KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMA

Dalil vieta:
\(𝑎+𝑏+𝑐=−74\)
\(𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐=−34\)
\(𝑎𝑏𝑐=−64=−32\)
dari persamaan awal
\(4𝑥^3+7𝑥^2−3𝑥+6=0\) bagi dengan \(𝑥^2\)

\(4𝑥+7−\frac{3}{𝑥}+\frac{6}{𝑥^2}=0\)

\( \frac{6}{𝑥^2}=\frac{3}{𝑥}−4𝑥−7⟹\frac{1}{𝑥^2}=\frac{1}{2𝑥}−\frac{2}{3}𝑥−\frac{7}{6}\)

\(\frac{1}{𝑎^2}+\frac{1}{𝑏^2}+\frac{1}{𝑐^2}=(\frac{1}{2𝑎}−\frac{2}{3}𝑎−\frac{7}{6})+(\frac{1}{2𝑏}−\frac{2}{3}𝑏−\frac{7}{6})+(\frac{1}{2𝑐}−\frac{2}{3}𝑐−\frac{7}{6})\)

\( =\frac{1}{2}(\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐})−\frac{2}{3}(𝑎+𝑏+𝑐)−3(\frac{7}{6})\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐}{𝑎𝑏𝑐})−\frac{2}{3}(𝑎+𝑏+𝑐)−3(\frac{7}{6})\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{−\frac{3}{4}}{-\frac{3}{2}})−\frac{2}{3}(−\frac{7}{4})−\frac{21}{6}\)

\(=\frac{1}{2}(\frac{1}{2})+\frac{14}{12}−\frac{21}{6}\)

\(=\frac{3+14−42}{12}=−\frac{25}{12}\)

\(𝑝+𝑞+𝑟=1\)
\(𝑝𝑞+𝑝𝑟+𝑟𝑞=1\)
\(𝑝𝑞𝑟=2\)

\(𝑥^3−𝑥^2+𝑥−2=0⟹𝑥^3=𝑥^2−𝑥+2\)

\(𝑝^3+𝑞^3+𝑟^3=(𝑝^2−𝑝+2)+(𝑞^2−𝑞+2)+(𝑟^2−𝑟+2)\)

\(=𝑝^2+𝑞^2+𝑟^2−(𝑝+𝑞+𝑟)+6 =(𝑝+𝑞+𝑟)^2−2(𝑝𝑞+𝑝𝑟+𝑞𝑟)−(𝑝+𝑞+𝑟)+6\)

\(=1−2−1+6=4\)

Misalkan keempat bilangan tersebut adalah \(𝑎,𝑏,𝑐\) dan \(𝑑\)

\(𝑎+𝑏+𝑐=13\)
\(𝑎+𝑐+𝑑=73\)
\(𝑎+𝑏+𝑑=31\)
\(𝑏+𝑐+𝑑=78\)
Jumlahkan keempat persamaan di atas, diperoleh:
\(3𝑎+3𝑏+3𝑐+3𝑑=195\)
\(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑=65\)
Dari keempat persamaan terlihat bahwa nilai terkecil adalah 𝑎 dan nilai terbesar adalah 𝑑
\(𝑎+(𝑏+𝑐+𝑑)=65\)
\(𝑎+78=65\)
\(𝑎=−13\)
Selanjutnya
\((𝑎+𝑏+𝑐)+𝑑=65\)
\(13+𝑑=65\)
\(𝑑=52\)
Jadi selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah \(52—13=65\)

\(N O R A\)
\(A\)
————————— x
\(A R O N\)
Pilih \(A = 9\), diperoleh \(N = 1\)
Karena \(A= 9\), maka dipastikan \(ARON\) juga kelipatan \(9\), sehingga jumlah digit-digitnya juga kelipatan \(9\).
Kemungkinan nilai \(O\) yang memenuhi adalah \(0\) atau \(1\), selain itu hasil kalinya menghasilkan bilangan \(5\) digit.
Untuk \(O = 1, NORA = 1179\)
Untuk \(O = 0, NORA = 1089\)
Dengan melakukan percobaan nilai \(NORA\) yang memenuhi adalah \(1089\),
jadi \(𝐴+𝑅+𝑂+𝑁=18\)

\(3^9 + 3^{12} + 3^{15} +3^𝑛\)
\(=3^9(1+3^3+3^6+3^{𝑛−9})\)
\(=3^9(1+27+729+3^{𝑛−9})\)
\(= 3^9(757+3^{𝑛−9})\)

bilangan kubik terdekat adalah 1000
\(757+3^{𝑛−9}=10^3\)
\(3^{𝑛−9}=243=3^5\)
\(𝑛−9=5\)
\(𝑛=14\)