Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 6

Misalkan \(𝑛−14=𝑘^2\) dan \(𝑛+37=(𝑘+1)^2\), memenuhi \(𝑘^2<𝑛<(𝑘+1)^2\)
\((𝑘+1)^2−𝑘^2=(𝑛+37)−(𝑛−14)=51\)
\(⟹𝑘^2+2𝑘+1−𝑘^2=51\)
\(⟹2𝑘+1=51\)
\(⟹2𝑘=50\)
\(⟹𝑘=25\)
\(𝑛−14=𝑘^2\)
\(⟹𝑛=𝑘^2+14=25^2+14=625+14=639\)
Jadi nilai \(𝑛\) yang memenuhi adalah \(639\).

– Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara

– Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara

– Bisa diputar sebanyak 4 kali, jadi banyak cara ada 4

Jadi banyak cara menyusun domino \(2 \times 1\) adalah \(2 + 2 + 4 = 8\) cara

Karena \(A\) dan \(B\) merupakan titik singgung maka \(𝑂𝐵 ⊥ 𝐵𝐷\) dan \(𝑂𝐷 ⊥ 𝐴𝐶 \) sehingga menyebabkan \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90^0\) dan \(𝑂𝐴𝑀𝐵\) merupakan persegi.
Karena \(𝑂𝐴𝑀𝐵\) persegi maka panjang \(𝐵𝑀 = 𝑂𝐴\).
\(𝐵𝑀 =\frac{1}{2}𝐵𝐷 =\frac{1}{2}\sqrt{𝐴𝐷^2 + 𝐴𝐵^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 2^2} =\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
Karena \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90^0\) maka \(OAB\) membentuk \(\frac{1}{4}\) lingkaran dengan jari-jari \(OA\) dan \(OB\),
dimana \(𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝐵𝑀\).
Luas daerah overlap/arsiran
\(=\) Luas \(\frac{1}{4}\) lingkaran – Luas \(Δ𝑂𝐴𝐵\)
\(=\frac{1}{4}𝜋. 𝑂𝐴^2 −\frac{1}{2}.𝑂𝐴. 𝑂𝐵\)
\(=\frac{1}{4}𝜋. \sqrt {2}^2−\frac{1}{2}
. \sqrt 2. \sqrt 2\)
\(=\frac{1}{4}𝜋. 2 −\frac{1}{2}. 2 =\frac{1}{2}𝜋 − 1\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{22}{7}− 1 =\frac{11}{7}−\frac{7}{7}=\frac{4}{7}=\frac{𝑎}{𝑏}\)
Jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 = 4 + 7 = 11\).

Agar hasil pembagiannya juga bilangan bulat, maka nilai \(n\) merupakan faktor positif dari
\(9003750\times 7^{97}\). Kita menggunakan faktorisasi prima
\(9003750\times 7^{97}=2\times 3\times 5^4\times 7^{100}\).
Jadi banyak nilai \(n\) yang memenuhi adalah \((1+1)(1+1)(4+1)(100+1)=2020\).

\(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{3\times 8}+\frac{1}{5\times {13}}+\frac{1}{8\times {21}}+\frac{1}{13\times {24}}+\frac{1}{21\times {55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{1}{5})+\frac{1}{5}(\frac{1}{3}-\frac{1}{8})+\frac{1}{8}(\frac{1}{5}-\frac{1}{13})+…+\frac{1}{34}(\frac{1}{21}-\frac{1}{55})+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{15}+\frac{1}{15}-\frac{1}{40}+\frac{1}{40}-\frac{1}{104}+…+\frac{1}{34\times{21}}-\frac{1}{34\times{55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{34\times{55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{34\times x}=\frac{1}{34\times {55}}\)
\(x=55\)

\(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\)
Misalkan \(x = 100\)
\(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\)
\(=100^4+4.100^3+6.100^2+4.100+1\)
\(=𝑥^4+4𝑥^3+6𝑥^2+4𝑥+1\)
\(=(𝑥+1)^4\)
Diperoleh \((𝑥+1)^4=(100+1)^4=101^4\),
karena \(101\) adalah bilangan prima, maka jumlah semua faktor prima dari \(104060401\) adalah \(101\).

