Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 8

Kita gabungkan dulu daerah yang diarsir seperti pada gambar. Daerah arsiran adalah daerah setengah lingkaran dikurangi 3 segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2.
Luas arsiran = Luas \(\frac{1}{2}\) lingkaran – 3 Luas segitiga
\(= \frac {1}{2}π(4)^2 – 3 (\frac {1}{4}(2)^2 \sqrt {3})\)
\(= 8π – 3\sqrt{3}\)
\(= aπ + b\sqrt{c}\)
Diperoleh \(a = 8, b = -3\), dan \(c = 3\)
Jadi nilai \(a + b + c = 8\)

\((1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{81}) = \frac {3^{x+1} – 3}{2.3^x}\)
\((1 – \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{81}) = \frac {3^{x+1} – 3}{2.3^x}(1 – \frac{1}{3})\)
\((1 – \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3}) (1 + \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{81}) = \frac {3.3^x – 3}{2.3^x}(\frac{2}{3})\)
\((1 – \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{9}) (1 + \frac{1}{81}) = \frac {3^x – 1}{3^x}\)
\((1 – \frac{1}{81})(1 + \frac {1}{81} = \frac {3^x – 1}{3^x}\)
\( (1 – \frac{1}{81^2}) = (1 – \frac {1}{3^x}) ⇒ \frac {1}{81^2} = \frac {1}{3^x} ⇒ \frac {1}{3^8} = \frac {1}{3^x}\)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(8\)

Misalkan bilangan \(5\) digit adalah \(\overline {pqabb}\),angka satuan dan puluhannya sama yaitu \(b\). Bilangan tersebut habis dibagi \(36\), maka dua digit terakhir harus habis dibagi \(4\) dan jumlah digit-digitnya kelipatan \(9\).
Dua digit terakhir habis dibagi \(4\), maka nilai  yang memenuhi adalah \({44, 88, 00}\).
♦ Case 1:
Untuk \(bb = 44\)
\(\overline {pqabb} = \overline{pqa44} = (\overline {pqa} \times 100 + 44) mod 9 = 0\)
\((\overline {pqa} \times 1 + 8) mod 9 = 0 \)
\((\overline {pqa} + 8) mod 9 = 0 ⇒ \overline {pqa} = 1 mod 9\)
Maka nilai dari \(\overline {pqa}\) yang memenuhi adalah \({100, 109, 118, …, 991}\) yaitu sebanyak \(100\) bilangan
♦ Case 2:
Untuk \(bb = 88\)
\(\overline {pqabb} = \overline{pqa88} = (\overline {pqa} \times 100 + 88) mod 9 = 0\)
\((\overline {pqa} \times 1 + 7) mod 9 = 0 \)
\((\overline {pqa} + 7) mod 9 = 0 ⇒ \overline {pqa} = 2 mod 9\)
Maka nilai dari \(\overline {pqa}\) yang memenuhi adalah \({101, 110, 119, …, 992}\) yaitu sebanyak \(100\) bilangan
♦ Case 3 :
Untuk \(bb = 0, b + b = 0 \)
Sudah bisa dipastikan bahwa \(pqa\)  adalah bilangan kelipatan \(9\) antara \(100\) dan \(1000\), yaitu sebanyak \(100\) bilangan
Dengan demikian total bilangan \(\overline {pqabb}\) yang habis dibagi \(36\) ada sebanyak \(300\) bilangan

Total pertandingan \(N = 22 + 20 + 32 = 74\)
Karena Peter telah memenangkan \(22\) pertandingan, maka ada \(74 – 22 = 52\) pertandingan yang berakhir kalah atau Peter tidak bermain. Banyak pertandingan berakhir kalah dan Peter tidak bermain sama banyak sesua aturan. Dengan demikian banyak pertandingan yang berakhir kalah oleh peter adalah \(26\) pertandingan sehingga banyak pertandingan yang telah dimainkan peter adalah \(48\) pertandingan.

