Problems And Solutions SEAMO PAPER E 2021

\(𝑎_1 = 1\), misalkan selisihnya adalah \(d\), maka
\(𝑎_2 = 1 + d\)
\(𝑎_4 = 1 + 3d\)
\(𝑎_9 = 1 + 8d\)
Karena \(𝑎_2 , 𝑎_4\) and \(𝑎_9\) merupakan barisan geometri maka berlaku
\(\frac{𝑎_4}{𝑎_2}=\frac{𝑎_9}{𝑎_4}\)
\(\frac{1 + 3d}{1 + d}=\frac{1 + 8d}{1 + 3d}\)
\(1 + 6d + 9d^2 = 1 + 9d + 8d^2\)
\(d^2 = 3d\)
Nilai \(d\) yang memenuhi adalah 0 atau 3, karena deret aritmatikanya tidak konstan maka nilai \(d\) yang memenuhi adalah 3.
Selanjutnya
\(𝑎_1 + 𝑎_2 + 𝑎_3 + ⋯ + 𝑎_{10} = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = 145\)

\(2^{2021} + 𝑘 = 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 33\)
\((2^5)^{404}. 2 + 𝑘 = 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 33\)
\((32)^{404}. 2 + 𝑘 = 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 33\)
\((−1)^{404}. 2 + 𝑘 = 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 33\)
\(2 + 𝑘 = 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 33\)
\(k=31\)

Misalkan banyaknya adalah \(N\),

\(N=5𝑎 + 2 ≡ 2\; 𝑚𝑜𝑑\; 5 … (1)\)
\(N=3𝑏 + 2 ≡ 2\; 𝑚𝑜𝑑\; 3 … (2)\)
\(N=11𝑐 + 3 ≡ 3\; 𝑚𝑜𝑑\; 11 … (3)\)

Samakan persamaan (1) dan (2)
\(5𝑎 + 2 ≡ 2\; 𝑚𝑜𝑑\; 3\)
\(2𝑎 ≡ (2 − 2)\;𝑚𝑜𝑑\; 3 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 3\)
Diperoleh nilai \(𝑎 = 3𝑘, 𝑘 ∈ 𝐵\)

Samakan persamaan (1) dan (3)
\(5𝑎 + 2 ≡ 3\; 𝑚𝑜𝑑\; 11\)
\(5(3𝑘) ≡ 1\; 𝑚𝑜𝑑\; 11\)
\(15𝑘 ≡ 1\; 𝑚𝑜𝑑\; 11\)
\(4𝑘 ≡ 1\; 𝑚𝑜𝑑\; 11\)
Nilai \(k\) terkecil yang memenuhi adalah \(3\)
Jadi nilai \(𝑁 = 5𝑎 + 2 = 5(3𝑘) + 2 = 5(9) + 2 = 45 + 2 = 47\)