^2=4\) dan \(𝑡^2=1\)
Jadi volume balok adalah \(3\times 2\times 1=6\; 𝑐𝑚^3\)


8. Pada gambar di samping ABCD adalah jajargenjang. F dan G berturut-turut adalah titik-titik pada AB dan CD sehingga FG sejajar AD. FG memotong BD di E. Jika luas segitiga AEF = 1 cm² dan luas trapesium BCGE = \(2\frac{3}{5}\) cm², maka luas jajargenjang ABCD adalah . . . cm².



9. Diketahui a, b dan c adalah bilangan bulat yang memenuhi

\(𝑎+𝑏^2+2𝑎𝑐=22\)
\(𝑏+𝑐^2+2𝑎𝑏=36\)
\(𝑐+𝑎^2+2𝑏𝑐=−2\)

Carilah semua kemungkinan nilai \(𝑎+𝑏+𝑐\).


Jumlahkan ketiga persamaan
\(𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2+2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐+𝑎+𝑏+𝑐=56\)
\((𝑎+𝑏+𝑐)^2+𝑎+𝑏+𝑐=56\)
Misalkan \(𝑥=𝑎+𝑏+𝑐\)
\(𝑥^2+𝑥−56=0\)
\((𝑥−7)(𝑥+8)=0\)
\( 𝑥=7∪𝑥=−8\)


10. Diketahui bilangan \(5\) angka \(𝑁=\overline{𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒}\), dengan \(𝑎≠0\) dan \(𝑎>𝑒\), jika \(𝑁’=\overline{𝑒dcba}\) dan \(𝑁−𝑁′=\overline{5𝑥014}\) dimana \(x\) adalah angka satu digit, maka nilai \(x\) adalah …


\(𝑁=\overline{𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒}=10000𝑎+1000𝑏+100𝑐+10𝑑+𝑒\)
\(𝑁’=\overline{𝑒dcba}=10000𝑒+1000𝑑+100𝑐+10𝑏+𝑎\)
kurangkan kedua persamaan di atas, 
\(𝑁−𝑁′ =9999𝑎+990𝑏−990𝑑−9999𝑒\)
\(=99(101𝑎+10𝑏−10𝑑−101𝑒)\)
Karena \(𝑁−𝑁′\) merupakan kelipatan \(99\), maka jelas  \(\overline{5𝑥014}\)habis dibagi \(9\) dan \(11\)
Agar habis dibagi \(9\) maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(8\), selanjutnya kita cek syarat habis dibagi \(11\), \((5+0+4)−(𝑥+1)=0\) diperoleh \(𝑥=8\), karena terpenuhi kedua syarat maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(8\)


11. Pada gambar di samping ABCD, BEFG dan GHIJ adalah persegi. A, B, G, dan J terletak pada satu garis lurus, demikian juga D, E, dan H. Diketahui AD = 4 cm dan CE = 2 cm. Luas segilima ADHIJ adalah . . . cm².


karena \(Δ𝐷𝐶𝐸 ≈ Δ𝐸𝐹𝐻\) maka \(\frac{𝑥}{6}=\frac{2}{4}⟹ 𝑥 = 3\)

\([ADHIJ] = [ABCD]+[BGFE]+[GJIH]+[DCE]+[EFH]\)
\(= 16 + 36 + 81 + 4 + 9 = 146 𝑐𝑚²\)


12. Diketahui \(𝑓(𝑥)=𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐\), dimana \(𝑏\) dan \(𝑐\) bilangan real. Nilai dari \(𝑓(1)−2𝑓(5)+𝑓(9)\) adalah …


\(𝑓(1)−2𝑓(5)+𝑓(9) \)
\(=1+𝑏+𝑐−2(25+5𝑏+𝑐)+81+9𝑏+𝑐\)
\(=1+𝑏+𝑐−50−10𝑏−2𝑐+81+9𝑏+𝑐\)
\(=1−50+81\)
\(=32\)


13. Perhatikan gambar di samping. OAB adalah juring lingkaran yang berpusat di titik O. Sebuah lingkaran menyinggung sisi-sisi juring OAB. Jika OB = R dan AB = 2 , maka keliling lingkaran yang ada di dalam juring OAB adalah . . . .



14. Roy dan Rico masing-masing menulis 100 bilangan yang membentuk barisan aritmatika. Bilangan-bilangan yang ditulis Roy adalah 5, 8, 11, 14, . . . . Sedangkan Rico menulis 3, 7, 11, 15, . . . . Ada beberapa bilangan yang ditulis oleh Roy dan juga ditulis oleh Rico, contohnya : 11. Jumlah semua bilangan yang ditulis oleh Roy tetapi tidak ditulis oleh Rico adalah . . . .