\(ab = a^b \)  {kuadratkan kedua ruas)
\(a^2 b^2 = a^{2b} \)
Karena \(\frac {a}{b} = a^{2b}\) maka kita peroleh \(\frac {a}{b} = a^2 b^2 ⇒ a^2 = \frac {a}{b^3} ⇒ a = \frac {1}{b^3}\)
Substitusi nilai \(a\) ke persamaan \(ab = a^b\), kita dapatkan \((\frac{1}{b^3})b = (\frac {1}{b^3}) ⇒ \frac {1}{b^{3b}}\)
Dari persamaan ini dapat disimpulkan bahwa \(2 = 3b ⇒ b = \frac{2}{3}\)
Substitusi \(b = \frac {2}{3}\) ke persamaan \(a = \frac{1}{b^3}\)
\( a = \frac {1}{(\frac{2}{3})^2} = \frac {1}{\frac{8}{27}} = \frac {27}{8}\)
Jadi nilai dari \(8a + 3b = 8 \times \frac {27}{8} + 3 \times \frac {2}{3} = 27 + 2 = 29\)

Diketahui himpunan misalkan \( A = \{1, 2, 3, 4, 5, …, 16\}\)
• Kita pisahkan dulu yang anggotanya bilangan kuadrat yakni \(\{1, 4, 9, 16\}\) Jika kita mengambil dua anggota dari himpunan ini pasti hasil kali anggotanya adalah bilangan kuadrat. Banyak pasangan adalah \( {4}\choose{2}\) = \(\frac {4!}{2!.2!} = \frac {4.3.2!}{2!.2!} = \frac {12}{2} = 6 \) pasangan
• Selanjutnya kita memilih \(2\) bilangan dari himpunan \(A\) yang tidak memuat bilangan kuadrat tapi hasil kalinya kuadrat sempurna, diperoleh hanya \(2\) pasangan yaitu \(\{2, 8\}\) dan \( \{3, 12\}\).
Sehingga banyaknya himpunan subset dari \(A\) yang hasil kali anggotanya adalah kuadrat sempurna sebanyak \(8\) himpunan.

\(\frac {x^2}{x^2 + x} + \frac{y^2}{y^2 + 2y} + \frac {z^2}{z^2 + 2020z}= \frac {x}{x + 1} + \frac {y}{y + 2} + \frac {z}{z + 2020} \)

\( =\frac {x + 1 – 1}{x + 1} + \frac {y + 2 – 2}{y + 2} + \frac {z + 2020 – 2020}{z + 2020}\)

\( = 1 – \frac {1}{x + 1} + 1 – \frac {2}{y + 2} + 1 – \frac {2020}{z + 2020}\)

\( = 3 – (\frac {1}{x + 1} + \frac {2}{y + 2} + \frac {2020}{z + 2020}) = 3 – 1 = 2\)

Tarik garis dari batas air di titik \(C\) tegak lurus garis \(AB, BC\) , sejajar garis lantai sedemikian sehingga \(∠DBC = 45°\)(bersebrangan dalam). Karena \(∠CDB = 90°\) dan \(∠DBC = 45°\) maka panjang \(CD = BD = 6\). Panjang \(AD = AB – 6 = 12 – 6 = 6\)cm .
Dari sini terlihat bahwa volume tabung yang tak berisi air adalah \(\frac {1}{4}\)  dari volume tabung sehingga tinggi tabung tak berisi air sama aja dengan \(\frac {1}{4}\) dari tinggi tabung.
Jadi tinggi air adalah \(12 – \frac{1}{4} \times 12 = 12 – 3 = 9\)cm.

\(\overline {xy3}.\overline {z1} = A\)
\(\overline {xy7}.\overline {z5} = A + 2192\)
\(⇒ (\overline {xy3} + 4)(\overline {z1} + 4) = A + 2192\)
\(⇒ \overline {xy3} . \overline {z1} + 4 . \overline {xy3} + 4 .\overline {z1} + 16 = A + 2192\)
\(⇒ A + 4(\overline {xy3} + \overline {z1}) + 16 = A + 2192\)
\(⇒ A + 4(\overline {xy0} + 3 + \overline {z0} + 1) + 16 = A + 2192\)
\(⇒ A + 4(10\overline {xy} + 3 + 10z + 1) + 16 = A + 2192\)
\(⇒ 40\overline{xy} + 12 + 40z + 4 + 16 = 2192\)
\(⇒ 40\overline{xy} + 40z = 2192 – 32 = 2160 ⇒ 40\overline{xy} + 40z = 2160 ⇒ \overline {xy} + z = 54\)

