Kumpulan Soal Lomba Matematika OMVN SMP

Luas segienam
\(=6\times \frac{1}{4}\times 𝑠^2\times \sqrt 3=24\sqrt 3\)
\(⇒𝑠^2=16⟹𝑠=4\)
Panjang \(𝑥=\sqrt{8^2−4^2}=\sqrt{64−16}=\sqrt{48}=4\sqrt 3\)

\([𝐴𝐵𝐷]=\frac{1}{2}|𝐵𝐷|.|𝐴𝐵|=\frac{1}{2}(12)(20\sqrt 3)=120\sqrt 3\) \([𝐵𝐹𝐶]=\frac{1}{2}|𝐵𝐶|.|𝐵𝐹|=\frac{1}{2}(36)(12\sqrt 3)=216\sqrt 3\)
\([𝐴𝐵𝐷]=5𝑎+3𝑏=120\sqrt 3\)
\([𝐵𝐹𝐶]=3𝑎+9𝑏=216\sqrt 3\)
Kurangkan kedua persamaan:
\(6𝑏−2𝑎=96\sqrt 3⟹[𝐷𝐸𝐶]−[𝐴𝐹𝐸]=96\sqrt 3\)

Cari semua pasangan \(𝑏−𝑑=4\), karena nilai \(a<100\) maka kemungkinan pasangan bilangan prima \(𝑏\) dan \(𝑑\) yang memenuhi adalah \((3, 7 ), (7, 11), (13, 17), (37, 41), (43, 47)\), dengan melakukan observasi
\(𝑎=47+𝑐+43−3=87+𝑐\), karena \(c\) bilangan prima dan \(𝑎\) juga prima maka nilai \(𝑐\) yang memenuhi adalah \(2\) dan nilai \(𝑎=89\).
Jadi nilai masimum \(a\) adalah \(89\)

Kemungkinan 1
Semua kamar digunakan masing-masing terisi 1 orang, susunannya adalah 11111
banyak cara adalah \(1\times 5!=120\) cara

Kemungkinan 2
Susunannya adalah 2, 1, 1, 1, 0 orang
Banyak cara \(\frac{5!}{3!}\)\(5\choose 2\)\(3!=20\times {10}\times 6=1200\) cara

Kemungkinan 3
Susunanya adalah 2, 2, 1, 0, 0
Banyak cara \(\frac{5!}{2!.2!}\)\(5\choose 2\)\( 3\choose 2\)\(=30\times {10}\times 3=900\) cara

Banyak cara seluruhnya adalah \(120+ 1200+900=2220\) cara

Kemungkinan 1
Soal nomor 10 salah, dari 9 soal yang tersisa, 7 nomor benar, banyak kemungkinan \({9\choose 7}=36\) cara
Kemungkinan 2
Soal nomor 10 kosong, dari 9 soal yang tersisa, 7 nomor benar, banyak kemungkinan \({9\choose 7}=36\) cara
Kemungkinan 3
Soal nomor 10 benar, dari 9 soal yang tersisa, 6 nomor benar, banyak kemungkinan \({9\choose 6}=84\) cara
Jadi banyak kemungkinan jawaban Nabilah adalah \(36 + 36 + 84 = 156\) cara

Bilangan \(5\) digit terkecil yang memenuhi adalah \(11115\)
Bilangan \(5\) digit terbesar yang memenuhi adalah \(51111\)
\(11115 = 9 ×\times {1235} = 9\times 5\times 13\times 19\)
\(51111 = 9\times 5679\)
Karena \(5679\) tidak habis dibagi oleh \(5, 13\) dan \(19\) maka
\(FPB (11115, 51111) = 9\)

Misalkan banyak kelereng adalah \(𝑁\)
\(𝑀+𝐵+𝐻+𝑃≤520\)
\(⟹\frac{𝑁}{7}+\frac{𝑁}{8}+\frac{𝑁}{9}+𝑃≤520\)

\(⟹\frac{72𝑁+63𝑁+56𝑁}{504}+𝑃≤520\)

\(⟹\frac{191𝑁}{504}+𝑃≤520\)

karena \(191\) dan \(504\) saling prima,agar \(\frac{191𝑁}{504}\) merupakan bilangan bulat maka nilai \(N\) terkecil yang memenuhi adalah \(504\).

Dengan cara mencari pola

\(\sqrt{4+1\times 2\times 5\times 6} =\sqrt{64} = 8 =1\times 6+2\)
\(\sqrt{4+2\times 3\times 6\times 7} =\sqrt{256} = 16 =2\times 7+2\)
\(\sqrt{4+3\times 4\times 7\times 8} =\sqrt{676} = 26 =3\times 8+2\)
…
…
…
\(\sqrt{4+2015\times 2016\times 2019\times 2020} =2015\times 2020+2=4070302\)

Dengan cara pemisalan:

\(252 =6\times 6\times 7=4\times 9\times 7\)
Banyaknya bilangan ganjil yang memenuhi \(667, 497, 479, 749, 947\) banyaknya ada \(5\)

\(1 = 1\)

\(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}=2\)

\(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}=3\)

\(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\frac{4}{4}+\frac{3}{4}+\frac{2}{4}++\frac{1}{4}=\frac{16}{4}=4\)

….

dengan menggunakan pola di atas maka

\(\frac{1}{2013}+\frac{2}{2013}+…+\frac{2013}{2013}+…+\frac{2}{2013}+\frac{1}{2013}=2013\)

Jadi nilai dari 

\(1+\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2013}+\frac{2}{2013}+…+\frac{2013}{2013}+…+\frac{2}{2013}+\frac{1}{2013}\) 

\(=1+2+3+…+2013=\frac{(1+2013)(2013)}{2}=\frac{2014(2013)}{2}=1007(2013)=2027091\)

\( 3^9𝑎+3^8+3^{6}\)
\(=3^6(3^3𝑎+3^2+1)\)
\(=3^6(27𝑎+10)\)

karena \(3^6\) merupakan bilangan kubik maka \(27𝑎+10\) juga merupakan bilangan kubik
Bilangan kubik \(\{1, 8, 27, 64, 125, 216, …\}\)
Karena yang dicari nilai \(𝑎\) terkecil maka nilai \(27𝑎+10\) yang mungkin adalah \(64\), diperoleh \(𝑎=2\)