KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP

Misalkan \(𝑧 +\frac{1}{𝑥}= 𝑛\)
Kalikan ketiga persamaan:
\((𝑥 +\frac{1}{𝑦}) (𝑦 +\frac{1}{𝑧})(𝑧 +\frac{1}{𝑥}) = 2 × 3 × 𝑛 = 6𝑛\)
\((𝑥𝑦 +\frac{𝑥}{𝑧}+ 1 +\frac{1}{𝑦𝑧})(𝑧 +\frac{1}{𝑥}) = 6𝑛\)
\(𝑥𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑥 +\frac{1}{𝑧}+ 𝑧 +\frac{1}{𝑥}+\frac{1}{𝑦}+\frac{1}{𝑥𝑦𝑧}= 6𝑛\)
\(1 + 2 + 3 + 𝑛 +\frac{1}{1}= 6𝑛\)
\(7 + 𝑛 = 6𝑛\)
\(5𝑛 = 7\)
\(𝑛 =\frac{7}{5}\)

Dari segitiga \(ECB\) maka diperoleh perbandingan \(EF : FB = 2 : 3\).
Karena \(Δ𝐸𝐶𝐹 ≈ Δ𝐴𝐹𝐵\) dan \(EF : FB = 2 : 3\) maka perbandingan \(CF : FA = 2 : 3\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝐵𝐶\), karena \(CF : FA = 2 : 3\) maka \([𝐴𝐹𝐵] =\frac{3}{2}[𝐶𝐹𝐵] =\frac{3}{2}(3) = 4,5\)
Karena \([𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝐶𝐷]\) maka \([𝐴𝐷𝐸𝐹] = 7,5 − 2 = 5,5\) satuan luas

Karna hasil jumlahnya adalah ganjil, maka banyaknya bilangan juga ganjil atau \(n\) ganjil, misalkan suku tengah pada deret adalah \(𝑎\)

\((𝑎 − 2𝑚) + ⋯ + (𝑎 − 4) + (𝑎 − 2) + 𝑎 + (𝑎 + 2) + (𝑎 + 4) + ⋯ + (𝑎 + 2𝑚) = 4199\)
\(𝑛𝑎 = 4199\)

Jadi nilai \(n\) adalah factor ganjil dari \(4199\), karena nilai \(n\) paling minimum maka nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(13\).

\(𝑓(30) = 𝑓(3.10) = 3𝑓(10) + 10𝑓(3)\)
Nilai \(f(10)\) diketahui, yang dicari nilai dari \(f(3)\)
\(𝑓(15) = 𝑓(3.5) = 5𝑓(3) + 3𝑓(5) = 20\)
\(𝑓(10) = 𝑓(2.5) = 2𝑓(5) + 5𝑓(2) = 30\)
\(𝑓(20) = 𝑓(2.10) = 2𝑓(10) + 10𝑓(2) = 15\)

Cari nilai \(f(2)\)
\(2𝑓(10) + 10𝑓(2) = 15\)
\(2(30) + 10𝑓(2) = 15\)
\(10𝑓(2) = 15 − 60\)
\(𝑓(2) =\frac{−45}{10}= −\frac{9}{2}\)

Cara nilai \(𝑓(5)\)
\(2𝑓(5) + 5𝑓(2) = 30\)
\(2𝑓(5) + 5 (−\frac{9}{2}) = 30\)
\(2𝑓(5) + (−\frac{45}{2}) = 30\)
\(𝑓(5) =\frac{30 +\frac{45}{2}}{2}=\frac{105}{4}\)

Cari nilai dari \(𝑓(3)\)
\(5𝑓(3) + 3𝑓(5) = 20\)
\(5𝑓(3) + 3 (\frac{105}{4}) = 20\)
\(5𝑓(3) = 20 −\frac{315}{4}=\frac{80 − 315}{4}=\frac{−235}{4}\)
\(𝑓(3) = −\frac{235}{20}= −\frac{47}{4}\)
Jadi nilai
\(𝑓(30) = 3𝑓(10) + 10𝑓(3) = 3(30) + 10 (−\frac{47}{4}) = 90 −\frac{470}{4}=\frac{360−470}{4}= −27,5\)

\(𝑠_1 = 1\)
\(𝑠_2 = 1 + 2\)
\(𝑠_3 = 1 + 2 + 3\)
…
\(𝑠_{2015} = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 2015\)
\(𝑠_𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =\frac{𝑛(𝑛 + 1)}{2}\)
\(\frac{1}{𝑠_𝑛}=\frac{2}{𝑛(𝑛 + 1)}\)

\(\frac{1}{𝑠_1}+\frac{1}{𝑠_2}+\frac{1}{𝑠_3}+ ⋯ +\frac{1}{𝑠_{2015}}\)
\(=\frac{2}{1 × 2}+\frac{2}{2 × 3}+\frac{2}{3 × 4}+ ⋯ +\frac{2}{2015 × 2016}\)
\(= 2 (\frac{1}{1 × 2}+\frac{1}{2 × 3}+\frac{1}{3 × 4}+ ⋯ +\frac{1}{2015 × 2016})\)
\(= 2 (\frac{1}{1}−\frac{1}{2016}) = 2(\frac{2015}{2016}) =\frac{2015}{1008}\)