\(Ro : \{5, 8, 11, 14, …, 302\}\) suku ke-100 adalah \(5 + (100 − 1)3 = 5 + 300 − 3 = 302\)
\(Ri : \{3, 7, 11, 15, …,399\}\) suku ke-100 adalah \(3 + (100 − 1)4 = 3 + 400 − 4 = 399\)
Bilangan yang ditulis oleh keduanya \(\{11, 23, 35, …, 299\}\)
Jumlah semua bilangan yang ditulis Roy tetapi tidak ditulis oleh Rico adalah
\(5 + 8 + 11 + ⋯ + 302 − (11 + 23 + 35 + ⋯ + 299)\)
\(=\frac{(5 + 302)100}{2}− \frac{(11 + 299)25}{2}\)
\(= (307)50 − (155)25\)
\(= 15350 − 3875 = 11.475\)


15. Balok berukuran \(4\times 4\times 3\) tampak seperti gambar di bawah ini. Jarak titik \(D\) kesegitiga \(ABC\) adalah …


\(𝐷𝐸 =\frac{1}{2}𝐷𝐺\)
\(𝐷𝐺 = \sqrt{𝐺𝐶^2 + 𝐶𝐷^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(𝐷𝐸 = 2\sqrt{2}\)
Selanjunya cari panjang \(AE\)
\(𝐴𝐸 = \sqrt{𝐸𝐷^2 + 𝐴𝐷^2} = \sqrt{8 + 9} = \sqrt{17}\)
Gunakan persamaan luas segitiga \(ADE\) 
\(\frac{1}{2}\times {2\sqrt 2}\times 3 =\frac{1}{2}\times \sqrt 17\times {𝐹𝐷}\)
\(6\sqrt{2} = \sqrt{17} \times 𝐹𝐷\)
\(𝐹𝐷 =\frac{6\sqrt 2}{\sqrt{17}} =\frac{6}{17}\sqrt{34}\)


16. Perhatikan gambar di samping. Sebuah lingkaran dengan pusat di titik O menyinggung sumbu x dan sumbu y pada bidang koordinat. B dan C berturut-turut adalah titik-titik pada sumbu x dan sumbu y sehingga BC menyinggung sisi lingkaran. Jika AB =1 dan ∠ABC = 60° maka jari-jari lingkaran itu adalah . . . .


misalakan \(BP =x\), diperoleh \(𝑟 = 1 + 𝑥\)
Perhatikan \(Δ𝑂𝐵𝑃\), dengan menggunakan perbandingan sudut \(60°, 𝐵𝑃 ∶ 𝐵𝑂 = 1 ∶ 2,\) diperoleh \(𝑂𝐵 = 2𝑥\)

Dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(𝑂𝐵^2 = 𝑂𝑃^2 + 𝐵𝑃^2\)
\(⇒(2𝑥)^2 = 𝑟^2 + 𝑥^2\)
\(⇒(2(𝑟 − 1))^2 = 𝑟^2 + (𝑟 − 1)^2\)
\(⇒4(𝑟^2 − 2𝑟 + 1) = 𝑟^2 + 𝑟^2 − 2𝑟 + 1\)
\(⇒(4𝑟^2 − 8𝑟 + 4) = 2𝑟^2 − 2𝑟 + 1\)
\(⇒2𝑟^2 − 6𝑟 + 3 = 0\)

Dengan menggunakan rumus \(ABC\)
\(𝑟 =\frac{−𝑏 ± \sqrt{𝑏^2 − 4𝑎𝑐}}{2𝑎}\)
\(=\frac{6 ± \sqrt{36 − 24}}{4}\)
\(=\frac{6 ± \sqrt{12}}{4}\)
\(=\frac{6 ± 2\sqrt 3}{4}\)
\(=\frac{3 ± \sqrt 3}{2}\)
jadi jari-jari lingkaran adalah \(\frac{3+\sqrt 3}{2}\)


17. Jika \(𝑥 − 𝑦 = 12\), nilai dari \(𝑥^3 − 𝑦^3 − 36𝑥𝑦\) adalah …


\(𝑥 − 𝑦 = 12 ⟹ 𝑥^2 + 𝑦^2 − 2𝑥𝑦 = 144\)
\(⟹ 𝑥^2 + 𝑦^2 = 144 + 2𝑥𝑦\)

\(𝑥^3 − 𝑦^3 − 36𝑥𝑦 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥^2 + 𝑥𝑦 + 𝑦^2) − 36𝑥𝑦\)
\(= 12(144 + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦) − 36𝑥𝑦\)
\(= 1728 + 36𝑥𝑦 − 36𝑥𝑦\)
\(= 1728\)


18. Pada sebuah lingkaran, terdapat dua tali busur yang sejajar dengan panjang 24 cm dan 32 cm. Jarak kedua tali busur itu 14 cm. Tepat di antara dua tali busur itu (tepat di tengah keduanya) terdapat tali busur ketiga yang sejajar dengan keduanya. Panjang tali busur ketiga adalah . . . cm.


