Kumpulan Soal Lomba Matematika OMVN SMP

Misalkan banyak bola yang di bawa oleh Tom, Rian, Yaya, Dzeko, dan Paijo adalah \(T, R, Y, D,\) dan \(P \). Karena \(Y \) kelipatan 3 maka kemungkinan nilai \(Y \) adalah \(\{3, 6, 9\} \)
Dengan menggunakan teorema star bars

• Untuk \(Y=3, T+R+D+P=12 \)
  Banyak cara \({{12-1}\choose {4-1}}={{11}\choose {3}}=165\) cara

• Untuk \(Y=6, T+R+D+P=9 \)
  Banyak cara \({{9-1}\choose {4-1}}={{8}\choose {3}}=56\) cara

• Untuk \(Y=9, T+R+D+P=6 \)
  Banyak cara \({{6-1}\choose {4-1}}={{5}\choose {3}}=10\) cara

Jadi banyak cara seluruhnya adalah \(165 + 56 + 10 = 231\) cara

\(\frac{(1+2+3+4+⋯+𝑘)−2(3+6+9+12+⋯+𝑘)}{𝑘}=2013\)

\((1+2+3+4+⋯+𝑘)−6(1+2+3+4+⋯+\frac{𝑘}{3})=2013𝑘\)

\(\frac{(𝑘+1)𝑘}{2}−6\left(\frac{(1+\frac{𝑘}{3})\frac{𝑘}{3}}{2}\right)=2013𝑘\)

\((𝑘+1)𝑘−6(1+\frac{𝑘}{3})\frac{𝑘}{3}=4026𝑘\)

\(𝑘^2+𝑘−2𝑘−\frac{2}{3}𝑘^2=4026𝑘\)

\(\frac{1}{3}𝑘^2−𝑘=4026𝑘\)

\(\frac{1}{3}𝑘−1=4026\)

\(\frac{1}{3}𝑘=4027\)

\(𝑘=12081\)

Karena \(k\) merupakan kelipatan \(3\), dan semua kelipatan pada barisan bernilai negative maka nilai \(k\) yang memenuhi adalah \(−12081\)

Luas arsiran sekarang adalah 8 cm², panjang sisinya adalah \(\sqrt{8}\)

Dengan menggunakan rumus pythagoras diperoleh
\(𝐵𝐷 = 5\sqrt{2}\)
\(𝐷𝐶 = 4\)
\(𝐴𝐶 = 2\sqrt 2\)

berdasarkan gambar di atas
\(𝐵𝐶 = 𝐵𝐷 − 𝐷𝐶 = 5\sqrt 2 − 4\)

maka 
\(𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 2\sqrt 2 + 5\sqrt 2 − 4 = 7\sqrt 2 − 4\)

Misalkan bilangan dua angka adalah \(\overline{ab}\),
\(\overline{ab}= 3𝑎𝑏\)
\(⇒ 10𝑎 + 𝑏 = 3𝑎𝑏\)
\(⇒ 3𝑎𝑏 − 10𝑎 − 𝑏 = 0\) (kali tiga kedua ruas)
\(⇒ 9𝑎𝑏 − 30𝑎 − 3𝑏 = 0\)
\(⇒ (3𝑎 − 1)(3𝑏 − 10) − 10 = 0\)
\(⇒ (3𝑎 − 1)(3𝑏 − 10) = 10 = 2 × 5 = 5 × 2\)
ada dua kemungkian, pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1,5)\) dan \((2,4)\) bilangan dua digit yang
memenuhi adalah \(15\) dan \(24\), jadi hasil kali bilangan yang memenuhi adalah \(15 × 24 = 360\)

\(𝑥 − 12 =\frac{1}{𝑥}\)
\(⟹ 𝑥^2 − 12𝑥 = 1 ⟹ 𝑥^2 − 12𝑥 − 1 = 0\)
Selanjutnya
\(𝑥^4 − 10𝑥^3 − 15𝑥^2 − 122𝑥 + 2012\)
\(= 𝑥^2(𝑥^2 − 12𝑥 − 1) + 2𝑥^3 − 14𝑥^2 − 122𝑥 + 2012\)
\(= 2𝑥^3 − 14𝑥^2 − 122𝑥 + 2012\)
\(= 2𝑥(𝑥^2 − 12𝑥 − 1) + 10𝑥^2 − 120𝑥 + 2012\)
\(= 10𝑥^2 − 120𝑥 + 2012\)
\(= 10(𝑥^2 − 12𝑥) + 2012\)
\(= 10(1) + 2012 = 2022\)