KPK \((7, 9, 11) = 693\)
Kita ketahui bahwa \(\overline {abcabc}\) bilangan yang habis dibagi \(11\), yaitu memenuhi sifat \((a + b + c) – (b + a + c) = 0 \)
Perhatikan bahwa \(504\) habis dibagi dengan \(7\) dan \(9\) maka \(504504\) habis dibagi \(11\). Karena yang dicari paling minimum maka kita kurangkan dengan \(693\)
\(504504 – 693 = 503811\),
\(503811 – 693 = 503118\)
Jadi nilai minimum dari \(\overline {xyz}\) adalah \(118\).

Banyak cara \(= \frac {{{9}\choose{3}}.{{6}\choose{3}}.{{3}\choose{3}}}{4}\) =\( \frac {\frac{9!}{3!.6!}.\frac{6!}{3!.3!}.\frac{3!}{3!.0!}}{4} = \frac{\frac{9.8.7}{3.2.1}.\frac{6.5.4}{3.2.1}.1}{4} = \frac {84.20}{4} = 420 \)
Dibagi \(4\) karena rotasi tidak dihitung.
Jadi banyak cara pewarnaan adalah \(420\) cara.

• \(∠BED = ∠BED = 24°\) (berseberangan dalam)
• \( AC \) diagonal persegi maka diperoleh \(∠DCO = 45°\)
• \(∠DOC = 111°\) (Jumlah sudut segitiga)
• \(∠DFO = 90°\) (Perpotongan diagonal persegi)
• \(∠FOB = 69° (ΔDFE ≅ ΔBFO) \)
• \(∠DOC = ∠FOE = 111°\)
Jadi nilai \(x° = 111° – 69° = 42°\)

Misalkan \(3\) bilangan tersebut adalah \(a, b\) dan \(c\) maka
\(\frac {a+b}{2} + c = 34 ⇒ a + b + 2c = 68 … (1)\)
\(\frac {a+c}{2} + b = 32 ⇒ a + c + 2b = 64 … (2)\)
\(\frac {b+c}{2} + a = 30 ⇒ b + c + 2a = 60 … (3)\)
Jumlahkan persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh :
\(4a + 4b + 4c = 192 \)
\(a + b + c = 48 … (4)\)
Substitusi persamaan (4) ke satu diperoleh :
\(a + b + c + c = 68 … (1)\)
\(48 + c = 68\)
\(c = 20\)
Dengan cara yang sama di peroleh \(b = 16 \) dan \(a = 12\)
KPK dari \(12, 16\) dan \(20\) adalah \(240\)

Baris \(1 = 1 = 1^3 \)
Baris \(2 = 3 + 5 = 2^3 \)
Baris \(3 = 7 + 9 + 11 = 3^3 \)
Baris \(4 = 13 + 15 + 17 + 19 = 4^3 \)
\(…\)
\(…\)
Baris \(n = … = n^3 = 100000 ⇒ n = 100 \)
Selanjutnya kita cari suku pertama barisan ke \(100\), dengan barisan bilangan suku pertama tiap baris sebagai berikut: \(1, 3, 7, 13, …\)
Suku ke-\(1 = 1 = 1 \)
Suku ke-\(2 = 3 = 1 + 2 \)
Suku ke-\(3 = 7 = 1 + 2 + 4\)
Suku ke-\(4 = 13 = 1 + 2 + 4 + 6 \)
\(…\)
\(…\)
\(…\)
Suku ke-\(100 = 13 = 1 + 2 + 4 + 6 + … + 198 = 1 + \frac{99(2+198)}{2} = 1 + 99 \times 100 = 9901\)

