Kumpulan Soal Matematika OMITS SMP

Misalkan \(𝑥+2=𝑎\), maka
\(𝑓(𝑥+2)=(𝑥−13)(𝑥+14)⇒𝑓(𝑥+2)=(𝑥+2−15)(𝑥+2+12)\)
\(𝑓(𝑎)=(𝑎−15)(𝑎+12)\)
\(𝑓(𝑥+5)=(𝑥+5−15)(𝑥+5+12)=(𝑥−10)(𝑥+17)\)


\(9^5+15^5=3^5(3^5+5^5)=243(243+3125)=243(3368)=3\times 81\times 4\times 842\)
Jadi salah satu faktornya adalah \(3\times 842=2526\)

\(6^{𝑥+𝑦+2}=18^𝑥.2^{2𝑦−3}.3^{𝑦−1}\)
\(⇒(3.2)^{𝑥+𝑦+2}=(3^2.2)^𝑥.2^{2𝑦−3}.3^{𝑦−1}\)
\(⇒3^{𝑥+𝑦+2}.2^{𝑥+𝑦+2}=3^{2𝑥}.2^𝑥.2^{2𝑦−3}.3^{𝑦−1}\)
\(⇒3^{𝑥+𝑦+2}.2^{𝑥+𝑦+2}=3^{2𝑥+𝑦−1}.2^{𝑥+2𝑦−3}\)
Agar bernilai sama maka pangkatnya kita samakan sesuai dengan bilangan yang dipangkatkan, diperoleh:
Pangkat dari 3
\(𝑥+𝑦+2=2𝑥+𝑦−1\)
\(⇒𝑥=3\)
Pangkat dari 2
\(𝑥+𝑦+2= 𝑥+2𝑦−3\)
\(⇒𝑦=5\)
jadi nilai dari \((𝑥−𝑦)^2=(3−5)^2=4\)

\(1 + 2 + 5 + 6 + 9 + 10 + 13 + 14 + … + 77 + 78\)
\(=1  + 5 + 9 + 13  + … + 77 + (2 + 6 + 10 + 14 + … + 78)\)
\(=\frac{20(1+77)}{2}+\frac{20(2+78)}{2}\)
\(=10(78)+10(80)\)
\(=780+800\)
\(=1580\) 

\(\frac{5𝑥+2011}{𝑥^2−𝑥−2}=\frac{𝑎}{(𝑥+𝑝)}+\frac{𝑏}{(𝑥+𝑞)}\)
\(=\frac{𝑎(𝑥+1)+ 𝑏(𝑥−2)}{𝑥^2−𝑥−2}=\frac{𝑎𝑥+𝑎+𝑏𝑥−2𝑏}{𝑥^2−𝑥−2}=\frac{(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎−2𝑏}{𝑥^2−𝑥−2}=\frac{5𝑥+2011}{𝑥^2−𝑥−2}\)
Diperoleh \(𝑎+𝑏=5,𝑝=−2\) dan \(𝑞=1\),
Jadi nilai dari \(𝑎+𝑏+𝑝+𝑞=5+(−2)+1=4\)

\(𝐾=\underbrace{2015+2009+2015+2009+2015+2009+⋯+ 2015}_{\mbox{2015 suku}}\)
\(=(2015(1007)+2009(1007)+2015)\) mod \(10 = 5 + 3 + 5\) mod \(10 = 3\)
Selanjutnya
\((2015 + 2019 + 3)\) mod \(3 = 2 + 0 + 0 = 2\)

Untuk bilangan ratusannya satu : \(\{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191\}\) terdapat \(10\) bilangan, demikian juga dengan yang angka ratusannya \(2, 3, …, 9,\) ada \(10\) bilangan.
Jumlah bilangan polindrom \(3\) digit adalah
\(10(1+2+3+⋯+9)100+9(0+1+2+3+⋯+9)10+10(1+2+3+⋯+9)\)
\(=1000(45)+90(45)+10(45)\)
\(=45(1100)\)
\(=49500\)

\(𝑥+\frac{1}{𝑥}=\sqrt 5\) (kuadratkan kedua ruas)
\(𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}+2=5⟹𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}=3\)
Selanjutnya
\((𝑥−\frac{1}{𝑥})^2=𝑥^2+\frac{1}{𝑥^2}−2=3−2=1\)
Diperoleh
\((𝑥−\frac{1}{𝑥})=1\) atau \(– 1\)