Misalkan kombinasi bilangan itu adalah \(\overline{2ab8}\) karena habis dibagi \(9\) maka berlaku \(2+𝑎+𝑏+8=𝑘.9\), untuk \(𝑘\) bilangan bulat positif.
– Untuk \(𝑘 =1\) tidak memenuhi.
– Untuk \(𝑘 = 2\)
\(2+𝑎+𝑏+8=18\)
\(𝑎+𝑏=8\)
Pasangan \((𝑎,𝑏)\) yang memenuhi \(\{(0,8),(8,0),(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}\)
– Untuk \(𝑘 = 3\)
\(2+𝑎+𝑏+8=27\)
\(𝑎+𝑏=17\)
Pasangan \((𝑎,𝑏)\) yang memenuhi \({(9,8),(8,9)}\)
– Untuk \(𝑘>3\) tidak memenuhi karena batas maksimal \(𝑎+𝑏\) adalah \(18\).
Jadi banyak kombinasi nomor kunci adalah \(9 + 2 = 11\)

Misalkan:
titik \(𝐵(0,0),𝑃(0,𝑦)\), maka titik \(𝐴(0,𝑦+2)\)
titik \(𝐵(0,0),𝑄(𝑥,0)\), maka titik \(𝐶(𝑥+4,0)\)
• titik \(𝑀\) merupakan titik tengah garis \(𝑃𝑄\), karena \(𝑃(0,𝑦)\) dan \(𝑄(𝑥,0)\) maka titik \(M(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2})=M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})\)
• titik \(𝑁 \) merupakan titik tengah garis \(𝐴𝐶\), karena \(𝐴(0,𝑦+2)\) dan \(𝐶(𝑥+4,0)\) maka titik
\(N(\frac{0+x+4}{2}, \frac{y+2+0}{2})=N(\frac{x+4}{2}, \frac{y+2}{2})\)
Jarak \(M\) ke \(N\)
\(=\sqrt{(\frac{x+4}{2}-\frac{x}{2})^2+(\frac{y+2}{2}-\frac{y}{2})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{2}{2})^2}\)
\(=\sqrt{2^2+ 1^1}\)
\(=\sqrt 5\)
jadi kuadrat dari panjang \(MN\) adalah \(5\)

•  Dari segienam biru
\(𝑎−1+5+𝑎+3+4=17⟹2𝑎+11=17⟹2𝑎=6⟹𝑎=3\)
Diperoleh \(𝑎=3\)
• Dari segienam kuning
\(𝑎+5+𝑏+7−3+𝑏=10⟹3+2𝑏+9=10⟹2𝑏=−2⟹𝑏=−1\)
Diperoleh \(𝑏=−1\)
• Dari segienam unggu
\(𝑏+2+𝑐+𝑎+𝑐+7=21⟹−1+2+𝑐+3+𝑐+7=21⟹2𝑐=10⟹𝑐=5\)
Diperoleh \(𝑐=5\)
Jadi nilai dari \(𝑎+𝑏+𝑐\) adalah \(3 + (−1)+ 5=2+5=7\)

Karena ada \(10100\), maka banyak angka \(\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{101}\) dan \(\frac{1}{202}\) masing-masing ada \(2020\), jadi \(A\) bisa disederhanakan menjadi:
\(A =(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-\frac{1}{202})\times 2020 \)
\(= \frac{2020}{2}+\frac{2020}{5}-\frac{2020}{10}-\frac{2020}{101}-\frac{2020}{202}\)
\(=1010+404-202-20-10\)
\(=1182\)

Karena \(Δ𝐴𝐵𝐸≅Δ𝐷𝐶𝐸 \)maka panjang \(𝐸𝐵=𝐸𝐶\).
Karena \(Δ𝐴𝐵𝐸\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(∠𝐴𝐸𝐵=45^0\), akibatnya \(∠𝐷𝐸𝐹=5^0\).
Karena \(Δ𝐷𝐶𝐸\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(∠𝐷𝐸𝐶=45^0\). Diketahui \(∠𝐷𝐸𝐹=5^0\) maka \(∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐷𝐸𝐶−∠𝐷𝐸𝐹=40^0\).
Karena \(𝐸𝐵=𝐸𝐶\) maka \(𝐸𝐵𝐶\) membentuk segitiga sama kaki sehingga berlaku \(∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐸𝐶𝐵=(45+𝑥)^0\)
Perhatikan \(Δ𝐵𝐶𝐸\).
\(∠𝐸𝐵𝐶+∠𝐸𝐶𝐵+∠𝐵𝐸𝐶= 180^0\)
\((45+𝑥)^0+(45+𝑥)^0+40^0=180^0\)
\(90^0+2𝑥^0+40^0=180^0\)
\(130^0+2𝑥^0=180^0\)
\(2𝑥^0=50^0\)
\(𝑥^0=25^0\)
Jadi besar sudut \(x\) adalah \(25^0\)