• Bilangan kuadrat kurang dari \(2020 : \{1, 4, 9, 16, 25, …, 44^2\}\). Banyak bilangan kuadrat ada 44 bilangan.
• Bilangan kubik kurang dari \(2020 : \{1, 8, 27, 64, 125, …, 12^3\}\). Banyak bilangan kuadrat ada 12 bilangan.
• Bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik \(: \{1, 64, 729\}\)
• Banyak bilangan kuadrat dan bilangan kubik adalah \( 44 + 12 – 3 = 53\)
• Bilangan kuadrat \(45^2 = 2025\) termasuk yang dihilangkan.
Jadi nomor bilangan pada kotak ke-2020 adalah \(2020 + 54 = 2074\)

\(A = 9999^3 + 81 \times 1111 \times 3333 + 297 \times 101\)
\(= 9999^3 + 9 \times 9 \times 1111 \times 3 \times 1111 + 27 \times 11 \times 101\)
\(= 9999^3 + 3 \times 9999 \times 9999 + 3 \times 9 \times 1111 \)
\(= 9999^3 + 3 \times 9999 \times 9999 + 3 \times 9999 \times 1111 \)
Misalkan \(x = 9999\)
\(A = x^3 + 3x^2 + 3x\)
\(= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – 1\)
\(= (x + 1)^3 – 1\)

Substitusi nilai \(x\)
\(A = (9999 + 1)^3 – 1\)
\(= (10000)^3 – 1\)
\(= (10^4)^3 – 1\)
\(= 10^{12} – 1 = \underbrace{999 …999}_{\mbox{12x}}\)
Jadi jumlah digit dari \(A\) adalah \(12 \times 9 = 108\)

\(\frac{3}{10} + \frac{2}{35} + \frac{4}{77} + \frac {2}{143} = 30 \div (76 – A \div 1 \frac{4}{7})\)

\(\frac{3}{2 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \frac{4}{7 \times 11} + \frac {2}{11 \times 13} = 30 \div (76 – A \div \frac{11}{7})\)

\(\frac{1}{2} – \frac {1}{5} + \frac{1}{5} – \frac {1}{7} + \frac{1}{7} – \frac {1}{11} + \frac{1}{11} – \frac {1}{13}= 30 \div (76 – A \times \frac{7}{11})\)

\(\frac {1}{2} – \frac{1}{13} = 30 \div (76 – A \times\frac{7}{11})\)

\( \frac{13 – 2}{26} = 30 \div (76 – A \times \frac{7}{11})\)

\( \frac {11}{26} = 30 \div (76 – A \div 1 \frac{4}{7})\)

\( (76 – A \times \frac {7}{11}) = 30 \times \frac {26}{11} = \frac {780}{11}\)

\( A \times \frac{7}{11} = 76 – \frac{780}{11} = \frac {836 – 780}{11} = \frac {56}{11}\)

\( A = \frac{56}{11} \times {11}{7} = 8 \)

Jadi nilai \(A\) adalah \(8\)

Pola pembilang membentuk penjumlahan bilangan kuadrat dan pola penyebut membentuk penjumlahan bilangan kubik. Bentuk umumnya
\(a_n = \frac{1^2+2^2+3^2+…+n^2}{1^3+2^3+3^3+…+n^3} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n^2(n+1)^2}{4}}\)=\(\frac{2(2n+1)}{3n(n+1)} = \frac{2}{3}(\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1})\)
Selanjutnya

\(\frac{1^2}{1^3} – \frac{1^2+2^2}{1^3+2^3} + \frac {1^2+2^2+3^2}{1^3+2^3+3^3} – \frac{1^2+2^2+3^2+4^2}{1^3+2^3+3^3+4^3} + … – \frac{1^2+2^2+3^2+ … +26^2}{1^3+2^3+3^3+…+26^3}\)

\(=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2} – (\frac{1}{2}+\frac{1}{3}) +(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) – (\frac{1}{4}+\frac{1}{5}) + … – (\frac{1}{26}+\frac{1}{27}))\)

\(=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…-\frac{1}{26}-\frac{1}{27})\)

\(=\frac{2}{3}(\frac{1}{1}-\frac{1}{27}) = \frac{2}{3}(\frac{27-1}{27}) = \frac{2}{3}(\frac{26}{27}) = \frac{52}{81} = \frac{a}{b}\)

