KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMA

Banyak cara menempatkan benteng pertama adalah 25 cara .
Banyak cara menempatkan benteng kedua adalah 16 cara
Banyak cara menempatkan benteng ketiga adalah 9 cara
Jadi banyak cara menempatkan ketiga benteng sehingga tidak ada dua benteng saling menyerang adalah 𝟐𝟓 × 𝟏𝟔 × 𝟗 = 𝟑𝟔𝟎𝟎 cara

Misalkan bilangan berurutannya adalah \(𝑎 − 2, 𝑎 − 1, 𝑎, 𝑎 + 1, 𝑎 + 2\)

\((𝑎 − 2)(𝑎 − 1)𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2) = 36((𝑎 − 2) + (𝑎 − 1) + 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2))\)
\(𝑎(𝑎^2 − 1)(𝑎^2 − 4) = 36(5𝑎)\)
\((𝑎^2 − 1)(𝑎^2 − 4) = 180\)

Nilai \(𝑎^2 = 16 ⟹ 𝑎 = 4\)
Bilangan terbesar \((𝐵) = 𝑎 + 2 = 4 + 2 = 6\)
Bilangan terkecilnya \((𝐾) = 𝑎 − 2 = 4 − 2 = 2\)
Jadi nilai \(𝐵^2 − 𝐾^2\) adalah \(36 – 4 = 32\)

\(30! = 2𝑎 × 3𝑏 × 5𝑐 × 7𝑑 × 11𝑒 × 13𝑓 × 17 × 19 × 23 × 29\)

\(𝑎 = ⌊\frac{30}{2}⌋ + ⌊\frac{15}{2}⌋ + ⌊\frac{7}{2}⌋ + ⌊\frac{3}{2}⌋ = 15 + 7 + 3 + 1 = 26\)
\(𝑏 = ⌊\frac{30}{3}⌋ + ⌊\frac{10}{3}⌋ + ⌊\frac{3}{2}⌋ = 10 + 3 + 1 = 14\)
\(𝑐 = ⌊\frac{30}{5}⌋ + ⌊\frac{6}{5}⌋ = 6 + 1 = 7\)
\(𝑑 = ⌊\frac{30}{7}⌋ = 4\)
\(𝑒 = ⌊\frac{30}{11}⌋ = 2\)
\(𝑓 = ⌊\frac{30}{13}⌋ = 2\)

\(30! = 2^{26} × 3^{14} × 5^7 × 7^4 × 11^2 × 13^2 × 17 × 19 × 23 × 29\)

Factor dari \(30!\) yang habis dibagi \(667\) yaitu semua factor yang habis dibagi \(23\) dan \(29\)
Misalkan salah satu faktornya adalah \(n, 𝑛 = 23 × 29 × 𝑚\) dimana \(m\) merupakan semua factor dari \(30!\) yang tidak habis dibagi \(23\) atau \(29\).
Banyaknya kemungkinan nilai \(m\) adalah \((27 × 15 × 8 × 5 × 3 × 3 × 2 × 2) = 583200\)

Misalkan

\(\frac{1}{3}+ 2(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^5 + 4(\frac{1}{3})^7+ ⋯ = 𝑠 … (1)\)

Kalikan kedua ruas dengan \(3^2\)

\(3 + 2 (\frac{1}{3}) + 3(\frac{1}{3})^3 + 4(\frac{1}{3})^5 + ⋯ = 9𝑠 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1)
\(3 +\frac{1}{3}+ (\frac{1}{3})^3+ (\frac{1}{3})^5+(\frac{1}{3})^7+ ⋯ = 8𝑠\)
\(\frac{3}{1 −\frac{1}{9}}= 8𝑠\)
\(\frac{3}{\frac{8}{9}}= 8𝑠 ⟹ 8𝑠 =\frac{27}{8}⟹ 𝑠 =\frac{27}{64}\)

Diperoleh \(𝑚 = 27\) dan \(𝑛 = 64\), nilai dari \(𝑚 + 𝑛 = 91\)

misalkan
\(𝑘^2 − 19𝑘 + 99 = 𝑛^2\)
\(4𝑘^2 − 76𝑘 + 396 = 4𝑛^2\)
\((2𝑘 − 19)^2 − 361 + 396 = (2𝑛)^2\)
\((2𝑛)^2 − (2𝑘 − 19)^2 = 35\)
\((2𝑛 + 2𝑘 − 19)(2𝑛 − 2𝑘 + 19) = 35\)

• Kemungkinan 1
  \(2𝑛 + 2𝑘 − 19 = 35\)
  \(2𝑛 − 2𝑘 + 19 = 1\)
  _________________________-
  \(4𝑘 − 38 = 34\)
  \(𝑘 = 18\)
• Kemungkinan 2
  \(2𝑛 + 2𝑘 − 19 = 7\)
  \(2𝑛 − 2𝑘 + 19 = 5\)
  ________________________-
  \(4𝑘 − 38 = 2\)
  \(𝑘 = 10\)
• Kemungkinan 3
  \(2𝑛 + 2𝑘 − 19 = 5\)
  \(2𝑛 − 2𝑘 + 19 = 7\)
  ________________________-
  \(4𝑘 − 38 = -2\)
  \(𝑘 = 9\)
• Kemungkinan 4
  \(2𝑛 + 2𝑘 − 19 = 1\)
  \(2𝑛 − 2𝑘 + 19 = 35\)
  _________________________-
  \(4𝑘 − 38 = -34\)
  \(𝑘 = 1\) tidak memenuhi

Jadi kuadrat dari semua nilai k yang memenuhi adalah \(18^2 + 9^2 + 10^2 = 505\)