\((\overline{a6}+\overline{a5})\) mod \(10 = 1\) dan
\(\overline {14(n-1)7}\) mod \(10\) maka \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\)
karena \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\) maka nilai \(𝑛\) yang mungkin adalah \(8\), sehingga diperoleh bentuk: \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}+\overline{a6} + \overline{a5} = 1477\)
Karena \(𝑎\) maksimum adalah \(9\), maka nilai \(\overline{a6} + \overline{a5} <200\) dan \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\)
Agar memenuhi \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\), maka nilai \(𝑎\) yang mungkin adalah \(3\). Ganti \(𝑎 =3\), kemudian kita cek kebenarannya
\(38\times 37+36+35=1477\)
\(1406+71=1477 \)(benar)
Jadi nilai dari \(𝑎+𝑛=3+8=11\).

Misal \(𝑎 = 33𝑥\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli saling prima.
\(𝑎+𝑏=33𝑥+33𝑦=528\)
\(=𝑥+𝑦=16\)
Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\)
Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\) dan \((7,9)\) dan kebalikannya . Jadi banyaknya pasangan \((𝑎,𝑏)\) ada \(8\)

Faktor dari \(15\) adalah \({1, 3, 5, 15}\) kemudian di pasang-pasangkan
• Untuk \(3\) dan \(5\)
\(\frac{1}{15}=\frac{3+5}{15\times (3+5)}=\frac{3}{15\times 8}+\frac{5}{15\times 8}=\frac{1}{40}+\frac{1}{24} , (𝑎,𝑏)=(40,24)\)

•Untuk \(3\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{3+15}{15\times (3+15)}=\frac{3}{15\times 18}+\frac{15}{15\times 18}=\frac{1}{90}+\frac{1}{18} , (𝑎,𝑏)=(90,18)\)

•Untuk \(5\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+15}{15\times (5+15)}=\frac{5}{15\times 20}+\frac{15}{15\times 20}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20} , (𝑎,𝑏)=(60,20)\)

•Untuk \(1\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{1+15}{15\times (1+15)}=\frac{1}{15\times 16}+\frac{15}{15\times 16}=\frac{1}{240}+\frac{1}{16} , (𝑎,𝑏)=(240,16)\)

•Untuk \(5\) dan \(5\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+5}{15\times (5+5)}=\frac{5}{15\times 10}+\frac{5}{15\times 10}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30} , (𝑎,𝑏)=(30,30)\)

Jadi pasangan \((𝑎,𝑏)\) yang memenuhi adalah \(\{(40,24),(90,18),(60,20),(240,16),(30,30)\}\), banyaknya ada \(5\).

Banyak suku bisa dicari dengan melihat pola penyebutnya:
\(3, 15, 35, 63, …, 399 \)
\(1\times 3,3\times 5,5\times7,7\times 9,…,19\times 21\)
Perhatikan angka depannya membentuk pola bilangan ganjil, banyak bilangan ganjil dari \(1\) sampai dengan \(19\) ada \(10\). Jadi terdapat \(10\) suku pada penjumlahan ini.
Selanjutnya, kita cari nilai dari.
\(\frac{1}{3}+\frac{13}{15}+\frac{33}{35}+\frac{61}{63}+…+\frac{397}{399}\)
\(=1-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{15}+1-\frac{2}{35}+1-\frac{2}{63}+…+1-\frac{2}{399}\)
\(=10-(\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}+…+\frac{2}{399})\)
\(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{19}-\frac{1}{21})\)
\(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{21})\)
\(=10-(\frac{20}{21})\)
\(=9\frac{1}{21}\)

