Borneo Math Online Contest merupakan lomba yang diperuntukkan semua grade yang diadakan pada saat pandemi covid-19. Soal-soal lomba ini diambil dari lomba matematika di berbagai negara di dunia. Soal-soal yang dipilih merupakan soal-soal standart yang biasa digunakan dilomba-lomba OSN dan lomba-lomba matematika yang ada di Indonesia. Untuk anak-anak yang ingin mengembangkan kemampuan problem solving, kreatifitas dan menambah wawasan tentang matematikan, soal-soal BMOC sangat pas untuk itu.
Berikut ini adalah soal dan pembahasan BMOC 6, semoga bermanfaat.
1. Diketahui \(π\) adalah bilangan bulat positif. Jika bilangan kuadrat terkecil yang lebih dari \(π\) adalah \(π+37\) dan bilangan kuadrat terbesar yang kurang dari \(π\) adalah \(πβ14\) maka tentukan nilai \(π\).
Misalkan \(πβ14=π^2\) dan \(π+37=(π+1)^2\), memenuhi \(π^2<π<(π+1)^2\) \((π+1)^2βπ^2=(π+37)β(πβ14)=51\) \(βΉπ^2+2π+1βπ^2=51\) \(βΉ2π+1=51\) \(βΉ2π=50\) \(βΉπ=25\) \(πβ14=π^2\) \(βΉπ=π^2+14=25^2+14=625+14=639\) Jadi nilai \(π\) yang memenuhi adalah \(639\).
2. Tentukan berapa banyak cara menutupi gambar di bawah ini dengan \(6\) kartu domino berukuran \(2 \times 1\) tanpa overlap?
– Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara – Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara – Bisa diputar sebanyak 4 kali, jadi banyak cara ada 4
Jadi banyak cara menyusun domino \(2 \times 1\) adalah \(2 + 2 + 4 = 8\) cara
3. Diketahui persegi \(ABCD\) dengan panjang sisi \(2\). Sebuah lingkaran berpusat di \(O\) menyinggung diagonal \(AC\) di titik \(A\) dan menyinggung diagonal \(BD\) di titik \(B\). Jika luas daerah overlap antara persegi \(ABCD\) dan Lingkaran berpusat di \(O\) adalah \(\frac{π}{π}\) maka tentukan \(π + π\).
Karena \(A\) dan \(B\) merupakan titik singgung maka \(ππ΅ β₯ π΅π·\) dan \(ππ· β₯ π΄πΆ \) sehingga menyebabkan \(β π΄ππ΅ = 90^0\) dan \(ππ΄ππ΅\) merupakan persegi. Karena \(ππ΄ππ΅\) persegi maka panjang \(π΅π = ππ΄\). \(π΅π =\frac{1}{2}π΅π· =\frac{1}{2}\sqrt{π΄π·^2 + π΄π΅^2}\) \(=\frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 2^2} =\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}\) Karena \(β π΄ππ΅ = 90^0\) maka \(OAB\) membentuk \(\frac{1}{4}\) lingkaran dengan jari-jari \(OA\) dan \(OB\), dimana \(ππ΄ = ππ΅ = π΅π\). Luas daerah overlap/arsiran \(=\) Luas \(\frac{1}{4}\) lingkaran β Luas \(Ξππ΄π΅\) \(=\frac{1}{4}π. ππ΄^2 β\frac{1}{2}.ππ΄. ππ΅\) \(=\frac{1}{4}π. \sqrt {2}^2β\frac{1}{2} . \sqrt 2. \sqrt 2\) \(=\frac{1}{4}π. 2 β\frac{1}{2}. 2 =\frac{1}{2}π β 1\) \(=\frac{1}{2}.\frac{22}{7}β 1 =\frac{11}{7}β\frac{7}{7}=\frac{4}{7}=\frac{π}{π}\) Jadi nilai dari \(π + π = 4 + 7 = 11\).
4. Berapa banyak bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga
\(\frac{9003750\times 7^{96}}{n}\)
juga merupakan bilangan bulat.
Agar hasil pembagiannya juga bilangan bulat, maka nilai \(n\) merupakan faktor positif dari \(9003750\times 7^{97}\). Kita menggunakan faktorisasi prima \(9003750\times 7^{97}=2\times 3\times 5^4\times 7^{100}\). Jadi banyak nilai \(n\) yang memenuhi adalah \((1+1)(1+1)(4+1)(100+1)=2020\).
6. Tentukan jumlah semua faktor prima berbeda dari \(104060401\)
\(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\) Misalkan \(x = 100\) \(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\) \(=100^4+4.100^3+6.100^2+4.100+1\) \(=π₯^4+4π₯^3+6π₯^2+4π₯+1\) \(=(π₯+1)^4\) Diperoleh \((π₯+1)^4=(100+1)^4=101^4\), karena \(101\) adalah bilangan prima, maka jumlah semua faktor prima dari \(104060401\) adalah \(101\).
7. Aisyah mempunyai kombinasi angka untuk membuka kunci. Dia mengetahui bahwa kombinasi angka terdiri dari \(4\) angka dimana digit pertama adalah \(2\), digit keempat adalah \(8\) dan bilangan tersebut habis dibagi \(9\). Berapa banyak kemungkinan kombinasi angka yang dimiliki Aisyah.
Misalkan kombinasi bilangan itu adalah \(\overline{2ab8}\) karena habis dibagi \(9\) maka berlaku \(2+π+π+8=π.9\), untuk \(π\) bilangan bulat positif. – Untuk \(π =1\) tidak memenuhi. – Untuk \(π = 2\) \(2+π+π+8=18\) \(π+π=8\) Pasangan \((π,π)\) yang memenuhi \(\{(0,8),(8,0),(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}\) – Untuk \(π = 3\) \(2+π+π+8=27\) \(π+π=17\) Pasangan \((π,π)\) yang memenuhi \({(9,8),(8,9)}\) – Untuk \(π>3\) tidak memenuhi karena batas maksimal \(π+π\) adalah \(18\). Jadi banyak kombinasi nomor kunci adalah \(9 + 2 = 11\)
8. Diketahui segitiga siku-siku \(ABC\). Titik \(M\) dan \(N\) membagi dua sama panjang garis \(PQ\) dan \(AC\). Jika \(AP = 2, CQ =4\) maka tentukan kuadrat panjang \(MN\).
Misalkan: titik \(π΅(0,0),π(0,π¦)\), maka titik \(π΄(0,π¦+2)\) titik \(π΅(0,0),π(π₯,0)\), maka titik \(πΆ(π₯+4,0)\) β’Β titik \(π\) merupakan titik tengah garis \(ππ\), karena \(π(0,π¦)\) dan \(π(π₯,0)\) maka titik \(M(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2})=M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})\) β’ titik \(π \) merupakan titik tengah garis \(π΄πΆ\), karena \(π΄(0,π¦+2)\) dan \(πΆ(π₯+4,0)\) maka titik \(N(\frac{0+x+4}{2}, \frac{y+2+0}{2})=N(\frac{x+4}{2}, \frac{y+2}{2})\) Jarak \(M\) ke \(N\) \(=\sqrt{(\frac{x+4}{2}-\frac{x}{2})^2+(\frac{y+2}{2}-\frac{y}{2})^2}\) \(=\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{2}{2})^2}\) \(=\sqrt{2^2+ 1^1}\) \(=\sqrt 5\) jadi kuadrat dari panjang \(MN\) adalah \(5\)
9. Perhatikan gambar berikut!. Angka yang berada pada lingkaran di sudut-sudut segi enam jumlahnya sama dengan angka yang berada dalam segienam tersebut. Tentukan nilai \(π+π+π\).
β’Β Dari segienam biru \(πβ1+5+π+3+4=17βΉ2π+11=17βΉ2π=6βΉπ=3\) Diperoleh \(π=3\) β’Β Dari segienam kuning \(π+5+π+7β3+π=10βΉ3+2π+9=10βΉ2π=β2βΉπ=β1\) Diperoleh \(π=β1\) β’Β Dari segienam unggu \(π+2+π+π+π+7=21βΉβ1+2+π+3+π+7=21βΉ2π=10βΉπ=5\) Diperoleh \(π=5\) Jadi nilai dari \(π+π+π\) adalah \(3 + (β1)+ 5=2+5=7\)
Jika terdapat \(10100\) suku mengikuti pola di atas, maka nilai \(A\) adalah β¦
Karena ada \(10100\), maka banyak angka \(\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{101}\) dan \(\frac{1}{202}\) masing-masing ada \(2020\), jadi \(A\) bisa disederhanakan menjadi: \(A =(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-\frac{1}{202})\times 2020 \) \(= \frac{2020}{2}+\frac{2020}{5}-\frac{2020}{10}-\frac{2020}{101}-\frac{2020}{202}\) \(=1010+404-202-20-10\) \(=1182\)
11. Tentukan besar sudut \(x\) pada gambar di bawah ini!
Karena \(Ξπ΄π΅πΈβ Ξπ·πΆπΈ \)maka panjang \(πΈπ΅=πΈπΆ\). Karena \(Ξπ΄π΅πΈ\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(β π΄πΈπ΅=45^0\), akibatnya \(β π·πΈπΉ=5^0\). Karena \(Ξπ·πΆπΈ\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(β π·πΈπΆ=45^0\). Diketahui \(β π·πΈπΉ=5^0\) maka \(β πΉπΈπΆ=β π·πΈπΆββ π·πΈπΉ=40^0\). Karena \(πΈπ΅=πΈπΆ\) maka \(πΈπ΅πΆ\) membentuk segitiga sama kaki sehingga berlaku \(β πΈπ΅πΆ=β πΈπΆπ΅=(45+π₯)^0\) Perhatikan \(Ξπ΅πΆπΈ\). \(β πΈπ΅πΆ+β πΈπΆπ΅+β π΅πΈπΆ= 180^0\) \((45+π₯)^0+(45+π₯)^0+40^0=180^0\) \(90^0+2π₯^0+40^0=180^0\) \(130^0+2π₯^0=180^0\) \(2π₯^0=50^0\) \(π₯^0=25^0\) Jadi besar sudut \(x\) adalah \(25^0\)
\((\overline{a6}+\overline{a5})\) mod \(10 = 1\) dan \(\overline {14(n-1)7}\) mod \(10\) maka \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\) karena \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\) maka nilai \(π\) yang mungkin adalah \(8\), sehingga diperoleh bentuk: \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}+\overline{a6} + \overline{a5} = 1477\) Karena \(π\) maksimum adalah \(9\), maka nilai \(\overline{a6} + \overline{a5} <200\) dan \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\) Agar memenuhi \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\), maka nilai \(π\) yang mungkin adalah \(3\). Ganti \(π =3\), kemudian kita cek kebenarannya \(38\times 37+36+35=1477\) \(1406+71=1477 \)(benar) Jadi nilai dari \(π+π=3+8=11\).
13. Berapa banyak pasangan bilangan \((π,π)\) yang memenuhi jumlah kedua bilangan adalah \(528\) dan FPBnya adalah \(33\).
Misal \(π = 33π₯\) dan \(π = 33π¦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli saling prima. \(π+π=33π₯+33π¦=528\) \(=π₯+π¦=16\) Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\) Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\) dan \((7,9)\) dan kebalikannya . Jadi banyaknya pasangan \((π,π)\) ada \(8\)
14. Sebuah pecahan dapat di hasilkan dari penjumlahan dua pecahan berbentuk \(\frac{1}{π}+\frac{1}{π}\) dimana \(πβ Β±1\) dan \(a,b\) bilangan asli. Sebagai contoh:
Tentukan banyaknya pasangan \((π,π)\) yang memenuhi \(\frac{1}{15}=\frac{1}{π}+\frac{1}{π}\) dimana \((π,π)\) dan \((π,π)\) dianggap sama.
Faktor dari \(15\) adalah \({1, 3, 5, 15}\) kemudian di pasang-pasangkan β’Β Untuk \(3\) dan \(5\) \(\frac{1}{15}=\frac{3+5}{15\times (3+5)}=\frac{3}{15\times 8}+\frac{5}{15\times 8}=\frac{1}{40}+\frac{1}{24} , (π,π)=(40,24)\)
β’Untuk \(3\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{3+15}{15\times (3+15)}=\frac{3}{15\times 18}+\frac{15}{15\times 18}=\frac{1}{90}+\frac{1}{18} , (π,π)=(90,18)\)
β’Untuk \(5\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+15}{15\times (5+15)}=\frac{5}{15\times 20}+\frac{15}{15\times 20}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20} , (π,π)=(60,20)\)
β’Untuk \(1\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{1+15}{15\times (1+15)}=\frac{1}{15\times 16}+\frac{15}{15\times 16}=\frac{1}{240}+\frac{1}{16} , (π,π)=(240,16)\)
β’Untuk \(5\) dan \(5\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+5}{15\times (5+5)}=\frac{5}{15\times 10}+\frac{5}{15\times 10}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30} , (π,π)=(30,30)\)
Jadi pasangan \((π,π)\) yang memenuhi adalah \(\{(40,24),(90,18),(60,20),(240,16),(30,30)\}\), banyaknya ada \(5\).
