11. Jumlah dari besar suatu sudut lancip dan suatu sudut tumpul adalah 140ΒΊ . Jumlah dari dua kali suplemen sudut tumpul dan tiga kali komplemen sudut lancip itu adalah 340ΒΊ . Hasilkali dari besar sudut lancip dan sudut tumpul tersebut adalah β¦ .(OMVN 2011)
Misalkan sudut lancip adalah \(π₯Β°\), komplemen dari sudut \(π₯Β°\) adalah \(90Β°βπ₯Β°\). Misalkan sudut tumpul adalah \(π¦Β°\), suplemen dari sudut tumpul adalah \(180Β°βπ¦Β°\). Berdasarkan keterangan soal, diperoleh persamaan \(π₯Β°+π¦Β°=140Β°\) β¦(1) \(2(180Β°βπ¦Β°)+3(90Β°βπ₯Β°)=340Β°\) \(360Β°β2π¦Β°+270Β°β3π₯Β°=340Β°\) \(2π¦Β°+3π₯Β°=290Β°\) β¦(2) Kurangkan persamaan (2) dengan dua kali persamaan (1) \(2π¦Β°+3π₯Β°=290Β°\) \(2π₯Β°+2π¦Β°=280Β°\) ———————————— – \(π₯Β°=10 , π¦Β°=130Β°\) Jadi Hasilkali dari besar sudut lancip dan sudut tumpul tersebut adalah \(10Γ130=1300Β°\)
12. Untuk \(π,π,πββ\) , diberikan system persamaan
13. Empat tim sepakbola mengikuti suatu turnamen. Setiap tim bertanding melawan masing-masing tim lainnya sekali. Setiap kali bertanding, suatu tim memperoleh nilai 3 jika menang, 0 jika kalah, dan 1 jika pertandingan berakhir seri. Di akhir turnamen salah satu tim memperoleh nilai total 4. Jumlah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit adalah …..(OMVN 2011)
Poin menang (M) = 3 Poin kalah (K) = 0 Poin seri (S) = 1 Misalkan keempat tim adalah tim A, B, C dan D, dan tim A memperoleh nilai = 4.
Kemungkinan poin akhir keempat tim adalahΒ A = M, K, S = 4 poin B = K, S, S = 2 poin C = M, S, S = 5 poin D = S, S, S = 3 poin Tersisa 6 pertandingan lagi, karena yang ditanyakan adalah nilai total ketiga tim lainnya paling sedikit maka 6 pertandingan harus berakhir seri. Jadi total poin minimum dari ketiga tim B, C dan D adalah 2 + 5 + 3 = 10 poin
14. Sebuah fungsi π didefinisikan pada bilangan bulat. Fungsi tersebut ternyata memenuhi persamaan berikut, \(π(1) + π(2) + β¦ + π(π) = π^2 π(π)\). Diketahui bahwa \(π(1) = 2010\). Berapakah nilai dari \(π(2011)\). (OMVN 2011)
Untuk \(π=1,π(1)=2010\)
Untuk \(π=2,π(1)+ π(2)=2^2π(2)βΉ3π(2)=π(1)\) \(βΉπ(2)=\frac{π(1)}{3}=\frac{2010}{3}\)
Untuk \(π=3,π(1)+ π(2)+π(3)=3^2π(3)\) \(βΉ8π(3)=π(1)+\frac{π(1)}{3}=4\frac{π(1)}{3}\) \(βΉπ(3)=\frac{π(1)}{6}=\frac{2010}{6}\)
Untuk \(π=4,π(1)+ π(2)+π(3)+π(4)=4^2π(4)\) \(βΉ15π(4)=9π(3)=9\frac{π(1)}{6}=3\frac{π(1)}{2}\) \(βΉ5π(4)=\frac{π(1)}{2}\) \(βΉπ(4)=\frac{π(1)}{10}=\frac{2010}{10}\) Β β¦
Untuk π\(=πβΉπ(π)=\frac{2010}{1+2+3+β―+π}\)
Jadi \(π(2011)=\frac{2010}{1+2+3+β―+2011}=\frac{2010}{\frac{2011.2012}{2}}=\frac{2010}{2011.1006}=\frac{1005}{2011.503}=\frac{1005}{1011533}\)
15. Suatu trapesium \(ABCD\) siku-siku di \(B\) dan di \(C\). Panjang \(AB = 5, CD = 10\), danΒ \(AD = 13\). Akan dibuat segitiga \(AED\) dengan \(E\) berada di ruas garis \(BC\). Keliling terkecil yang mungkin dari segitiga \(AED\) adalahβ¦.