Jadi nilai \(a + b\) adalah \(52 + 81 = 133\)

Misal sisa \(x, y, z\) berturut-turut adalah \(s, 2s, 3s\)  memenuhi \( 1 : 2 : 3\) untuk \(s\)  bilangan bulat.  Permasalah ini dapat ditulis dalam bentuk persamaan:
\(176 = am + s \) … (1)
\(216 = an + 2s \) … (2)
\(324 = ap + 3s \) … (3)
Untuk \(m, n, p\) adalah bilangan bulat positif.
Kurangkan \(2x\) persamaan (1) dengan persamaan (2)
\(2 \times 176 – 216 = 2am + 2s – an – 2s\)
\(352 – 216 = 2am – an\)
\(136 = a(2m – n) \) …(4)
Selanjutnya jumlahkan persamaan (1) dan (2) lalu kurangkan dengan persamaan (3)
\(176 + 216 – 324 = am + s + an + 2s – ap – 3s\)
\(68 = am + an – ap\)
\(68 = a(m + n – p) \) …(5)
Perhatikan kedua persamaan (4) dan (5)
\(136 = a(2m – n)\)
\(68 = a(m + n – p)\)
Nilai  yang mungkin merupakan faktor persekutuan dari \(68\) dan \(136\) yaitu \(\{1, 4, 17, 34, 68\}\). Karena yang dicari adalah \(a\) terbesar maka kita selidiki \(a = 68\)
\(176 = 68.2 + 40 \) … (1)
\(216 = 68.3 + 12 \) … (2)
\(324 = 68.4 + 52 \) … (3)
Untuk \(a = 68\) tidak memenuhi karena perbandingan sisanya bukan \(1 : 2 : 3\)
Selanjutnya kita selidiki untuk \(a = 34\)
\(176 = 34.5 + 6 \) … (1)
\(216 = 34.6 + 12 \) … (2)
\(324 = 34.9 + 18 \) … (3)
Untuk \(a = 34\)  memenuhi karena perbandingan sisanya \(6 : 12 : 18\) atau \(1 : 2 : 3\)
Jadi nilai \(a\) terbesar yang memenuhi adalah \(34\).

\(\left\lfloor \sqrt[5]{1}\right \rfloor = 1 \), \(\left\lfloor \sqrt[5]{2}\right \rfloor = 1 \), \(\left\lfloor \sqrt[5]{3}\right \rfloor = 1 \), …, \(\left\lfloor \sqrt[5]{31}\right \rfloor = 1 \), \(\left\lfloor \sqrt[5]{32}\right \rfloor = 2 \), …, \(\left\lfloor \sqrt[5]{242}\right \rfloor = 2 \), \(\left\lfloor \sqrt[5]{243}\right \rfloor = 3 \)
Jika \(n ≤ 31\), maka \(\left\lfloor \sqrt[5]{1}\right \rfloor +\left\lfloor \sqrt[5]{2}\right \rfloor + \left\lfloor \sqrt[5]{3}\right \rfloor + … + \left\lfloor \sqrt[5]{n}\right \rfloor = n \)
Untuk \(n ≤ 31, n = n + 14 \) tidak ada solusi \(n\)
Selanjutnya
Jika \(32 ≤ n ≤ 242 \)
\(\left\lfloor \sqrt[5]{1}\right \rfloor +\left\lfloor \sqrt[5]{2}\right \rfloor + \left\lfloor \sqrt[5]{3}\right \rfloor + … + \left\lfloor \sqrt[5]{n}\right \rfloor \)
\(\left\lfloor \sqrt[5]{1}\right \rfloor +\left\lfloor \sqrt[5]{2}\right \rfloor + \left\lfloor \sqrt[5]{3}\right \rfloor + … + \left\lfloor \sqrt[5]{31}\right \rfloor + … +\left\lfloor \sqrt[5]{n}\right \rfloor \)
\( = 31 + 2(n – 31) = n + 14\)
\( n = 45\)
Jadi nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(45\).