KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMA

\(\sum\limits_{n=1}^{2007}(−1)^{𝑛−1}𝑆_𝑛\)
\(=(−1)^{1-1}𝑆_1+(−1)^{2−1}𝑆_2+(−1)^{3−1}𝑆_3+⋯+(−1)^{2006−1}𝑆_{2006}+(−1)^{2007−1}𝑆_{2007}\)
\(=(1)+(−1)(−3)+(1)(4)+(−1)(−6)+⋯+(−1)(−3009)+(1)(3010)\) \(=1+3+4+6+7+9+⋯+3009+3010\)
\(=(1+4+7+⋯+3010)+(3+6+9+⋯+3009)\)
\(=\frac{3011(1004)}{2}+\frac{3012(1003)}{2}\)
\(=1511522+1510518\)
\(=3022040\)

\(𝑓(𝑛𝑚)= 𝑛 ∙𝑓(𝑚)+𝑚∙𝑓(𝑛)\)

\(𝑓(10)=𝑓(−5.(−2))=−5𝑓(−2)−2𝑓(−5)=19 …(1)\)
\(𝑓(12)=𝑓(−3.(−4))=−3𝑓(−4)−4𝑓(−3)=52 …(2)\)
\(𝑓(15)=𝑓(−5.(−3))=−5𝑓(−3)−3𝑓(−5)=26 …(3)\)
Yang dicari
\(𝑓(8)=𝑓(−4.(−2))=−4𝑓(−2)−2𝑓(−4)=⋯?\)
Misalkan \(𝑓(−2)=𝑎,𝑓(−5)=𝑏,𝑓(−4)=𝑐\) dan \(𝑓(−3)=𝑑\)
Diperoleh persamaan
\(−5𝑎−2𝑏=19 …(1)\)
\(−3𝑐−4𝑑=52 …(2)\)
\(−5𝑑−3𝑏=26 …(3)\)
Eliminasi persamaan (1) x 3 dan persamaan (3) x 2
\(−15𝑎−6𝑏=57\)
\(−10𝑑−6𝑏=52\)
————————- –
\(−15𝑎+10𝑑=5⟹−3𝑎+2𝑑=1 …(4)\)
Eliminasi persamaan (4)x2 dan persamaan (2)
\(−6𝑎+4𝑑=2\)
\(−3𝑐−4𝑑=52\)
————————-+
\(−6𝑎−3𝑐=54⟹−2𝑎−𝑐=18\)
Jadi \(𝑓(8)=𝑓(−4.(−2))=−4𝑓(−2)−2𝑓(−4)=−4𝑎−2𝑐=2(−2𝑎−𝑐)=2(18)=36\)

\(\sqrt{𝑥 + 3} − \sqrt{𝑥 − 1} = 1\)
\(⇒ \sqrt{𝑥 + 3} = 1 + \sqrt{𝑥 − 1}\)
\(⇒ (\sqrt{𝑥 + 3})^2 = (1 + \sqrt{𝑥 − 1})^2\)
\(⇒ 𝑥 + 3 = 1 + 2\sqrt{𝑥 − 1} + 𝑥 − 1\)
\(⇒ 2\sqrt{𝑥 − 1} = 3\)
\(⇒ \sqrt{𝑥 − 1} =\frac{3}{2}\)
\(⇒ 𝑥 − 1 =\frac{9}{4}\)
\(⇒ 𝑥 =\frac{13}{4}\)
Diperoleh nilai \(𝑎 = 13\) dan \(𝑏 = 4\),

jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 = 17\)

\(𝑝\) bilangan lima digit kelipatan 5, jelas bahwa satuannya pasti 0 atau 5, tapi karena digit pertama dan digit terakhir sama maka digit terakhir yang mungkin yaitu 5. Misalkan \(𝑝 =\overline{5abc5}\) , jumlah
digit-digit pada \(p\) habis dibagi 5, maka kemungkina nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = \{5, 10, 15, 20, 25\}\).
Pilih dua angka sebagai \(𝑎\) dan \(𝑏\) dari \(\{0, 1, 2, 3, …, 9\}\), setiap dua angka yang terpilih untuk \(a, b\) selalu ada 2 angka \(c\) yang mungkin. Jadi banyak bilangan \(p\) yang memenuhi adalah \(10 × 10 ×2 = 200\) bilangan.

\(𝑓 (\frac{1}{2015}) + 𝑓 (\frac{2014}{2015}) = 𝑓 (\frac{1}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{1}{2015})\)
\(𝑓 (\frac{2}{2015}) + 𝑓 (\frac{2013}{2015}) = 𝑓 (\frac{2}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{2}{2015})\)
\(𝑓 (\frac{3}{2015}) + 𝑓 (\frac{2012}{2015}) = 𝑓 (\frac{3}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{3}{2015})\)
…
\(𝑓 (\frac{1007}{2015}) + 𝑓 (\frac{1008}{2015}) = 𝑓 (\frac{1007}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{1007}{2015})\)

Cari bentuk umum dari
\(𝑓(𝑥) + 𝑓(1 − 𝑥) =\frac{9^𝑥}{9^𝑥 + 3}+\frac{9^{1−𝑥}}{9^{1−𝑥} + 3}×\frac{9^𝑥}{9^𝑥}\)
\(=\frac{9^𝑥}{9^𝑥 + 3} + \frac{9}{9 + 3(9^𝑥)}\)
\(=\frac{9^𝑥}{9^𝑥 + 3} + \frac{3}{3 + (9^𝑥)}\)
\(=\frac{9^𝑥 + 3}{9^𝑥 + 3} = 1\)
diperoleh
\(𝑓 (\frac{1}{2015}) + 𝑓 (\frac{2014}{2015}) = 𝑓 (\frac{1}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{1}{2015})=1\)
\(𝑓 (\frac{2}{2015}) + 𝑓 (\frac{2013}{2015}) = 𝑓 (\frac{2}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{2}{2015})=1\)
\(𝑓 (\frac{3}{2015}) + 𝑓 (\frac{2012}{2015}) = 𝑓 (\frac{3}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{3}{2015})=1\)
…
\(𝑓 (\frac{1007}{2015}) + 𝑓 (\frac{1008}{2015}) = 𝑓 (\frac{1007}{2015})+ 𝑓 (1 −\frac{1007}{2015})=1\)

Nilai dari
\(𝑓 (\frac{1}{2015})+𝑓 (\frac{2}{2015})+ 𝑓 (\frac{3}{2015}) + ⋯ + 𝑓 (\frac{2014}{2015})= 1007(1) = 1007\)