Problems And Solutions SEAMO PAPER D 2021

Gunakan teorema star bars
Karena \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 ≤ 12\), maka ada bilangan bilangan bulat tak negative \(𝑒\) sehingga
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 12\)
Banyak solusi adalah \({12 + 5 − 1\choose {5-1}}= {16\choose 4} =\frac{16!}{4!.12!}=\frac{16.15.14.13}{4.3.2.1}=1820\)

Jika \(𝑎, 𝑏, 𝑐\) adalah garis berat pada segitiga maka luasnya adalah
\(\frac{4}{3}\sqrt{𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)}\),
\(𝑠 =\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{2}\)

Diketahui median garis dari segitiga \(ABC\) adalah \(12\) dan \(15\), kita misalkan median yang satunya adalah \(𝑥\)
\(𝐿𝑢𝑎𝑠 = \frac{4}{3}\sqrt{𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)}\)
\(=\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{27+𝑥}{2})(\frac{27+𝑥}{2}− 𝑥)(\frac{27+𝑥}{2}− 12)(\frac{27+𝑥}{2}− 15)}\)
\(=\frac{4}{3}\sqrt{(\frac{27+𝑥}{2})(\frac{27−𝑥}{2})(\frac{3+𝑥}{2})(\frac{𝑥−3}{2})}\)
\(=\frac{1}{3}\sqrt{(27 + 𝑥)(27 − 𝑥)(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)}\)
\(=\frac{1}{3}\sqrt{(27^2 − 𝑥^2)(𝑥^2 − 9)}\)
Luas maksimum dicapai ketika \((27^2 − 𝑥^2) = (𝑥^2 − 9)⇒2x^2=738⇒x²=369\)

Jadi luas maksimum \(=\frac{1}{3}\sqrt{(27^2 − 369)(369 − 9)}=\frac{1}{3}(360)=120\)

\(\frac{𝑎}{2𝑏 − 𝑎}= 5 ⟹ 𝑎 = 10𝑏 − 5𝑎 ⟹ 6𝑎 = 10𝑏 ⟹ 𝑎: 𝑏 = 5 : 3\)
Misalkan \(𝑎 = 5𝑥\) dan \(𝑏 = 3𝑥\)
\(\frac{𝑏}{2𝑏 − 𝑎}=\frac{3𝑥}{2(3𝑥) − 5𝑥}=\frac{3𝑥}{𝑥}= 3\)

\(\frac{1 × 2 − 1}{1 × 2}+\frac{2 × 3 − 1}{2 × 3}+\frac{3 × 4 − 1}{3 × 4}+ ⋯ +\frac{8 × 9 − 1}{8 × 9}+\frac{9 × 10 − 1}{9 × 10}\)

\(= 1 −\frac{1}{1 × 2}+ 1 −\frac{1}{2 × 3}+ 1 −\frac{1}{3 × 4}+ ⋯ + 1 −\frac{1}{8 × 9}+ 1 −\frac{1}{9 × 10}\)

\(= 9 − (\frac{1}{1 × 2}+\frac{1}{2 × 3}+\frac{1}{3 × 4}+ ⋯ +\frac{1}{9 × 10})\)

\(= 9 − (\frac{1}{1}−\frac{1}{10}) = 9 −\frac{9}{10}=\frac{81}{10}\)

Perhatikan segitiga siku-siku \(BEC\)
\(𝐶𝐸 = \sqrt{𝐵𝐶^2 − 𝐵𝐸^2} = \sqrt{5^2 − 4^2} = 3\)
\(Δ𝐴𝐹𝐷 ≈ 𝐴𝐵𝐸\)
Karena \(𝐴𝐹 = 𝐹𝐵\) maka \(𝐴𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝑥\)
Karena \(\frac{𝐴𝐹}{𝐴𝐵}=\frac{1}{2}\) maka \(\frac{𝐹𝐷}{𝐵𝐸}=\frac{1}{2}\), diperoleh \(𝐹𝐷 = 2\)

Perhatikan segitiga siku-siku \(𝐹𝐷𝐶\), dengan
menggunakan rumus Pythagoras
\(𝐶𝐷 = \sqrt{𝐶𝐹^2 − 𝐹𝐷^2}\)
\(𝐶𝐸 + 𝐸𝐷 = \sqrt{𝐶𝐹^2 − 𝐹𝐷^2}\)
\(3 + 𝑥 = \sqrt{4^2 − 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt 3\)
\(𝑥 = 2\sqrt 3 − 3\)
\([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}(𝐴𝐶)(𝐵𝐸) =\frac{1}{2}(𝑥 + 𝑥 + 3)(4)\)
\(= 2(2\sqrt 3 − 3 + 2\sqrt 3 − 3 + 3)\)
\(= 2(4\sqrt 3 − 3) = 8\sqrt 3 − 6\)