Kumpulan Soal Lomba Matematika OMVN SMA

\(18^𝑛\; 𝑚𝑜𝑑\; 10 ≡ 8\)
\(8^𝑛\; 𝑚𝑜𝑑\; 10 ≡ 8 ⟹ 𝑛 = 1\)
Jadi \(7𝑛\; 𝑚𝑜𝑑\; 4 ≡ 7(1)\; 𝑚𝑜𝑑\; 4 ≡ 3\)

\(⌈\frac{(3 − \sqrt 3)(2\sqrt 5 + \sqrt{10}) − (1 − \sqrt 3)(2\sqrt 5 + 3\sqrt{10})}{2 + \sqrt 6}⌉\)

\(= ⌈\frac{6\sqrt 5 + 3\sqrt{10} − 2\sqrt{15} − \sqrt{30} − (2\sqrt 5 + 3\sqrt{10} − 2\sqrt{15} − 3\sqrt{30})}{2 + \sqrt 6}⌉\)

\(= ⌈\frac{4\sqrt 5 + 2\sqrt{30}}{2 + \sqrt 6}⌉\)

\(= ⌈\frac{2\sqrt 5(2 + \sqrt 6)}{2 + \sqrt 6}⌉\)

\(= ⌈2√\sqrt 5⌉ = 5\)

• Untuk c=1, c=2 dan c=0 tidak memenuhi.
• Untuk c=3, \(\overline{ab3de}\) karena \(𝑎 < 𝑏 < 3\) dan \(3 > 𝑑 > 𝑒\) banyak pilihan \(a\) dan \(b\) ada \({2\choose 2}\), banyak pilihan \(d\) dan \(e\) ada \({3\choose 2}\), banyak susunan bilangannya adalah \({2\choose 2}{3\choose 2} = 1 × 3 = 3\) bilangan
• Untuk c=4, \(\overline{ab4de}\) karena \(𝑎 < 𝑏 < 4\) dan \(4 > 𝑑 > 𝑒\) banyak pilihan \(a\) dan \(b\) ada \({3\choose 2}\), banyak pilihan \(d\) dan \(e\) ada \({4\choose 2}\), banyak susunan bilangannya adalah \({3\choose 2}{4\choose 2} = 3 × 6 = 18\) bilangan
• Untuk c=5, \(\overline{ab5de}\) karena \(𝑎 < 𝑏 < 5\) dan \(5 > 𝑑 > 𝑒\) banyak pilihan \(a\) dan \(b\) ada \({4\choose 2}\), banyak pilihan \(d\) dan \(e\) ada \({5\choose 2}\), banyak susunan bilangannya adalah \({4\choose 2}{5\choose 2} = 6 × 10 = 60\) bilangan
• …
• Untuk c=9, \(\overline{ab9de}\) karena \(𝑎 < 𝑏 < 9\) dan \(9 > 𝑑 > 𝑒\) banyak pilihan \(a\) dan \(b\) ada \({8\choose 2}\), banyak pilihan \(d\) dan \(e\) ada \({9\choose 2}\), banyak susunan bilangannya adalah \({8\choose 2}{9\choose 2} = 28 × 36 = 1008\) bilangan

Jadi banyak bilangan yang memenuhi adalah
\({2\choose 2}{3\choose 2}+{3\choose 2}{4\choose 2}+{4\choose 2}{5\choose 2}+{5\choose 2}{6\choose 2}+{6\choose 2}{7\choose 2}+{7\choose 2}{8\choose 2}+{8\choose 2}{9\choose 2}\)
\(= 3 + 18 + 60 + 150 + 315 + 42(28) + 1008 = 2142\)

Misalkan \(𝑀 = \overline{abcd}\)
\(𝑅(𝑀) = 4𝑀 + 3\)
̅\(\overline{dcba} = 4\overline {abcd} + 3\)
\(1000𝑑 + 100𝑐 + 10𝑏 + 𝑎 = 4000𝑎 + 400𝑏 + 40𝑐 + 4𝑑 + 3\)
\(996𝑑 + 60𝑐 − 390𝑏 − 3999𝑎 = 3\)
\(332𝑑 + 20𝑐 − 130𝑏 − 1333𝑎 = 1\)
Kemungkinan nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(1\) dan \(2\)