\(|𝐴|=\)banyak bilangan yang habis dibagi \(4\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
\(|𝐵|=\) banyaknya bilangan yang habis dibagi \(7\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
|𝐶|= banyaknya bilangan yang habis dibagi \(11\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
\(|𝐴∩𝐵|=\) banyaknya bilangan yang habis dibagi \(28\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
\(|𝐴∩𝐶|=\) banyaknya bilangan yang habis dibagi \(44\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
\(|𝐵∩𝐶|=\) banyaknya bilangan yang habis dibagi \(77\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
\(|𝐴∩𝐵∩𝐶|=\) banyaknya bilangan yang habis dibagi \(308\) dari \(216\) sampai dengan \(2016\)
Selanjutnya
\(|𝑆|=2016−2015=1801\)
\(|𝐴|=⌊\frac{2016}{4}⌋−⌊\frac{215}{4}⌋=504−53=451\)
\(|𝐵|=⌊\frac{2016}{7}⌋−⌊\frac{215}{7}⌋=288−30=258\)
\(|𝐶|=⌊\frac{2016}{11}⌋−⌊\frac{215}{11}⌋=183−19=164\)
\(|𝐴∩𝐵|=⌊\frac{2016}{28}⌋−⌊\frac{215}{28}⌋=72−7=65\)
\(|𝐴∩𝐶|=⌊\frac{2016}{44}⌋−⌊\frac{215}{44}⌋=45−4=41\)
\(|𝐵∩𝐶|=⌊\frac{2016}{77}⌋−⌊\frac{215}{77}⌋=26−2=24\)
\(|𝐴∩𝐵∩𝐶|=⌊\frac{2016}{308}⌋−⌊\frac{215}{308}⌋=6\)
Banyak bilangan yang habis dibagi \(4, 7\) atau \(11\) adalah
\(|𝐴|+|𝐵|+|𝐶|−|𝐴∩𝐵|−|𝐴∩𝐶|−|𝐵∩𝐶|+|𝐴∩𝐵∩𝐶|=451+258+164−65−41−24+6=749\) .
Jadi banyak bilangan dari \(216\) sampai \(2016\) yang tidak habis dibagi \(4, 7\) atau \(11\) adalah \(1801 – 749 = 1052\).

Sumbu simetri \(𝑡 =−\frac{𝑏}{2𝑎}=−\frac{20}{2(−3)}=\frac{10}{3}\)
Tinggi maksimum dicapai pada saat \(t=\frac{10}{3}\) detik.
Jadi tinggi maksimum adalah
\(ℎ(\frac{10}{3})=20(\frac{10}{3})−3(\frac{10}{3})^2=(\frac{200}{3})−3(\frac{100}{9})=(\frac{200}{3})−(\frac{100}{3})=(\frac{100}{3})\) meter

Karena \(𝑠\) adalah jumlah maksimum dari penjumlahan dua digit maka kemungkinan nilai \(𝑠\) adalah \(96 + 83 =179\), karena \(𝑠=179\) maka dipastikan bahwa nilai \(𝑟\) berada pada rentang \(100≤𝑟<179\).
Diketahui \(r\) bersisa \(2\) jika dibagi \(47\) maka nilai \(r\) yang memenuhi hanya \(1\) yaitu \(143\).
Jadi nilai dari \(𝑟+𝑠=143+179=322\)

Rumus Vieta
Jika akar-akar persamaan kuadrat dari \(𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐=0\) adalah \(𝑥_1\) dan \(𝑥_2\) maka berlaku \(𝑥_1+𝑥_2=−\frac{𝑏}{𝑎}\) dan \(𝑥_1.𝑥_2=\frac{c}{𝑎}\).

Misalkan akar dari persamaan \(2𝑥^2+(𝑐−2015)𝑥+168=0\) adalah \(𝑥_1\) dan \(𝑥_2\), maka berlaku \(𝑥_1.𝑥_2=\frac{c}{𝑎}=\frac{168}{2}=84\) 𝑑an \(𝑥_1+𝑥_2=−\frac{𝑏}{𝑎}=−\frac{(𝑐−2015)}{2}\)
Misalkan \(−\frac{(𝑐−2015)}{2}=𝑛⟹2𝑛=−𝑐+2015⟹𝑐=2015−2𝑛, 𝑐\) maksimum dicapai ketika \(n\) minimum, \(n\) minimum dicapai ketika \(𝑥_1+𝑥_2=7+12=19\).
Jadi nilai \(𝑐 = 2015−2(19)=1977\)