Misalkan jari-jarinya adalah \(R\), berdasarkan keterangan gambar, diperoleh persamaan:
\(𝑅^2 = 12^2 + (7 + 𝑥)^2\)
\(𝑅^2 = 16^2 + (7 − 𝑥)^2\)

Selanjunya samakan nilai \(𝑅^2\), diperoleh
\(12^2 + (7 + 𝑥)^2 = 16^2 + (7 − 𝑥)^2\)
\(⇒14^4 + 49 + 14𝑥 + 𝑥^2 = 256 + 49 − 14𝑥 + 𝑥^2\)
\(⇒28𝑥 = 112\)
\(⇒𝑥 = 4\)

Subtitusi nilai \(x\) ke persamaan
\(𝑅^2 = 12^2 + (7 + 𝑥)^2 =  12^2 + (11)^2 = 144 + 121 = 265\).
Berdasarkan gambar di atas
\(𝑛^2 = 𝑅^2 − 𝑥^2 = 265 − 16 = 249 ⟹ 𝑛 = \sqrt {249}\)
Jadi panjang tali busur ketiga adalah \(2𝑛 = 2\sqrt{249}\)


19. Banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan

\(\frac{2𝑥^2−10𝑥}{𝑥^2−5𝑥}= 𝑥 − 3\)

adalah …


\(\frac{2𝑥^2 − 10𝑥}{𝑥^2 − 5𝑥}= 𝑥 − 3, 𝑥 ≠ 5\)
\(⇒2𝑥^2 − 10𝑥 = 𝑥^3 − 3𝑥^2 − 5𝑥^2 + 15𝑥\)
\(⇒2𝑥^2 − 10𝑥 = 𝑥^3 − 8𝑥^2 + 15𝑥\)
\(⇒𝑥^3 − 10𝑥^2 + 25𝑥 = 0\)
\(⇒𝑥(𝑥^2 − 10𝑥 + 25) = 𝑥(𝑥 − 5)(𝑥 − 5) = 0\)
Karenan \(𝑥 ≠ 0\) dan \(𝑥 ≠ 5\) maka banyaknya nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(0\)


20. Empat buah lingkaran, masing-masing dengan ukuran jari-jari , dan sebuah persegi disusun di dalam sebuah lingkaran dengan jari-jari 8, seperti tampak pada gambar di samping. Pernyataan di bawah ini yang benar mengenai nilai x adalah . . . .

A. \(0 < 𝑥 < 4\)
B. \(0 < 𝑥 < 8(\sqrt 2 + 1)\)
C. \(4 − 2\sqrt 2 < 𝑥 < 4\)
D. \(4 − 2\sqrt 2 < 𝑥 < 8(\sqrt 2 − 1)\)
E. \(4 − 2\sqrt 2 < 𝑥 < 4(\sqrt 2 + 1)\)


Kondisi dimana nilai \(x\) minimum


\(𝑅 = 𝑎 + 2𝑥 = 8\)
\(𝑎^2 + 𝑎^2 = 8^2 ⟹ 2𝑎^2 = 64 ⇒ 𝑎^2 = 32 ⇒ 𝑎 = \sqrt {32}\)
Subtitusi \(a\) nya ke \(R\), diperoleh
\(𝑅 = \sqrt {32} + 2𝑥 = 8\)
\(2𝑥 = 8 − 4\sqrt 2\)
\(𝑥 = 4 − 2\sqrt 2\)

Kondisi dimana nilai \(x\) mencapai maksimum

Misalkan panjang sisi persegi adalah \(2𝑏\)
\(𝑂𝐶 = 8 ⟹ 𝑏 + 2𝑥 = 8\) … (1)
Perhatikan segitiga \(AOB\)
\(𝐴𝐵^2 = 𝐴𝑂^2 + 𝐵𝑂^2\)
\(⇒(2𝑥)^2 = 2𝐴𝑂^2 = 2(𝑥 + 𝑏)^2\)
\(⇒4𝑥^2 = 2(𝑥 + 8 − 2𝑥)^2\)
\(⇒2𝑥^2 = (8 − 𝑥)^2 = 64 − 16𝑥 + 𝑥^2\)
\(⇒𝑥^2 + 16𝑥 − 64 = 0\)
\(⇒(𝑥 + 8)^2 − 64 − 64 = 0\)
\(⇒(𝑥 + 8)^2 = 2(64)\)
\(⇒𝑥 + 8 = 8\sqrt 2\)
\(⇒𝑥 = 8\sqrt 2 − 8 = 8(\sqrt 2 − 1)\)


Baca juga Soal Lomba Matematika MCR tingkat SMP

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *