Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 2

\((1+2+3+…+2020)\) mod \(1000\)
\(=\frac{(1+2020)\times 2020)}{2}\) mod \(1000\)
\(=(1010\times 2021)\) mod \(1000\)
\(=10\times 21\)
\(=210\)

Bilangan \(cantik\) yang memenuhi adalah berbentuk \(abab\)
Banyaknya permutasinya adalah :\(9\times 10\times 1\times1=90\)
\(9\) karena angka  hanya bisa ditempati oleh angka \(\{1,2,3,…,9\}\)
\(10\) karena angka  hanya bisa ditempati oleh angka \(\{0,1,2,3,…,9\}\)
\(1\) karena angka terpilih harus sama dengan angka  yang sudah terpilih diposisi ribuan
\(1\) karena angka terpilih harus sama dengan angka  yang sudah terpilih di posisi ratusan
Jadi banyak bilangan cantik \(4\) digit ada \(90\) bilangan.

Bilangan yang mempunyai tepat tiga faktor adalah bilangan prima kuadrat, karena bilangan tersebut kurang dari \(100\) maka bilangan-bilangan yang memenuhi yaitu \(2^2, 3^2, 5^2\) dan \(7^2\) . Dengan demikian banyaknya bilangan yang memenuhi ada \(4\) bilangan.

\((2-\frac{32}{2})(2-\frac{32}{3})(2-\frac{32}{4})…(2-\frac{32}{16})…(2-\frac{32}{31})\)

dikarenakan \((2-\frac{32}{16})=0\), maka pada perkalian di atas hasil kalinya adalah \(0\)

Misalkan:
Banyak Stik Ani \(= A\)
Banyak Stik Bani \(= B\)
Banyak Stik Caca \(= C\)
\(A + B = 120\)
\(B + C = 60\)
\(A + C = 70\)
Jumlhkan ketiga persamaan diperoleh:
\(2(A + B+C) = 250\)
\(A + B + C = 125\)
Jadi banyaknya stik kayu yang dimiliki oleh ketiganya adalah \(125\) stik kayu

Luas daerah \(x+x+x+x=\)  luas \(1\) lingkaran
Luas daerah \(y+y+y+y=\)  luas \(2\) lingkaran
Luas total berwarna orange = luas \(3\) lingkaran \(=3𝜋𝑟^2 = 3(3,14)(1)^2 = 9,42\)

Jadi nilai luas daerah yang berwarna orange adalah \(9,42\)

\(\frac{2020^4 – 2019^4}{2019^2 + 2020^2}\)
\(=\frac{(2020^2 – 2019^2)(2020^2 + 2019^2)}{2019^2 + 2020^2}\)
\(=2020^2-2019^2\)
\(=(2020-2019)(2020+2019)\)
\(=4039\)

Perhatikan bahwa segitiga \(△ 𝐵𝐶𝐷\) dan \(△ 𝐵𝐶𝐸\) kongruen, karena memiliki satu sisi persekutuan \(BC\) sama dan ketiga sudutnya sama besar yaitu \(60^0\)(Bisa dibuktikan). \(△ 𝐴𝐵𝐷\) juga sama besar dengan \(△ 𝐵𝐶𝐷\) dikarenakan mempunyai alas yang sama \(𝐴𝐵 = 𝐵𝐶\). Dengan demikian semua segitiga kecil yang berada pada segienam besar berukuran sama luas.
Karena luas segienam besar adalah \(A =18a\)  dan segienam kecil adalah \(B =6a\) , maka nilai dari  \(\frac{A}{B}\) adalah \(\frac{18a}{6a}=3\)

Untuk mencari banyaknya bilangan \(6\) digit yang tersusun naik, kita cukup mengambil \(6\) bilangan pada himpunan bilangan \(\{1,2,3,4,…,9\}\), keenam bilangan yang terpilih kemudian di susun naik dari kiri ke kanan. Dengan demikian banyak bilangan yang terbentuk adalah \({9\choose 6} =\frac{9!}{6!.3!}=84\) cara

Pertama kita cari dulu bilangan dari \(0\) sampai dengan \(999\) yang tidak memuat angka \(9\). Bilangan yang terbentuk hanya menggunakan angka \(\{0,1,2,3,4,…,8\}\) banyak angka yang dapat dibentuk adalah \(9\times 9\times 9=729\). Perhatikan bahwa banyak bilangan dari \(0-99\) yang tidak memuat angka \(9\) tapi kelipatan \(9\) ada \(9\), dari \(100-199\) juga ada \(9\) bilangan dan seterusnya sampai dengan \(800-899\) ada \(9\). Dengan demikian banyak bilangan kelipatan \(9\) yang tidak memuat angka \(9\) ada \(9\times 9=81\).
Jadi banyaknya bilangan dari \(0\) sampai dengan \(999\) yang tidak habis dibagi \(9\) dan tidak memuat digit \(9\) ada \(729 – 81 = 648\)

