KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

LMNas SMP

26. Tentukan tiga digit terakhir dari

\(29 × 299 × 2999 × …× \underbrace{9 9 … 9 9 9}_{\mbox{29 kali}}\)

(LMNas UGM 2017)


\(29 × 299 × 2999 × …× \underbrace{9 9 … 9 9 9}_{\mbox{29 kali}}\) mod 1000
\(= 29 × 299 ×\underbrace{(− 1 ) × ( − 1 ) × … × ( − 1 )}_{\mbox{27 kali}}\) mod 1000
\(= 8671(−1)\) mod 1000
\(= 671(−1)\) mod 1000
\(= −671\) mod 1000
\(= 329\)


27. Banyak himpunan X yang memenuhi

\({1,2,3,4,5} ⊆ 𝑋 ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,10,11}\)

(LMNas UGM 2017)


Himpunan \(X\) sudah pasti memiliki anggota \(\{1,2,3,4,5\}\) artinya untuk tambahan anggota untuk  himpunan \(X\) dipilih dari \(\{6, 7, 8, 9, 10, 11\}\), banyak cara sama dengan mencari banyaknya himpunan bagian dari \(\{6, 7, 8, 9, 10, 11\}\) yaitu \(2^6 = 64\) cara


28. Diketahui \(𝑎_𝑛 = 10^𝑛 + 12^𝑛\) untuk setiap bilangan asli \(𝑛\), sisa dari \(𝑎_{131}\) dibagi oleh \(1331\) adalah …(LMNas UGM 2017)


Binomial Newton
\((𝑎 + 𝑏)^𝑛 = {n\choose n}𝑎^𝑛 + {n\choose {n-1}}𝑎^{𝑛-1}b+{n\choose {n-2}}a^{n-2}b^2+…+{n\choose {1}}a^1b^{n-1}+{n\choose {0}}b^n\)

\(𝑎^𝑛 = 10^𝑛 + 12^𝑛 = (11 − 1)^𝑛 + (11 + 1)^𝑛\)
\(𝑎_{131} = (11 − 1)^{131} + (11 + 1)^{131}\) mod \(11^3\)

Misalkan \(𝐴 = (11 − 1)^{131}\) dan \(B = (11 + 1)^{131}\)  

\(A=(11 – 1)^{131} = {131\choose 131}11^{131} – {131\choose {130}}11^{130}+{131\choose {129}}11^{129}-…+{131\choose {1}}11^1-{131\choose {0}}11^0\)

 

\(B=(11 + 1)^{131} = {131\choose 131}11^{131} + {131\choose {130}}11^{130}+{131\choose {129}}11^{129}+…+{131\choose {1}}11^1+{131\choose {0}}11^0\)

 

\(A+B=2\{{131\choose 131}11^{131}+{131\choose {129}}11^{129}+…+{131\choose {1}}11^1\}\) mod \(11^3\)

\(= 2{131\choose {1}}11^1\) mod \(11^3\)

\(= 2(131)(110)\) mod \(1331\)

\(=2882\) mod \(1331=220\)


28. Semua lingkaran pada diagram di bawah ini menyinggung sisi-sisi AB dari segitiga serta jari-jari setiap lingkaran sama besar. Lingkaran paling kiri menyinggung sisi AC, serta lingkaran kanan menyinggung sisi BC. Apabila AB = 12, AC = 5 dan segitiga ABC siku-siku di A, maka jari-jari kelima lingkaran tersebut adalah …(LMNas UGM 2017)


Dengan menngunakan rumus Pythagoras diperoleh \(BC = 13\), misalakan jari-jari lingkaran adalah \(𝑟\)

\([𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝑂𝐵] + [𝐵𝑂𝐶] + [𝐴𝑂𝐶]\)
\(\frac{12 × 5}{2}=\frac{12𝑟}{2}+\frac{13𝑟}{2}+\frac{9𝑟(5)}{2}\)
\(30 =\frac{12𝑟}{2}+\frac{13r}{2}+\frac{45𝑟}{2}\)
\(𝑟 =\frac{6}{7}\)


