Problems And Solutions SEAMO PAPER F 2021

Karena bilangan palindrome berbentuk \(\overline{abba}\)
Banyak bilangan palindrome 4 digit adalah \(9 × 10 × 1 × 1 = 90\) bilangan.
Syarat bilangan habis dibagi 44 yaitu habis dibagi 4 juga habis dibagi 11, untuk bilangan palindrome \(\overline{abba}\) jelas habis dibagi 11.
Syarat habis 4 adalah dua digit terakhir habis dibagi 4, nilai \(\overline{ba}\) yang mungkin adalah {04, 08, 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 88, 92, 96} banyaknya ada 20.
Pelung bilangan palindrome tersebut habis dibagi 44 adalah \(\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

\(𝑛 = 1\)
\(𝑓^1 = 𝑓(𝑥) =\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥}\)

\(𝑛 = 2\)
\(𝑓^2 = 𝑓 ∘ 𝑓  = 𝑓(𝑓(𝑥)) =\frac{1 + 5 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}{5 − 25 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}\)
\(=\frac{\frac{5 − 25𝑥}{5 − 25𝑥}+ 5(\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}{5(\frac{5 − 25𝑥}{5− 25𝑥}) − 25 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}\)
\(=\frac{5 − 25𝑥 + 5 + 25𝑥}{25 − 125𝑥 − 25 − 125𝑥}\)
\(=\frac{10}{−250𝑥}=\frac{1}{−25𝑥}\)

\(𝑛 = 3\)
\(𝑓^3 = 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑓  =f^2(f(x))=\frac{1}{−25 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}\)
\(=\frac{−1}{5 (\frac{1 + 5𝑥}{1 − 5𝑥})}\)
\(=\frac{5𝑥 − 1}{5 + 25𝑥}\)

\(𝑛 = 4\)
\(𝑓^4 = 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ 𝑓 ∘f =f^3(f(x))=\frac{5 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})-1}{5 + 25 (\frac{1 + 5𝑥}{5 − 25𝑥})}=x\)

polanya berulang untuk setiap kelipatan 4
\(𝑓 (\frac{1}{10}) =\frac{3}{5}\)
\(𝑓^2 (\frac{1}{10}) = −\frac{2}{5}\)
\(𝑓^3 (\frac{1}{10}) = −\frac{1}{15}\)
\(𝑓^4 (\frac{1}{10}) = \frac{1}{10}\)

\( 𝑓 (\frac{1}{10}) + 𝑓^2 (\frac{1}{10}) + 𝑓^3 (\frac{1}{10}) +𝑓^4 (\frac{1}{10})\)
\(=\frac{3}{5}−\frac{2}{5}−\frac{1}{15}+\frac{1}{10}\)
\(=\frac{18-12-2+3}{30}=\frac{7}{30}\)

Jadi 

\(𝑆 = 𝑓 (\frac{1}{10}) + 𝑓^2 (\frac{1}{10}) + 𝑓^3 (\frac{1}{10}) + ⋯ +𝑓^{600} (\frac{1}{10})\)
\(S = \frac{600}{4}×\frac{7}{30}=35\)