Banyak suku bisa dicari dengan melihat pola penyebutnya: \(3, 15, 35, 63, β¦, 399 \) \(1\times 3,3\times 5,5\times7,7\times 9,β¦,19\times 21\) Perhatikan angka depannya membentuk pola bilangan ganjil, banyak bilangan ganjil dari \(1\) sampai dengan \(19\) ada \(10\). Jadi terdapat \(10\) suku pada penjumlahan ini. Selanjutnya, kita cari nilai dari. \(\frac{1}{3}+\frac{13}{15}+\frac{33}{35}+\frac{61}{63}+…+\frac{397}{399}\) \(=1-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{15}+1-\frac{2}{35}+1-\frac{2}{63}+…+1-\frac{2}{399}\) \(=10-(\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}+…+\frac{2}{399})\) \(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{19}-\frac{1}{21})\) \(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{21})\) \(=10-(\frac{20}{21})\) \(=9\frac{1}{21}\)
16. Perhatikan gambar berikut ini!
Garis \(π_1\) menghubungkan titik \((1,0)\) dan titik \((0,1)\), garis \(π_2\) menghubungkan titik \((0,1)\) dan titik \((-1,0)\), demikian seterusnya. Jika pola di atas dilanjutkan maka garis \(π_{2020}\) memotong sumbu \(x\) di titik \((x,0)\). Nilai \(x\) yang memenuhi adalah β¦
Kita perhatikan pola garis pada gambar di atas Kuadran \(1\) \(π_1,π_5,π_9,β¦\) Kuadran \(2\) \(π_2,π_6,π_10,β¦\) Kuadran \(3\) \(π_3,π_7,π_{11},β¦\) Kuadran \(4\) \(π_4,π_8,π_{12},β¦\) Jika dilihat pola di atas garis \(π_{2020}\) letaknya di kuadran \(4\) karena \(2020\) habis dibagi \(4\). Selanjutnya kita lihat pola titik potong garis di sumbu \(x\). Untuk garis \(π_4\) memotong sumbus \(x\) di titik \((2,0), (2β1)4 = 4\) Untuk garis \(π_8\) memotong sumbus \(x\) di titik \((3,0), (3β1)4 = 8\) Untuk garis \(π_{12}\) memotong sumbus \(x\) di titik \((4,0), (4β1)4 = 12\) β¦ Untuk garis \(π_π\) memotong sumbus \(x\) di titik \((x,0), (π₯β1)4 = π\) Dengan demikian untuk \(π_{2020}\) memotong sumbu \(x\) dititik \((x,0)\), berarti nilai \(x\) diperoleh dari \((π₯β1)4 = 2020βΉπ₯β1=505βΉπ₯=506\).
17. Perhatikan gambar berikut. \(πΉπΊπ΅π΄\)Β dan \(π΅πΈπ·πΆ\) adalah persegi dengan panjang sisi berturut-turut \(5\) dan \(4\). \(π΄π΅πΆ\) adalah segitiga siku-siku. Garis \(πΆπ΅\) diperpanjang hingga memotong \(πΊπΈ\) di titik \(π»\). Tentukan nilai dari \(10π΅π»\)?
\(π΄πΆ=\sqrt{π΄π΅^2βπ΅πΆ^2}=\sqrt{5^2β4^2}=\sqrt 9=3\) Tarik garis dari titik \(πΈ\) sejajar \(π΅πΊ\) dan tarik garis dari titik \(πΊ \) sejajar \(π΅πΈ\), kedua garis berpotongan di titik \(I\). Perhatikan bahwa \(Ξπ΄π΅πΆβ Ξπ΅πΌπΊ\) karena memenuhi \(2\) sisi diketahui sama panjang yaitu \(π΄π΅=π΅πΊ\) dan \(π΅πΆ=πΊπΌ\) dan juga \(β πΆπ΄π΅=β πΊπ΅πΌ \) (bisa dibuktikan sendiri). Dari sifat ini sudah cukup membuktikan kedua segitiga kongruen. Dari sini diperoleh panjang \(π΅πΌ = π΄πΆ = 3\). Karena \(πΊπΌπΈπ΅\) membentuk jajargenjang, maka kedua titik potong diagonal membagi dua sisi sama panjang yaitu \(π΅π»\) dan \(π»πΌ\). Dengan demikian panjang \(=\frac{π΅πΌ}{2}=\frac{3}{2}\) . Nilai \(10π΅π»=10\times \frac{3}{2}=15\)
18. Tentukan berapa banyak pasangan bilangan bulat positif dari \(1\) sampai dengan \(2020\) yang hasil kali kedua bilangan adalah kelipatan \(5\).
Himpunan bilangan kelipatan \(5\):\(\{5, 10, 15, 20, 25, β¦,2020\}\), banyaknya bilangan adalah \(404\). Banyaknya bilangan yang bukan kelipatan \(5\) adalah \(2020 β 404 = 1616\) Banyak cara agar hasil kali kedua bilangan kelipatan \(5\) adalah kita mengambil duaΒ bilangan kelipatan \(5\) atau kita mengambil satu kelipatan \(5\) dan satunya lagi bukan kelipatan \(5\). Banyak cara \(= {404\choose 2}+{404\choose 1}Β·{1616\choose 1}\) \(=\frac{404!}{402!Β·2!}+404\times1616\) \(=\frac{404\times 403\times 402!}{402!Β·2!}+404\times{1616}\) \(= 202\times 403 + 404\times 1616\) \(= 734.270\)
19. Diketahui bilangan \(3\) digit \(\overline{πππ}\) tidak habis dibagi \(10\). Apabila \(\overline{πππ}\) dan \(\overline{πππ}\) dijumlahkan maka hasilnya habis dibagi \(11\). Tentukan nilai terbesar dari \(\overline{πππ}\).
\(\overline{πππ}+\overline{cπa}=100π+10π+π+100π+10π+π\) \(=101π+20π+101π\) \(=101(π+π)+20π\) \(=99(π+π)+2(π+π)+22πβ2π\) \(=99(π+π)+22π+2π+2πβ2π\) \(=99(π+π)+22π+2(π+πβπ)\) \(\overline{πππ}+\overline{cπa}\) habis dibagi \(11\), karena \(99\) dan \(22\) habis dibagi \(11\) maka \(π+πβπ\) harus habis dibagi \(11\). Karena \(π+πβπ\) harus habis dibagi \(11\) maka nilai yang mungkin untuk \(π+πβπ\) adalah \(0\) atau \(11\). β’ Untuk \(π+πβπ=0βΉπ+π=π\). Karena nilai \(\overline{πππ}\) maksimum, kita pilih \(π=9\) maka nilai \(π\) dan \(π\) yang memenuhi adalah \(0\) dan \(9\). Diperoleh nilai \(\overline{πππ}=990\) (tidak memenuhi karena habis dibagi \(10\)) β’ Untuk \(π+πβπ=11βΉπ+π=π+11\). Karena nilai \(\overline{πππ}\) maksimum, kita pilih \(π=9\), untuk \(πβ₯8\) tidak memenuhi karana batas makisimal \(π+π=18\). Selanjutnya kita pilih \(π\) maksimum yaitu \(7\) maka nilai \(π\) adalah \(9\). Sehingga nilai \(\overline{πππ}=979\) Jadi nilai terbesar \(\overline{πππ}\)Β yang memenuhi adalah \(979\).
20. Tentukan bilangan real x yang memenuhi:
\(\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x}=1\)
Pangkat tigakan kedua ruas (gunakan rumus : \((π+π)^3=π^3+3π^2π+3ππ^2+π^3 \)) \((\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1^3\) \(βΉ(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^3+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^2(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^2+(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1\) \(βΉ5+\sqrt x+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+5-\sqrt x = 1\) \(βΉ10+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})=1\) \(βΉ10+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})=1\) \(βΉ9+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})Β·1=0\) \(βΉ3(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\) \(βΉ(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\) \(βΉ\sqrt[3]{25-\sqrt x}=-3\) \(βΉ25-x=-27\) \(βΉx=52\) Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(π₯=52\)