29. Diberikan \(a\) dan \(b\) bilangan bulat positif sehingga
\(\frac{𝑎𝑏+1}{𝑎+𝑏}<\frac{3}{2}\). Nilai terbesar yang mungkin dari \({𝑎^3𝑏^3+1}{𝑎^3+𝑏^3}\) adalah \(\frac{𝑝}{𝑞}\), dengan \(p\) dan \(q\) adalah bilangan asli relative prima. Nilai \(𝑝 + 𝑞\) adalah …(LMNas UGM 2017)


Misalkan \(𝑎 = 1\) atau \(b=1\)
\(\frac{𝑎^3𝑏^3+1}{𝑎^3+𝑏^3}=1\),
Selanjutnya
\(\frac{𝑎𝑏 + 1}{𝑎 + 𝑏}<\frac{3}{2}\)
\(2𝑎𝑏 + 2 < 3𝑎 + 3𝑏\)
\(2𝑎𝑏 − 3𝑎 − 3𝑏 + 2 < 0\)
\(4𝑎𝑏 − 6𝑎 − 6𝑏 + 4 < 0\)
\((2𝑎 − 3)(2𝑏 − 3) − 5 < 0\)
\((2𝑎 − 3)(2𝑏 − 3) < 5\)
Karena \(a\) dan \(b\) bilangan bulat positif maka dipsatikan \((2𝑎 − 3)\) dan \((2𝑏 − 3)\) adalah ganjil,
kemungkinan nilai dari \((2𝑎 − 3)(2𝑏 − 3)\) adalah \(1\) atau \(3\),

• Untuk \((2𝑎 − 3)(2𝑏 − 3) = 1\), maka \((2𝑎 − 3) = 1\) dan \((2𝑏 − 3) = 1\), diperoleh \(𝑎 = 𝑏 = 2\), nilai dari \({𝑎^3𝑏^3+1}{𝑎^3+𝑏^3} = \frac{64+1}{16}=\frac{65}{16}\)

• Untuk \((2𝑎 − 3)(2𝑏 − 3) = 3\), maka \((2𝑎 − 3) = 1\) dan \((2𝑏 − 3) = 3\) atau sebaliknya , diperoleh \(𝑎 = 2\) dan \(𝑏 = 3\) atau sebaliknya. nilai dari \({𝑎^3𝑏^3+1}{𝑎^3+𝑏^3} = \frac{217}{35}=\frac{31}{5}\)
Diperoleh nilai terbesar dari
\(\frac{𝑎^3𝑏^3+1}{𝑎^3+𝑏^3}\) adalah \(\frac{31}{5}=\frac{𝑝}{𝑞}\), Jadi nilai dari \(𝑝 + 𝑞\) adalah \(36\)


30. Didefinisikan \(A\) adalah himpunan bilangan asli kurang dari \(1000\) yang habis dibagi \(7\) dan \(B\) adalah himpunan bilangan asli dari \(500\) sampai \(2015\) yang habis dibagi \(15\). Banyaknya anggota \(𝐴 ∪ 𝐵\) adalah . . .


Banyak bilangan asli habis dibagi \(7\) yang kurang dari \(1000 : 𝑛(𝐴) = ⌊\frac{1000}{7}⌋ = 142\)
Banyaknya bilangan asli dari \(500\) sampai dengan \(2015\) yang habis dibagi \(15 : 𝑛(𝐵) =⌊\frac{2015}{15}⌋ − ⌊\frac{500}{15}⌋ = 134 − 33 = 101\)
Banyak bilangan asli kelipatan \(105\) dari \(500\) sampai \(1000 : 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = ⌊\frac{1000}{105}⌋ −⌊\frac{500}{105}⌋ = 9 − 4 = 5\)
Jadi
\(𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 142 + 101 − 5 = 238\)


Pages ( 6 of 13 ): « Previous1 ... 45 6 78 ... 13Next »

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *