KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

\(𝑎_{2011}=\frac{2011}{2011}=1\)

\(\frac{𝑎_{2011}^3}{1−3𝑎_{2011}+3𝑎_{2011}^2}=\frac{1^3}{1-3(1)+3(1)^2}=\frac{1}{1}=1\)

\(𝑎_{2010}=\frac{2010}{2011}=1-\frac{1}{2011}=1-a_1\)
\(𝑎_{2009}=\frac{2010}{2011}=1-\frac{2}{2011}=1-a_2\)
…
\(𝑎_{1006}=\frac{1006}{2011}=1-\frac{1005}{2011}=1-a_{1005}\)

Selanjutnya jumlahkan tiap pasangan
\(\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{𝑎_{2010}^3}{1−3𝑎_{2010}+3𝑎_{2010}^2}\)
\(=\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{(1-a_1)^3}{1−3(1-𝑎_1)+3(1-𝑎_1)^2}\)
\(=\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{1-3a_1+3a_1^2-a_1^3}{1−3+3𝑎_1+3(1-2𝑎_1+a_1^2)}\)
\(=\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{1-3a_1+3a_1^2-a_1^3}{1−3+3𝑎_1+3-6𝑎_1+3a_1^2}\)
\(=\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{1-3a_1+3a_1^2-a_1^3}{1−3𝑎_1+3a_1^2}\)
\(=\frac{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}=1\)

Demikian juga dengan 
\(\frac{𝑎_2^3}{1−3𝑎_2+3𝑎_2^2}+\frac{𝑎_{2009}^3}{1−3𝑎_{2009}+3𝑎_{2009}^2}=1\)
…
\(\frac{𝑎_{1005}^3}{1−3𝑎_{1005}+3𝑎_{1005}^2}+\frac{𝑎_{1006}^3}{1−3𝑎_{1006}+3𝑎_{1006}^2}=1\)

jadi

\(\frac{𝑎_1^3}{1−3𝑎_1+3𝑎_1^2}+\frac{𝑎_2^3}{1−3𝑎_2+3𝑎_2^2}+⋯+\frac{𝑎_{2011}^3}{1−3𝑎_{2011}+3𝑎_{2011}^2}=\underbrace{1+1+1+…+1}_{\mbox{1005}}+1=1006\)

\(1 + 2 + 3 + ⋯ + 9 = 45\)
Bagian penjumlahan misalkan \(𝑎\) dan bagian pengurangan misalkan \(𝑏\)
\(𝑎 + 𝑏 = 45\)
\(𝑎 − 𝑏 = 29\)
——————- +
\(2𝑎 = 74\)
\(𝑎 = 37\), diperoleh \(𝑏 = 8\)
banyaknya kemungkinan sama dengan banyak angka yang dijumlahkan sama dengan \(8\).
Banyaknya angka yang jumlahnya \(8\) adalah \(\{(8), (2,6), (3,5)\}\) ada \(3\) cara

Untuk \(𝑥 = 2\) yang memenuhi \(\{1^2, 2^2, 3^2, … , 44^2\}\) ada \(44\) bilangan
Untuk \(𝑥 = 3\) yang memenuhi \(\{1^3, 2^3, … , 12^3\}\) ada \(12\) bilangan
Untuk \(𝑥 = 4\) yang memenuhi \(\{1^4, 2^4, … , 6^4\}\) ada \(6\) bilangan
Untuk \(𝑥 = 5\) yang memenuhi \(\{1^5, 2^5, … , 4^5\}\) ada \(4\) bilangan
Untuk \(𝑥 = 6\) yang memenuhi \(\{1^6, 2^6, … , 3^6\}\) ada \(3\) bilangan
Untuk \(𝑥 = 7\) yang memenuhi \(\{17, 27\}\) ada \(2\) bilangan
Karena \(2^{10} = 1024\) maka untuk \(x=\{8, 9, 10\}\) ada \(2\) bilangan
Jadi banyak bilangan seluruhnya adalah \(44 + 12 + 6 + 4 + 3 +2(4) = 77\)

Bilangan pembentuk \(n\) terdiri dari \(7\) digit berbeda dipilih dari angka-angka \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
Untuk \(0\) tidak memenuhi karena \(0\) tidak membagi \(𝑛\)
Untuk \(5\) tidak memenuhi karena apabila \(𝑛\) habis dibagi \(5\) maka angka satuan dari \(𝑛\) adalah
\(0\) karena \(𝑛\) pasti genap, sedangkan angka \(0\) tidak memenuhi.
Untuk \(9\) juga tidak memenuhi karena jumlah digitnya bukan kelipatan \(9\)
Jadi bilangan yang tidak ada di \(n\) adalah \(0, 5\), dan \(9\) jumlahnya adalah \(14\)

\(\frac{1}{𝑚}+\frac{4}{𝑛}=\frac{1}{12}\)
\(⟹\frac{𝑛 + 4𝑚}{𝑚𝑛}=\frac{1}{12}\)
\(⟹ 𝑚𝑛 = 12𝑛 + 48𝑚\)
\(⟹ 𝑚𝑛 − 12𝑛 − 48𝑚 = 0\)
\(⟹ (𝑚 − 12)(𝑛 − 48) − 12.48 = 0\)
\(⟹ (𝑚 − 12)(𝑛 − 48) = 576\)
Faktor ganjil dari \(576\) adalah \(\{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}\). Jadi banyaknya pasangan bilangan bulat
positif \((m, n)\) dimana \(n\) adalah ganjil sama dengan banyaknya factor positif ganjil dari bilangan \(576\) yaitu ada \(3\)