\(a=13+\frac{1}{b}⟹a-\frac{1}{b}=13…(1)\)
selanjutnya
\(a^2=143+\frac{1}{b^2}⟹a^2-\frac{1}{b^2}=143\)
\(⟹(a-\frac{1}{b})(a+\frac{1}{b})=143 …(2)\)
Subtitusi persamaan \((1)\) dan \((2)\), diperoleh
\(⟹13(a+\frac{1}{b})=143\)
\(⟹(a+\frac{1}{b})=\frac{143}{13}=11\)

Perhatikan grafik di atas.
Karena garis \(𝐵′𝐵 \)dan \(A′A \) sejajar maka \(∠𝑃𝐵′𝐵\) dan \(∠𝑃𝐴′𝐴\) sama besar dan \(∠𝑃B𝐵′\) dan \(∠𝑃A𝐴′\) juga sama besar karena kedua pasangan sudut berlaku sifat bersebrangan dalam.
Dengan demikian  \(△𝑃𝐵′𝐵 \) dan \(△𝑃𝐴′𝐴\) sebangun dan berlaku perbandingan:
\(\frac{AP}{PB}=\frac{AA’}{BB’},\)
panjang \(AA’=\sqrt{(1440-720)^2 + (1440-1440)^2}=\sqrt{(720)^2}=720\)
panjang \(BB’=\sqrt{(4-2)^2 + (2-2)^2}=\sqrt{(2)^2}=2\)
jadi \(\frac{AP}{PB}=\frac{AA’}{BB’}=\frac{720}{2}=360\)

Misal \(x=2^{1010}\)
\(\sqrt{2^{2020}+2^{1011}+1} – \sqrt{2^{2020} – 2^{1012}+4}\)
\(=\sqrt{(2^{1010})^2+2.2^{1010}+1} – \sqrt{(2^{1010})^2 – 2^2. 2^{1010}+4}\)
\(=\sqrt{x^2 + 2x+1} – \sqrt{x^2 – 4x+4}\)\(=\sqrt{(x+1)^2} – \sqrt{(x-2)^2}\)
\(=x+1-(x-2)\)
\(=3\)

Misal: Usia Andro \(= 𝐴\) dan Usia Bela \(= B\)
\(𝐴+B=60\)
\(𝐴 = 3(𝐵 – (𝐴 – 𝐵))\), dikurang \((𝐴 – 𝐵)\) karena usia Andro sama usia bela sekarang ketika usia Andro di kurangi selisih usia keduanya. Demikian juga usia Bela di kurangi selisih usia keduanya. Jika dilanjutkan
\(𝐴 = 3(2𝐵 – 𝐴)\)
\(𝐴 = 6𝐵 – 3𝐴\)
\(4𝐴 = 6𝐵\)
\(2𝐴 = 3𝐵\)
Usia Andro sekarang \(= 35×60=36\) tahun
Jadi jumlah digit usia Andro adalah \(3 + 6 = 9\)

\(x^2=(\sqrt{42-\sqrt{42-\sqrt{42-…}}})^2\)
\(x^2=42-\sqrt{42-\sqrt{42-\sqrt{42-…}}}\)
\(x^2=42-x\)
\(x^2+x-42=0\)
\((x+7)(x-6)=0\)
\(x\) yang memenuhi adalah \(6\)
selanjutnya,
\(y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+…}}}\)
\(y=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+…}}}\)
\(y^2-y-6=0\)
\((y-3)(y+2)=0\), \(y\) yang memenuhi adalah \(3\).
subtitusi nilai y ke \(z=\sqrt{y\sqrt{y\sqrt{y…}}}\), diperoleh
\(z=\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3…}}}\)
\(z^2=3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3…}}}\)
\(z^2=3z\)
\(z\) yang memenuhi adalah 3
Dengan demikian nilai  \(x+y+z\) adalah \(6+3+3=12\)

\((x+xy^2+y^2)(x+y^2)^2 = 225=9\times 25\)
\((x-xy^2+y^2)(x+y^2)^2=25=1\times 25\)
untuk
\((x+y^2)^2)=25\) … \((1)\)
\((x+xy^2+y^2)=9\) … \((2)\)
\((x-xy^2+y^2)=1\) … \((3)\)
jumlahkan persamaan \((2)\) dan \((3)\) diperoleh:
\(2x+2y^2 = 10\)
\(x+y^2=5\)
Pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((1,2),(4,1),(5,0), (1,-2),(4,-1)\) khusus \((0,5)\) tidak memenuhi persamaan \((2)\) dan \((3)\) jadi hanya \(4\) pasangan.
kemungkinan lain
\((x+xy^2+y^2)(x+y^2)^2 = 225=225\times 1\)
\((x-xy^2+y^2)(x+y^2)^2=25=25\times 1\)
untuk
\((x+y^2)^2)=1\) … \((4)\)
\((x+xy^2+y^2)=225\) … \((5)\)
\((x-xy^2+y^2)=25\) … \((6)\)
jumlahkan persamaan \((5)\) dan \((6)\) diperoleh:
\(2x+2y^2 = 250\)
\(x+y^2=125\) tidak memenuhi persamaan \((4)\)
jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) yang memenuhi ada \(4\) pasangan.

Dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(BC=\sqrt{AB^2 + AC^2} =\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt 5\)
Perbandingan \( AC : AB : BC = 1 : 2 : \sqrt 5\)
Berdasarkan gambar di atas \(△ 𝐴𝐵𝐶,△ 𝐴𝐷𝐸,△ 𝐸𝐵𝐹,\) dan \(△ 𝐷𝐺𝐶\) adalah sebangun
Misal \(𝐺𝐷 = 𝑥\)
Dari \(△ 𝐴𝐵𝐶\) dan \(△ 𝐷𝐺𝐶,\) diperoleh:
\(\frac{CG}{GD} = \frac{1}{2} ⟹ CG=\frac{1}{2}x\)
Dari \(△ 𝐴𝐵𝐶\) dan \(△ EFB,\) diperoleh:
\(\frac{FB}{EF} = \frac{2}{1} ⟹ FB=2x\)
selanjutnya
\(FB + FG + CG = BC\)
\(2x+x+\frac{1}{2}x = \sqrt 5\)
\(\frac{7}{2}x =\sqrt 5 ⟹x=\frac{2}{7}\sqrt 5\)
jadi luas persegi \(DEFG\) adalah \(x^2=(\frac{2}{7}\sqrt 5)^2 =\frac{20}{49}\)

\(a_0 = 0\)
\(a_1 = 1\)
\(a_2 = 3(1)-2(0)=3\)
\(a_3 = 3(3)-2(1)=7\)
\(a_4 = 3(7)-2(3)=15\)
\(a_5 = 3(15)-2(7)=31\)
\(a_6 = 3(31)-2(15)=63\)
\(a_7 = 3(63)-2(31)=127\)
…
Dari pola angka satuan di atas diperoleh angka satuan dari \(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3,𝑎_4,𝑎_5,𝑎_6,𝑎_7,…\) adalah
\(1, 3, 7, 5, 1, 3, 7, 5, …\).
Dengan demikian angka satuan dari \(𝑎_{2020}\) adalah \(5\).

misalkan:
\(y=426k-90k^2\) kalikan kedua ruas dengan \(10\)
\(10y=4260k-900k^2\)
\(=-900k^2 + 4260k\)
\(=-(30k)^2 + 4260k\)
\(=-(30k-71)^2 +71^2 \)
Nilai terbesar dicapai ketika nilai \(30𝑘−71\) minimum, karena \(𝑘\) bilangan bulat, maka nilai \(𝑘\) yang memenuhi adalah \(𝑘=2\).
\(10y=-(30k-71)^2 + 5041\)
\(10y_{max}=-(30(2)-71)^2 + 5041\)
\(10y_{max}=-(60-71)^2 + 5041\)
\(10y_{max}=-(-11)^2 + 5041\)
\(10y_{max}=4920\)
\(y_{max}=492\)
jadi nilai terbesar dari \(426𝑘−90𝑘^2\) adalah \(492\)

Tarik garis singgung lingkaran yang melalui \(B\) dan perpanjangan garis yang melalui titik pusat kedua lingkaran sehingga berpotongan di titik \(E\).
Diketahui \(△𝑃𝐶𝐸\) dan \(△𝑂𝐸𝐷\) sebangun demikian juga dengan \(△𝑃𝐶𝐸\) dan \(△𝐴𝐵𝐸\) juga sebangun karena \(∠𝐶=∠𝐵\) (siku-siku) dan \(∠𝐴𝐸𝐵=∠𝑃𝐸𝐶\) (berimpit). Karena \(OD : CP = 2 : 1\) Akibatnya perbandingan sisi yang bersesuain pada ketiga segitiga adalah \(2 : 1\).
Diketahui \(𝐷𝐶=𝐹𝑃\), maka
\(𝐷𝐶^2=𝑂𝑃^2−𝐶𝑃^2=90^2−30^2=120×60⟹𝐷𝐶=60\sqrt 2\)
Karena \(𝐸𝐶∶ 𝐸𝐵 = 1∶ 2\) maka \(𝐸𝐶 = 𝐶𝐷\)
Demikian juga untuk \(𝐸𝑃∶ 𝐸𝑂 = 1 : 2\), maka \(𝑂𝑃 = 𝐸𝑃=90\), diperoleh \(AE = 90−30=60\)
Karena kita sudah ketahui bahwa \(△𝑃𝐶𝐸\) dan \(△𝐴𝐵𝐸\) sebangun maka berlaku:
\(\frac{𝐴𝐵}{𝐶𝑃}=\frac{𝐴𝐸}{𝐶𝐸}⟹𝐴𝐵=\frac{60}{60\sqrt 2}\times 30 =\frac{1}{\sqrt 2}\times 30=\frac{30}{\sqrt 2}\)
Dengan demikian panjang \(𝐴𝐵^2=\frac{900}{2}=450\)