Misalkan
\(\frac{𝑥+2𝑦}{6}=\frac{2𝑦+3𝑧}{8}=\frac{3𝑧+𝑥}{10}=t\)
Diperoleh
\(𝑥 + 2𝑦 = 6𝑡 … (1)\)
\(2𝑦 + 3𝑧 = 8𝑡 … (2)\)
\(3𝑧 + 𝑥 = 10𝑡 … (3)\)
Kurangkan persamaan (2) dan (1)
\(3𝑧 − 𝑥 = 2𝑡 … (4)\)
Jumlahkan persamaan (3) dan (4)
\(6𝑧 = 12𝑡 ⟹ 𝑧 = 2𝑡\)
Subtitusi \(𝑧 = 2𝑡\) ke persamaan (4) diperoleh \(6𝑡 − 𝑥 = 2𝑡 ⟹ 𝑥 = 4𝑡\)
Subtitusi \(𝑧 = 2𝑡\) ke persamaan (2) diperoleh \(2𝑦 + 6𝑡 = 8𝑡 ⟹ 𝑦 =t\)

nilai dari \(\frac{𝑦𝑧+𝑧𝑥+𝑥𝑦}{𝑥^2+𝑦^2+𝑧^2}=\frac{2t^2+8t^2+4t^2}{16t^2+t^2+4t^2}=\frac{14t^2}{21t^2}=\frac{2}{3}\)

\(\overline{abcd}= 112\; mod\; 131 = 131𝑥 + 112\)
\(\overline{abcd}= 98\; mod\; 132 = 132𝑦 + 98\)

samakan kedua persamaan
\(131𝑥 + 112 = 132𝑦 + 98\)
\(131𝑥 + 112 − 98 = 132𝑦\)
\(131𝑥 + 14 = 132𝑦\)
\(132𝑦 = 14\; 𝑚𝑜𝑑\; 131\)
\(𝑦 = 14\; 𝑚𝑜𝑑\; 131\)
Diperoleh nilai \(𝑦 = 14\)
Nilai \(\overline{abcd} = 132(14) + 98 = 1946\)
Jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 + 9 + 4 + 6 = 20\)

\((𝑎^2 + 3𝑎 + 2011) − (𝑏^2 + 3𝑏 − 2011) = (𝑎^2 + 3𝑎) − (𝑏^2 + 3𝑏) + 4022\)
Selidiki untuk \(𝑎^2 + 3𝑎 = 𝑎(𝑎 + 3)\)
Jika \(𝑎\) nya ganjil maka \(𝑎 + 3\) genap sehingga \(𝑎(𝑎 + 3)\) selalu genap
Jika \(𝑎\) nya genap maka \(𝑎 + 3\) ganjil sehingga \(𝑎(𝑎 + 3)\) selalu genap
Dengan cara yang sama untuk \(𝑏^2 + 3𝑏 = 𝑏(𝑏 + 3)\) selalu genap
Diperoleh nilai dari \((𝑎^2 + 3𝑎) − (𝑏^2 + 3𝑏) + 4022\) selalu bernilai genap. Jadi dipastikan bahwa tidak ada bilangan ganjil yang memenuhi

Luas segiempat PQRS mencapai maksimum ketika segiempat tersebut berbentuk persegi

Misalkan panjang \(𝑃𝑄 = 𝑥\)
\(𝑃𝑄 + 𝑄𝑆 + 𝑅𝑆 = 16\)
\(𝑥 + 𝑥\sqrt{2} + 𝑥 = 16\)
\(2𝑥 + 𝑥\sqrt{2} = 16\)
\(𝑥(2 + \sqrt{2}) = 16\)
\(𝑥 =\frac{16}{2 + \sqrt{2}} ×\frac{2 − \sqrt 2}{2 − \sqrt 2}\)
\(=\frac{16(2 − \sqrt2)}{4 − 2}= 16 − 8\sqrt{2}\)

Jadi panjang \(𝑃𝑅 = 𝑥\sqrt2 = (16 − 8\sqrt 2)\sqrt 2 = 16\sqrt 2 − 16\)

\(𝑥𝑦 = 𝐾𝑃𝐾(𝑥, 𝑦). 𝐹𝑃𝐵(𝑥, 𝑦)\)
\(4840𝑦 = 914760.8\)
\(𝑦 =\frac{914760.8}{4840}= 1512\)
Jadi jumlah digit dari \(y\) adalah \(1+5+1+2=9\)