Kasus 1,
A = satu Vokal di “MUDAH” dan satu konsonan di “BANGET”
\(P(A) =\frac{2}{5}(\frac{4}{6})=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\)

Kasus 2,
B = satu konsonan di “MUDAH” dan satu vokal di “BANGET”
\(P(B) =\frac{3}{5}(\frac{2}{6})=\frac{6}{30}=\frac{3}{15}\)

Peluang bahwa kedua huruf tersebut terdiri dari satu vocal dan satu konsonan adalah \(P(A)+ P(B)= \frac{4}{15}+\frac{3}{15}=\frac{7}{15}\)

Syarat 1 :
\(3𝑥+2≥0⟹3𝑥≥−2⟹𝑥≥−\frac{2}{3}\)
Syarat 2 :
\(4−𝑥≥0 ⟹𝑥≤4\)
Syarat 3 :
\(\sqrt{3𝑥+2}>\sqrt{4−𝑥}\)
\(3𝑥+2>4−𝑥⇒ 4𝑥>2 ⇒𝑥>\frac{1}{2}\)
solusinya adalah irisan dari ketiga syarat di atas
Jadi Himpunan penyelesaian adalah \(\frac{1}{2}<𝑥≤4\)

Karena \(BCDF\) adalah segiempat tali busur maka berlaku
\(𝐸𝐶.𝐸𝐹=𝐸𝐷.𝐸𝐵\)
\(⟹1(2𝑟−1)=3(5)\)
\(⟹2𝑟−1=15\)
\(⟹2𝑟=16\)
\(⟹𝑟=8\)

jadi jari-jari lingkaran adalah \(r=8\)

Persegi berukuran \(1×1\) ada \(22\) persegi
Persegi berukuran \(2×2 \) ada \(3\) persegi
Persegi berukuran \(3×3 \) ada \(8\) persegi
Persegi berukuran \(4×4 \) ada \(2\) persegi
Jadi banyak persegi seluruhnya adalah \(22 + 3 + 8 + 2 = 35\) persegi.

\(12^3=1728\)
\(13^3=2197\)
\(\sqrt[3]{2006}≈12,…\)
\(45^2=2025\)
\(44^2=1936\)
\(\sqrt{2006}≈44,…\)
Bilangan bulat diantara \(12,…\) dan \(44, …\) adalah \(\{13, 14, 15, …., 44\}\)
Jadi jumlah bilangannnya adalah \(13 + 14 + 15 + … + 44 = \frac{(13+44)32}{2}=57×16=912\)

\(\begin{align}
6^{2017}\; mod\; 37 &= (6^2)^{1008}. 6\; mod\; 37\\
&= (36)^{1008}.6\; mod\; 37\\
&= (−1)^{1008}.6\; mod\; 37\\
&= 6\; mod\; 37\\
&= 6
\end{align}\)

Banyak kemungkinan nomor adalah \(9×9×8×7×6=27216\)
Jika angka 1, 2 dan 3 di gunakan, misalkan \(A\) adalah penempatan angka 1, 2 atau 3 dan \(B\) adalah penempatan digit yang lain susunan yang terbentuk adalah \(AAABB\) dan permutasinya, banyak susunannya adalah \(\frac{5!}{3!.2!}=\frac{5.4}{2}=10\)
* Untuk \(A\) didepan ada \(6\) cara, banyak susunan adalah \(3×2×1×7×6×6=1512\)
* Untuk \(B\) didepan ada \(\frac{4!}{3!}=4\) cara, banyak susunannya \(3×2×1×6×6×4=864\)
Jadi banyak susunan pada plat nomor tersebut, jika angka 1,2 dan 3 tidak boleh muncul bersamaan adalah \(27216 – 1512 – 864 = 24840\) cara

* 2 wanita dan 2 pria, banyak cara adalah \({7\choose 2}{4\choose 2}=\frac{7!}{5!.2!}×\frac{4!}{2!.2!}=21×6=126\) cara
* 3 wanita dan 1 pria, banyak cara adalah \({7\choose 3}{4\choose 1}=\frac{7!}{4!.3!}×\frac{4!}{3!.1!}=35×4=140\) cara
* 4 wanita, banyak cara adalah \({7\choose 4}{4\choose 0}=\frac{7!}{3!.4!}= 35\) cara
Banyak cara memilih adalah \(126 + 140 + 35 = 301\) cara