Problems And Solutions SEAMO PAPER F 2021

\(\begin{align}
3^{2021}\; 𝑚𝑜𝑑\;{31}&=(3^3)^{673}. 3^2\; 𝑚𝑜𝑑\;31\\
&= (27)^{673}. 9\; 𝑚𝑜𝑑\; {31}\\
&= (−4)^{673}. 9\; 𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= (4^3)^{224}. 4. (−9)\; 𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= (64)^{224}. 4. (−9)\; 𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= (2)^{224}. 4. (−9)\; 𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= (2^5)^{44}. 2^4. 4. (−9)\;𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= (1)^{44}. 2^4. 4. (−9)\;𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= 64. (−9)\;𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= 2.(−9)\;𝑚𝑜𝑑\; 31\\
&= −18\; 𝑚𝑜𝑑\; 31 = 13\\
\end{align}\)

Solusi

• 5 laki-laki mendapatkan $1, dan 6 perempunan mendapatkan $2 atau $5
  * 5 laki mendapatkan masing-masing $1 ada 1 cara,
  * 6 perempunan mendapatkan $2 atau $5 ada
  $2, $2, $2, $2, $2, $2, ada 1 cara
  $2, $2, $2, $2, $2, $5, ada \(\frac{6!}{5!}\) = 6 cara
  $2, $2, $2, $2, $5, $5, ada \(\frac{6!}{4!2!}\) =15 cara
  $2, $2, $2, $5, $5, $5, ada \(\frac{6!}{3!3!}\)= 20 cara
  $2, $2, $5, $5, $5, $5, ada \(\frac{6!}{4!2!}\) =15 cara
  $2, $5, $5, $5, $5, $5, ada 6 cara
  $5, $5, $5, $5, $5, $5, ada 1 cara
  Banyak cara seluruhnya 64 cara
• 5 laki-laki mendapatkan $2, dan 6 perempunan mendapatkan $1 atau $5 ada 64 cara
• 5 laki-laki mendapatkan $5, dan 6 perempunan mendapatkan $1 atau $2 ada 64 cara
•  6 perempuan mendapatkan $1 dan 5 laki-laki mendapatkan $2 atau $5
  * 6 perempuan mendapatkan masing-masing $1 ada 1 cara,
  * 5 perempunan mendapatkan $2 atau $5 ada
  $2, $2, $2, $2, $2, ada 1 cara
  $2, $2, $2, $2, $5, ada \(\frac{5!}{4!}\)= 5 cara
  $2, $2, $2, $5, $5, ada \(\frac{5!}{3!2!}\) = 10 cara
  $2, $2, $5, $5, $5, ada \(\frac{5!}{2!3!}\) = 10 cara
  $2, $5, $5, $5, $5, ada \(\frac{5!}{1!4!}\)= 5 cara
  $5, $5, $5, $5, $5, ada 1 cara
  Banyak cara seluruhnya 32-2=30 cara (kurang dua karena untuk yang 6 perempuan mendapatkan uang yang sama dan 5 laki-laki mendapatkan uang yang sama sudah terhitung sebelumnya)
• 6 perempuan mendapatkan $2 dan 5 laki-laki mendapatkan $1 atau $5 ada 30 cara
• 6 perempuan mendapatkan $5 dan 5 laki-laki mendapatkan $1 atau $2 ada 30 cara

Jadi total cara seluruhnya adalah (64 + 30)3 = 94(3) = 282 cara

Karena \(𝐴𝐵: 𝐵𝐶: 𝐶𝐴 = 3: 5: 7\), bisa dimisalkan \(𝐴𝐵 = 3𝑥, 𝐵𝐶 = 5𝑥\) dan \(𝐴𝐶 = 7𝑥\)
Gunakan rumus mencari jari-jari lingkaran luar segitiga
\(𝑅 =\frac{𝑎𝑏𝑐}{4[𝐴𝐵𝐶]}\)

\([ABC] =\sqrt{𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)}\)
\(= \sqrt{(\frac{15𝑥}{2}(\frac{15𝑥}{2}− 5𝑥)(\frac{15𝑥}{2}− 7𝑥)(\frac{15𝑥}{2}− 3𝑥)}\)
\(=\sqrt{(\frac{15𝑥}{2})(\frac{5𝑥}{2})(\frac{𝑥}{2})(\frac{9𝑥}{2})}\)
\(=\frac{\sqrt{3(5)(5)(9)𝑥^4}}{16}\)
\(=\frac{15}{4}𝑥^2\sqrt 3\)

selanjutnya, subtitusi nilai [ABC] ke

\(𝑅 =\frac{𝑎𝑏𝑐}{4[𝐴𝐵𝐶]}\)
\(7√3 =\frac{3𝑥(5𝑥)(7𝑥)}{4(\frac{15}{4}𝑥^2\sqrt 3)}\)
\(7√3 =\frac{7𝑥}{\sqrt 3}\)
\(𝑥 = 3\)

Jadi luas segitiga adalah\(\frac{15}{4}(3^2)\sqrt 3 =\frac{135}{4}\sqrt 3\)

Solusi :
Gunakan rumus vieta persamaan kubik
Misalkan p, q dan r akar-akar dari persamaan \(𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑥^2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0\) maka berlaku
\(𝑝 + 𝑞 + 𝑟 =\frac{−𝑏}{𝑎}\)
\(𝑝𝑞 + 𝑝𝑟 + 𝑞𝑟 =\frac{𝑐}{𝑎}\)
\(𝑝𝑞𝑟 = \frac{−𝑑}{𝑎}\)

\(𝑎, 𝑏\) and \(𝑐\) are the roots of the equation \(𝑚𝑥^3 – 𝑚𝑥^2 + 𝑛𝑥 + 𝑛 = 0\)
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =\frac{𝑚}{𝑚}= 1\)
\(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 =\frac{𝑛}{𝑚}\)
\(𝑎𝑏𝑐 = \frac{−𝑛}{𝑚}\)

\((𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐})\)
\( = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (\frac{𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐}{𝑎𝑏𝑐})\)
\(= 1\frac{(\frac{n}{𝑚})}{(−\frac{𝑛}{𝑚})}\)
\(= −1\)