KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMA

Berdasarkan dalil vieta
\(𝑎+𝑏=\frac{5}{11}\) dan \(𝑎𝑏=−\frac{2}{11}\),
karena \(𝑎+𝑏=\frac{5}{11}\) dan \(𝑎𝑏=−\frac{2}{11}\) maka \(-1<a,b<1\), dengan menggunakan rumus jumlah geometri tak hingga

\((1+𝑎+𝑎^2+𝑎^3+⋯)(1+𝑏+𝑏^2+𝑏^3+⋯)\)
\(=(\frac{1}{1−𝑎})(\frac{1}{1−𝑏})\)
\(=\frac{1}{1−𝑏−𝑎+𝑎𝑏}=\frac{1}{1−(𝑎+𝑏)+𝑎𝑏}\)
\(=\frac{1}{\frac{11}{11}−\frac{5}{11}−\frac{2}{11}}=\frac{1}{\frac{4}{11}}=\frac{11}{4}\)

Misalkan : \(19𝑦^2−23𝑦+20=𝑎\), maka diperoleh persamaan: \(\sqrt{𝑎}+\sqrt{𝑎+33}=11\)
\(\sqrt{𝑎+33}=11−\sqrt{𝑎}\)
\(𝑎+33=121−22\sqrt{𝑎}+𝑎\)
\(22\sqrt{𝑎}=121−33\)
\(2\sqrt{𝑎}=11−3=8\)
\(\sqrt{𝑎}=4\)
\(𝑎=16\)

selanjutnya
\(\sqrt{19𝑦^2−23𝑦+40}+\sqrt{19𝑦^2−23𝑦+68}\)
\(=\sqrt{𝑎+20}+\sqrt{𝑎+48}\)
\(=\sqrt{36}+\sqrt{64}\)
\(=6+8=14\)

Banyak kemungkinan angka pada bola yang jumlahnya 12 adalah
• 4, 4, 1, 3, banyak susunannya adalah \(\frac{4!}{2!}=12\) cara
• 4, 4, 2, 2, banyak susunannya adalah \(\frac{4!}{2!.2!}= 6\) cara
• 4, 3, 3, 2, banyak susunannya adalah \(\frac{4!}{2!}=12\) cara
• 3, 3, 3, 3, cuma satu cara
Jadi banyak cara seluruhnya adalah \(12 + 12 + 6 + 1 = 31\) cara

\(\frac{2007!}{10^𝑛}=\frac{2007!}{2^𝑛.5^𝑛}\)

Dengan mengunakan teorema legendre, nilai maksimum \(𝑛\) adalah

\(𝑛=⌊\frac{2007}{5}⌋+⌊\frac{401}{5}⌋+⌊\frac{80}{5}⌋+⌊\frac{16}{5}⌋\)
\(=401+80+16+3=500\)

\(\frac{1}{𝑥^3}+\frac{1}{𝑥^2}−\frac{1}{𝑥}=0\) , kali kedua ruas dengan \(𝑥^2\), diperoleh
\(\frac{1}{𝑥}+1−𝑥=0⟹𝑥−\frac{1}{𝑥}=1\)
\(𝑥−\frac{1}{𝑥}=1⟹𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}−2=1⟹𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}=3\)
\(⟹𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}=3⟹𝑥^4+\frac{1}{𝑥^4}+2=9⟹𝑥^4+\frac{1}{𝑥^4}=7 … (1)\)
\(⟹𝑥^4+\frac{1}{𝑥^4}=7⟹𝑥^8+\frac{1}{𝑥^8}+2=49⟹𝑥^8+\frac{1}{𝑥^8}=47 …(2)\)
Kalikan persamaan (1) dan (2)
\((𝑥^4+\frac{1}{𝑥^4})(𝑥^8+\frac{1}{𝑥^8})=𝑥^{12}+\frac{1}{𝑥^4}+𝑥^4+\frac{1}{𝑥^{12}}\)
\(⟹7(47)=𝑥^{12}+\frac{1}{𝑥^{12}}+7 \)
\(⟹𝑥^{12}+\frac{1}{𝑥^{12}}=329−7=322\)