KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

• \((𝑥 + 2) = 1 ⇒ 𝑥 = −1\)
• \((𝑥 − 7) = 0 ⇒ 𝑥 = 7 ⇒ 𝑥 + 2 ≠ 0\)
• \((𝑥 + 2) = −1 ⇒ 𝑥 = −3, 𝑥 − 7 = −10\) genap (terpenuhi)
Jadi jumlah semua bilangan real \(x\) yang memenuhi adalah \(−1 + 7 + (−3) = 3\)

Bilangan terkecil yang memiliki tepat \(30\) faktor adalah \(2^4 × 3^2 × 5 = 720\)
Karena \((4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30\)
Diperoleh nilai \(𝑎 = 720\) dan jumlah digit dari \(𝑎\) adalah \(7+2+0=9\)

Misalkan banyak cat yang digunakan masing-masing sisi adalah \(x\) ons. Misalkan juga banyak cat merah dan cat putih yang digunakan untuk mebuat cat pink masing-masing adalah \(𝑎\) dan \(𝑏\) dengan ketentuan \(𝑎 + 𝑏 = 𝑥\). Sisa masing-masing cat setelah digunakan adalah
Cat merah \(= 164 – 𝑥 – 𝑎\)
Cat Biru \(= 130 – x\)
Cat putih \(= 188 − 𝑥 − 𝑏\)
karena sisanya sama maka
\(164 − 𝑥 − 𝑎 = 130 − 𝑥 ⇒ 𝑎 = 164 − 130 = 34\)
\(188 − 𝑥 − 𝑏 = 130 − 𝑥 ⇒ 𝑏 = 188 − 130 = 58\)
Nilai \(𝑥 = 𝑎 + 𝑏 = 34 + 58 = 92\)
Cat biru, merah dan putih yang tersisa masing-masing adalah \(130 − 92 = 38\) ons, Jadi sisa cat seluruhnya adalah \(3 × 38 = 114\) ons

\(\frac{1}{1 + 𝑎 +\frac{1}{𝑏}}+\frac{1}{1 + 𝑏 +\frac{1}{𝑐}}+\frac{1}{1 + 𝑐 +\frac{1}{𝑎}}\)

\(=\frac{𝑏}{𝑏 + 𝑎𝑏 + 1}+\frac{𝑎𝑏𝑐}{𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐𝑏 + 𝑎𝑏}+\frac{𝑎𝑏}{𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏}\)

\(=\frac{𝑏}{𝑏 + 𝑎𝑏 + 1}+\frac{𝑎𝑏𝑐}{1 + 𝑏 + 𝑎𝑏}+\frac{𝑎𝑏}{𝑎𝑏 + 1 + 𝑏}\)

\(=\frac{𝑏 + 1 + 𝑎𝑏}{𝑏 + 1 + 𝑎𝑏}= 1\)

Misalkan
\(\sqrt[3]{3\sqrt {21} + 8}= 𝑎 ⇒ 𝑎^3 = 3\sqrt{21} + 8\) dan
\(\sqrt[3]{3\sqrt {21} + 8}= 𝑏 ⇒ 𝑏^3 = 3\sqrt{21} − 8\)
\(𝑎𝑏 = \sqrt{3\sqrt{21} + 8}. \sqrt{3\sqrt{21} – 8}\)
\(= \sqrt[3]{189 − 64}  = \sqrt[3]{125}  = 5\)
Diperoleh
\(\sqrt[3]{3\sqrt {21} + 8} − \sqrt[3]{3\sqrt {21} + 8}=x\)
\(⇒(𝑎 − 𝑏)^3 = 𝑎^3 − 𝑏^3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏) = 𝑥^3\)
\(⇒3\sqrt{21} + 8 − (3\sqrt{21} − 8) − 3(5)𝑥 = 𝑥^3\)
\(⇒16 − 15𝑥 = 𝑥^3\)
\(⇒𝑥 = 1\)

