KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

\(𝑛𝑚=9𝑚+3𝑛+1\)
\(⇒𝑛𝑚−9𝑚−3𝑛=1\)
\( ⇒(𝑛−9)(𝑚−3)−27=1\)
\( ⇒(𝑛−9)(𝑚−3)=28\)
banyaknya pasangan bilangan asli \((𝑛,𝑚)\) sama dengan banyaknya factor positif \(28\).
Factor positif \(28\) adalah \(\{1, 2, 4, 7, 14, 28\}\)
Jadi banyaknya pasangan bilangan asli \((𝑛,𝑚)\) yang memenuhi adalah sebanyak \(6\) pasangan

Jika \(𝑎^𝑥=1,𝑎≠0\)
Kemungkinan 1 : \(𝑥=0\)
Kemungkinan 2 : \(𝑎=1\)
Kemungkinan 3 : \(𝑎=−1, 𝑥\) genap
Untuk
\((2𝑥−2011)^{𝑥^2−5𝑥−14}=1\)
Kemungkinan 1:
\(𝑥^2−5𝑥−14=0⟹(𝑥−7)(𝑥+2)=0⟹𝑥=7∪𝑥=−2\)
Kemungkinan 2:
\(2𝑥−2011=1⟹2𝑥=2012⟹𝑥=1006\)
Kemungkinan 3:
\(2𝑥−2011=−1⟹2𝑥=2010⟹𝑥=1005\)
Untuk \(𝑥=1005, 𝑥^2−5𝑥−14\) bernilai genap, \(𝑥=1005\) memenuhi.
Jadi jumlah semua nilai \(x\) adalah \(1005 + 1006 + 7 – 2 = 2016\)

\(𝑎=(𝑏+𝑐)𝑥\)
\(𝑏=(𝑎+𝑐)𝑥\)
\(𝑐=(𝑎+𝑏)𝑥\)
Jumlahkan ketiga persamaan , diperoleh
\((𝑎+𝑏+𝑐)=2(𝑎+𝑏+𝑐)𝑥\)
\(𝑥=\frac{𝑎+𝑏+𝑐}{2(𝑎+𝑏+𝑐)}\),\(𝑎+𝑏+𝑐≠0\)
\(𝑥=\frac{1}{2}\)
Untuk \(𝑎+𝑏+𝑐=0\), diperoleh 
\(b+c=-a\)
\(x=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{-a}=-1\)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(−1\) dan \(\frac{1}{2}\)

\(𝑥^4+𝑎𝑥^2+𝑏\)
\(=(𝑥^2+3𝑥+5)(𝑥^2−3𝑥+5)\)
\(=𝑥^4−3𝑥^3+5𝑥^2+3𝑥^3−9𝑥^2+15𝑥+5𝑥^2−15𝑥+25\)
\(= 𝑥^4+𝑥^2+25\)
Diperoleh \(𝑎=1\) dan \(𝑏=25\),

jadi nilai dari \(𝑎+𝑏 = 1+25=26\)

Jadi banyak jalan terpendek dari A menuju B adalah 36 cara

\(𝑆 = 𝐴 + 𝐸 + 16\)
\(𝑆^2 = (𝐴 + 𝐸 + 16)^2 = (𝐴 + 𝐸)^2 + 32(𝐴 + 𝐸) + 256 = 𝐴^2 + 𝐸^2 + 2𝐴𝐸 + 32(𝐴 + 𝐸) + 256\) …(1)
\(𝑆^2 = 1632 + 𝐴^2 + 𝐸^2\) … (2)
Samakan persamaan (1) dan (2)
\(𝐴^2 + 𝐸^2 + 2𝐴𝐸 + 32(𝐴 + 𝐸) + 256 = 1632 + 𝐴^2 + 𝐸^2\)
\(2𝐴𝐸 + 32(𝐴 + 𝐸) = 1376\)
\(𝐴𝐸 + 16(𝐴 + 𝐸) = 688\)
\(𝐴𝐸 + 16𝐴 + 16𝐸 = 688\)
\((𝐴 + 16)(𝐸 + 16) − 256 = 688\)
\((𝐴 + 16)(𝐸 + 16) = 944\)
Diperoleh
\((𝐴 + 16) = 16 ⟹ 𝐴 = 0\) dan
\((𝐸 + 16) = 59 ⟹ 𝐸 = 43\)
\(𝑆 = 𝐴 + 𝐸 + 16 = 0 + 43 + 16 = 59\)
Jadi jumlah umur mereka bertiga adalah \(0 + 43 + 59 = 102\)