\(|BC|=|AF|=\sqrt{AD^2-FD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\) misalkan \(|CE| = x\), maka \(BE=12-x\)
Karena yang dicari adalah nilai minimum maka nilai dari \(\sqrt{(12-x)^2+5^2}+\sqrt{(x)^2+10^2}\) harus minimum
Berdasarkan gambar berikut ini
nilai minimum dari \(\sqrt{(12-x)^2+5^2}+\sqrt{(x)^2+10^2}=\sqrt{15^2+12^2}=3\sqrt{41}\)
Jadi keliling minimum adalah \(13+3\sqrt{41}\)
16. Titik pusat dari lingkaran-lingkaran kongruen yang berdiameter 24 pada gambar di bawah terletak pada titik-titik sudut bidang datar tak beraturan. Keliling daerah yang diarsir adalah β¦ (OMVN 2013)
besar sudut segi 12 tak beraturan adalah \(10\times 180ΒΊ=1800ΒΊ\)
Total sudut daerah arsiran adalahΒ \(= 360 Γ 12 β 10 Γ 180 = 4320 β 1800 = 2520Β°\) Keliling arsiran \(=\) total panjang busur \(+ 12π\) \(= \frac{2520}{360}\times 2ππ + 12π\) \(= 14π12 + 12(24)\) \(= 168π + 288\)
17. Tentukan semua bilangan bulat positif \((m, n)\) dengan \(n\) bilangan ganjil yang memenuhi
\(\frac{1}{π}+\frac{4}{π}=\frac{1}{12}\)
(OMVN 2013)
\(\frac{1}{π}+\frac{4}{π}=\frac{1}{12}\) \(βΉ\frac{π+4π}{ππ}=\frac{1}{12}\) \(βΉππ=12π+48π\) \(βΉππβ12πβ48π=0\) \(βΉ(πβ12)(πβ48)β576=0\) \( βΉ(πβ12)(πβ48)=576\) Karena \(n\) ganjil maka nilai dari \((πβ48)\) yang mungkin adalah \(\{1, 3, 9\}\), nilai \(n\) yang mungkin adalah \(\{49, 51, 57\}\). Untuk \(π=49,πβ12=576βΉπ=588\) Untuk \(π=51,πβ12=192βΉπ=204\) Untuk \(π=57,πβ12=64βΉπ=76\) Jadi pasangan \((m,n)\) yang memenuhi adalah \((588,49), (204,51)\) dan \((76,57)\)
18. Untuk suatu bilangan tak negative, \(2013^π₯\) bersisa \(7\) ketika dibagi \(10\). Berapakah sisa pembagian dari \(2013π₯\) dibagi \(1342\). (OMVN 2013)
\(2013^π₯\) mod \(10 = 7\) \(3^π₯\) mod \(10 = 7\) \(π₯=\{3,7,11,β¦,4πβ1\}\) Pilih \(π₯=3\) \(2013Γ3\) mod \(1342Β = 671Γ3\) mod \(1342 = 2013\) mod \(1342 = 671\)
20. Ada berapa bilangan dari 1000 sampai 9999 yang digit-digitnya memiliki urutan naik atau turun? (contoh naik: 1234, contoh turun: 4321)(OMVN 2013)
Banyak urutan naik, sama halnya mengambil 4 angka dari 9 angka {1, 2, 3, β¦, 9} Banyak cara yaitu \({9\choose 4}=\frac{9!}{5!.4!} = 126\)
Banyak urutan turun tanpa memuat angka 0, sama halnya mengambil 4 angka dari 9 angka {1, 2, 3, β¦, 9} Banyak cara yaituΒ \({9\choose 4}=\frac{9!}{5!.4!} = 126\)
Banyak urutan turun dengan memuat angka 0, karena angka 0 selalu posisi akhir maka sama halnya mengambil 3 angka dari 9 angka {1, 2, 3, β¦, 9} banyak cara yaitu \({9\choose 3}=\frac{9!}{6!.3!}= 84\)
Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi adalah \(126 + 126 + 84 = 336\)