• Pilih \(𝑎 = 1\),
  \(332𝑑 + 20𝑐 − 130𝑏 − 1333 = 1\)
  \(332𝑑 + 20𝑐 − 130𝑏 = 1334\)
  \(166𝑑 + 10𝑐 − 65𝑏 = 667\)
  \(10𝑐 − 65𝑏 = 667 − 166𝑑\)
  Karena \(d\) minimal \(4\), nilai \(d\) yang mungkin \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) karena \(10𝑐 − 65𝑏\) habis dibagi \(5\) maka \((667 − 166𝑑)\; mod\; 5 ≡ 0 ⟹ (2 − 1𝑑)𝑚𝑜𝑑\; 5 ≡ 0\), nilai \(d\) yang memenuhi adalah \(7\).
  \(10𝑐 − 65𝑏 = 667 − 166(7)\)
  \(10𝑐 − 65𝑏 = −495\)
  \(2𝑐 − 13𝑏 = −99\)
  Diperoleh nilai \(c=9\) dan \(b=9\). Bilangan yang memenuhi adalah \(1997\)
• Pilih \(𝑎 = 2\),
  \(332𝑑 + 20𝑐 − 130𝑏 − 1333(2) = 1\)
  \(332𝑑 + 20𝑐 − 130𝑏 = 2667\)
  \(20𝑐 − 130𝑏 = 2667 − 332𝑑\)
  Karena \(d\) minimal \(4\), nilai \(d\) yang mungkin \(\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}\), karena \(20𝑐 − 130𝑑\) habis dibagi \(5\) maka \((2667 − 332𝑑)𝑚𝑜𝑑\; 5 ≡ 0 ⟹ (2 − 2𝑑)𝑚𝑜𝑑\; 5 ≡ 0\), nilai \(d\) yang memenuhi \(d=6\)
  \(20𝑐 − 130𝑑 = 2667 − 332(6)\)
  \(20𝑐 − 130𝑑 = 675\)
  \(4𝑐 − 26𝑑 = 135\)
  Tidak memenuhi
  Jadi Banyaknya bilangan asli \(M\) yang memenuhi \(R(M ) = 4M + 3\) adalah \(1\) bilangan

\(𝑥^2 + 3𝑦^2 = 8\)
\(𝑥^2 = 8 − 3𝑦^2\)
\(𝑥 = \sqrt {8 − 3𝑦^2}\)
karena \(x\) dan \(y\) bilangan bulat, tidak ada bilangan \(x\) dan \(y\) memenuhi persamaan di atas,
jadi banyaknya solusi adalah \(0\)

• 3 tiang dan 7 pilihan cat,
  banyak caranya sama dengan banyak cara memilih 3 tiang dari 9 tiang lalu dari 3 tiang akan dicat dengan warna berbeda yang dipilih dari 7 warna berbeda, banyak cara adalah   \({9\choose 3}(7×6×5)=17.640\)
• 4 tiang dan 7 pilihan cat,
  banyak caranya sama dengan banyak cara memilih 4 tiang dari 9 tiang lalu dari 4 tiang akan dicat dengan warna berbeda yang dipilih dari 7 warna berbeda, banyak cara adalah   \({9\choose 4}(7×6×5×4)=105.840\)
• 5 tiang dan 7 pilihan cat,
  banyak caranya sama dengan banyak cara memilih 5 tiang dari 9 tiang lalu dari 5 tiang akan dicat dengan warna berbeda yang dipilih dari 7 warna berbeda, banyak cara adalah   \({9\choose 5}(7×6×5×4×3)=317.520\)
• 6 tiang dan 7 pilihan cat,
  banyak caranya sama dengan banyak cara memilih 6 tiang dari 9 tiang lalu dari 6 tiang akan dicat dengan warna berbeda yang dipilih dari 7 warna berbeda, banyak cara adalah   \({9\choose 6}(7×6×5×4×3×2)=423.360\)
• 7 tiang dan 7 pilihan cat,
  banyak caranya sama dengan banyak cara memilih 7 tiang dari 9 tiang lalu dari 6 tiang akan dicat dengan warna berbeda yang dipilih dari 7 warna berbeda, banyak cara adalah   \({9\choose 7}(7×6×5×4×3×2×1)=181.440\)

untuk 8 tiang dan 9 tiang tidak memenuhi karna warna cat yang tersedia hanya 7 warna

Jadi banyak cara seluruhnya adalah \(17.640+105.840+317.520+423.360+181.440=1.045.800\) cara