\(𝑚𝑛 = 28𝑚 + 𝑛^2\)
\(𝑛^2 = 𝑚𝑛 − 28𝑚 = 𝑚(𝑛 − 28)\)
\(𝑚 =\frac{𝑛^2}{𝑛 − 28}=\frac{𝑛(𝑛 − 28)}{𝑛 − 28}+\frac{28𝑛}{𝑛 − 28}\)
\(𝑚 = 𝑛 +\frac{28𝑛}{𝑛 − 28}= 𝑛 +\frac{28(𝑛 − 28)}{𝑛 − 28}+\frac{28^2}{𝑛 − 28}= 𝑛 + 28 + \frac{28^2}{𝑛 − 28}\)
Jadi agar \(m\) adalah bilangan bulat, maka \(𝑛 − 28\) merupakan factor \(28^2\), banyak factor bulat dari \(28^2 = (2^2. 7)^2 = 2^4. 7^2\) adalah \(2(4 + 1)(2 + 1) = 30 = 𝑙\), jumlah digit dari \(𝑙\) adalah \(3 + 0=3\)

Diketahui \(∠𝐵 = ∠𝑃 = 45°\)
jika dimisalkan panjang sisi persegi adalah \(2𝑥\), maka \(𝐵𝑆 = 𝑃𝑆 = 2𝑥\) dan \(𝑃𝑁 = 𝑁𝐴 = 𝑥\). Dengan menggunakan rumus Pythagoras diperoleh \(𝐵𝑃 = 2𝑥\sqrt 2\) dan \(𝐴𝑃 =𝑥\sqrt 2\). Selanjutnya
\([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}𝐴𝐵^2 = 279\)
\(⇒\frac{1}{2}(𝐵𝑃 + 𝑃𝐴)^2 = 279\)
\(⇒\frac{1}{2}(3𝑥\sqrt 2)^2 = 279\)
\(⇒\frac{1}{2}(9𝑥4) = 279\)
\(⇒ 𝑥^2 = 31\)
Jadi \([𝑃𝑄𝑅𝑆] = (2𝑥)^2 = 4𝑥^2 = 4(31) = 124\; 𝑐𝑚^2\)

\(𝑁 =\frac{100!}{30!}\)
Banyaknya angka \(0\) berurutan di akhir nilai \(100!\) adalah

\(⌊\frac{100}{5}⌋ +⌊\frac{100}{5}⌋= 20 + 4 = 24\)

Banyaknya angka \(0\) beruruan di akhir nilai \(30!\) adalah
\(⌊\frac{30}{5}⌋ + ⌊\frac{6}{5}⌋ = 6 + 1 = 7\)

Jadi banyak angka nol berurutan yang terdapat pada akhir bilangan \(𝑁\) adalah \(24 – 7 = 17\)

Karena Nefa dan Sheril selalu berdekatan maka kita hitung menjadi satu paket, sehingga banyak susunan yaitu satu paket NS, 4 orang temannya dan 2 kursi identic. Banyak cara yaitu
\(\frac{7!}{2!}× 2 = 5040\)
(ket : dikali 2 karena susunan N dan S bisa ditukar)

grafik berpotongan sumbu \(x\) di titik \((\frac{1}{2}, 0)\) dan \((𝑚, 0)\). Karena titik puncaknya adalah \((2,-9)\)
maka sumbu simetri adalah \(𝑥 = 2\). Berlaku
\(2 =\frac{\frac{1}{2}+𝑚}{2}⇒ 4 =\frac{1}{2}+ 𝑚 ⇒ 𝑚 = 3,5\)

Misalkan bilangannnya adalah \(abcdcba\), dengan syarat \(𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑, 𝑎 ≠ 0\). Bilangan yang memenuhi sama dengan banyak cara memilih \(4\) bilangan berbeda dari himpunan bilangan \(\{1, 2, 3, 4, …, 9\}\). Banyak cara adalah \({9\choose 4}=\frac{9!}{5!4!}= 126\) cara.
Jadi banyaknya bilangan piramidis \(7\) digit adalah \(126\) bilangan.

segitiga kecil 

Luas arsiran sama dengan luas segitiga kecil di kali \(12\).
Dari keterangan gambar segitiga kecil memiliki tinggi \(\frac{𝑅}{2}\)
Dengan menggunakan perbandingan segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya \(60°\)

\(\frac{𝑠}{2}=\frac{\frac{𝑅}{2}}{\sqrt 3}\)
\(𝑠 =\frac{𝑅}{\sqrt 3}\)

Luas segitiga kecil  \(=\frac{1}{4}𝑠^2\sqrt 3 =\frac{1}{4}\frac{𝑅^2}{3}\sqrt 3\)

Luas arsiran \(= 12 ×\frac{1}{4}\frac{𝑅^2}{3}\sqrt 3 = 𝑅^2\sqrt 3\)