KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

\(𝑏\) habis membagi \(𝑐\), maka \(𝑐 ≥ 𝑏\), untuk mendapatkan nilai \(c\) minimum maka nilai \(b\) harus minimum. \(𝑏 > 3𝑎\) dan \(𝑎\) adalah kuadrat suatu bilangan prima, nilai \(𝑏\) minimum dicapai ketikan nilai \(𝑎\) minimum. Nilai \(𝑎\) adalah kuadrat dari bilangan prima, bilangan prima terkecil adalah \(2\), maka nilai \(𝑎 = 22\). Selanjutnya karena \(𝑏 > 3𝑎 ⟹ 𝑏 > 12, 𝑏\) minimum adalah \(13\). Dikarena nilai \(𝑎, 𝑏,\) dan \(𝑐\) adalah tiga bilangan asli berbeda dan \(𝑏\) habis membagi \(𝑐\) maka nilai terkecil \(𝑐\) adalah \(13 × 2 = 26\)

Syarat suatu persamaan kuadrat \(𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0\) memiliki solusi real adalah \(𝐷 = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0\)
Dari persamaan \(3𝑥^2 + 3𝑎𝑥 + 𝑎 + \frac{1}{4}= 0\), nilai \(𝑎 = 3, 𝑏 = 3𝑎\), dan \(𝑐 = 𝑎 +\frac{1}{4}\)
selanjutnya
\(𝑏^2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0\)
\((3𝑎)^2 − 4(3) (𝑎 +\frac{1}{4}) ≥ 0\)
\(9𝑎^2 − 12𝑎 − 3 ≥ 0\)
\(3𝑎^2 − 4𝑎 − 1 ≥ 0\)

\(𝑎_{1,2} =\frac{4 ± \sqrt{16 − 4(3)(−1)}}{6}=\frac{4 ± \sqrt{16 + 12}}{6}\)
\(=\frac{4 ± \sqrt{28}}{6}=\frac{4 ± 2\sqrt 7}{6}=\frac{2 ± \sqrt 7}{3}\)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah \(𝑎 <\frac{2−\sqrt 7}{3}\) atau \(𝑎 >\frac{2+\sqrt 7}{3}\)

• Banyaknya bilangan dari 1 sampai dengan 60 yang habis dibagi 2, misalkan \(𝐴 = ⌊\frac{60}{2}⌋ =30\) bilangan
• Banyaknya bilangan dari 1 sampai dengan 60 yang habis dibagi 3, misalkan \(𝐵 = ⌊\frac{60}{3}⌋ = 20\) bilangan
• Banyaknya bilangan dari 1 sampai dengan 60 yang habis dibagi 5, misalkan \(𝐴 = ⌊\frac{60}{5}⌋ =12\) bilangan
• Banyaknya bilangan dari 1 sampai dengan 60 yang habis dibagi 7, misalkan \(𝐴 = ⌊\frac{60}{7}⌋ = 8\) bilangan.

Nilai dari \(𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + ⋯ + 𝑓(60) = 2(30) + 3(20) + 5(12) + 7(8) = 60 + 60 + 60 + 56 = 238\)

Huruf yang sama adalah S, langkah tempatkan hurus S salah satu sisi kubus, karena huruf S tidak boleh saling berhadapan maka huruf yang bisa ditempati berhadapan hurus S ada 4 huruf. Karena 4 sisi tersisa membentuk siklis maka banyak cara menempatkan 4 huruf pada sisi tersebut adalah (4 – 1)! = 3! = 6 cara.
Jadi banyak cara seluruhnya adalah 4 × 6 = 24 cara

Bilangan kuadrat dua digit yang mungkin memenuhi nilai \(\overline{de}\) adalah \(\{16, 25, 36, 49, 64,81\}\).
Karena \(\overline{bcd}\) juga merupakan bilangan kuadrat dan satuan (d) yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah \(\{0, 1, 4, 5, 6, 9\}\) maka nilai yang mungkin untuk \(\overline{de}\) adalah \(\{16, 49, 64\}\). Karena \(\overline{cd} = 4 × \overline{ab}\) maka nilai \(𝑑\) pasti genap, kemungkinan nilai  \(\overline{de}\) tersisa \(49\) dan \(64\).
♠ Untuk \(\overline{de}=49\), nilai \(d\) nya sama dengan \(4\), karena\(\overline{cd}\) kelipatan \(4\), maka kemungkinan nilai \(c\) adalah \(\{0, 2, 4, 6, 8\}\).
– Jika \(𝑐 = 0\), dari \(\overline{cd} = 4 × \overline{ab}\), nilai \(\overline{ab}=01\), karena \(𝑎 ≠ 0\), maka tidak memenuhi
– Jika \(𝑐 = 2\), dari \(\overline{cd} = 4 × \overline{ab}\), nilai \(\overline{ab}=06\), karena \(𝑎 ≠ 0\), maka tidak memenuhi
– Jika \(𝑐 = 4\), dari \(\overline{cd} = 4 × \overline{ab}\), nilai \(\overline{ab}=11\), diperoleh nilai \(\overline{abcde}=11449\)
karena \(11449 = 107^2\) maka merupakan kuadrat sempurna, semua syarat terpenuhi.
Karena sudah terpenuhi untuk \(\overline{de}=49\), maka untuk \(\overline{de}=64\) diabaikan.
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 1 + 1 + 4 + 4 + 9 = 19\)