Kita perhatikan pola garis pada gambar di atas
Kuadran \(1\)
\(𝑎_1,𝑎_5,𝑎_9,…\)
Kuadran \(2\)
\(𝑎_2,𝑎_6,𝑎_10,…\)
Kuadran \(3\)
\(𝑎_3,𝑎_7,𝑎_{11},…\)
Kuadran \(4\)
\(𝑎_4,𝑎_8,𝑎_{12},…\)
Jika dilihat pola di atas garis \(𝑎_{2020}\) letaknya di kuadran \(4\) karena \(2020\) habis dibagi \(4\).
Selanjutnya kita lihat pola titik potong garis di sumbu \(x\).
Untuk garis \(𝑎_4\) memotong sumbus \(x\) di titik \((2,0), (2−1)4 = 4\)
Untuk garis \(𝑎_8\) memotong sumbus \(x\) di titik \((3,0), (3−1)4 = 8\)
Untuk garis \(𝑎_{12}\) memotong sumbus \(x\) di titik \((4,0), (4−1)4 = 12\)
…
Untuk garis \(𝑎_𝑛\) memotong sumbus \(x\) di titik \((x,0), (𝑥−1)4 = 𝑛\)
Dengan demikian untuk \(𝑎_{2020}\) memotong sumbu \(x\) dititik \((x,0)\), berarti nilai \(x\) diperoleh dari \((𝑥−1)4 = 2020⟹𝑥−1=505⟹𝑥=506\).

\(𝐴𝐶=\sqrt{𝐴𝐵^2−𝐵𝐶^2}=\sqrt{5^2−4^2}=\sqrt 9=3\)
Tarik garis dari titik \(𝐸\) sejajar \(𝐵𝐺\) dan tarik garis dari titik \(𝐺 \) sejajar \(𝐵𝐸\), kedua garis berpotongan di titik \(I\).
Perhatikan bahwa \(Δ𝐴𝐵𝐶≅Δ𝐵𝐼𝐺\) karena memenuhi \(2\) sisi diketahui sama panjang yaitu \(𝐴𝐵=𝐵𝐺\) dan \(𝐵𝐶=𝐺𝐼\) dan juga \(∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐺𝐵𝐼 \) (bisa dibuktikan sendiri). Dari sifat ini sudah cukup membuktikan kedua segitiga kongruen. Dari sini diperoleh panjang \(𝐵𝐼 = 𝐴𝐶 = 3\).
Karena \(𝐺𝐼𝐸𝐵\) membentuk jajargenjang, maka kedua titik potong diagonal membagi dua sisi sama panjang yaitu \(𝐵𝐻\) dan \(𝐻𝐼\).
Dengan demikian panjang \(=\frac{𝐵𝐼}{2}=\frac{3}{2}\) .
Nilai \(10𝐵𝐻=10\times \frac{3}{2}=15\)

Himpunan bilangan kelipatan \(5\):\(\{5, 10, 15, 20, 25, …,2020\}\), banyaknya bilangan adalah \(404\).
Banyaknya bilangan yang bukan kelipatan \(5\) adalah \(2020 – 404 = 1616\)
Banyak cara agar hasil kali kedua bilangan kelipatan \(5\) adalah kita mengambil dua bilangan kelipatan \(5\) atau kita mengambil satu kelipatan \(5\) dan satunya lagi bukan kelipatan \(5\).
Banyak cara \(= {404\choose 2}+{404\choose 1}·{1616\choose 1}\)
\(=\frac{404!}{402!·2!}+404\times1616\)
\(=\frac{404\times 403\times 402!}{402!·2!}+404\times{1616}\)
\(= 202\times 403 + 404\times 1616\)
\(= 734.270\)

\(\overline{𝑎𝑏𝑐}+\overline{c𝑏a}=100𝑎+10𝑏+𝑐+100𝑐+10𝑏+𝑎\)
\(=101𝑎+20𝑏+101𝑐\)
\(=101(𝑎+𝑐)+20𝑏\)
\(=99(𝑎+𝑐)+2(𝑎+𝑐)+22𝑏−2𝑏\)
\(=99(𝑎+𝑐)+22𝑏+2𝑎+2𝑐−2𝑏\)
\(=99(𝑎+𝑐)+22𝑏+2(𝑎+𝑐−𝑏)\)
\(\overline{𝑎𝑏𝑐}+\overline{c𝑏a}\) habis dibagi \(11\), karena \(99\) dan \(22\) habis dibagi \(11\) maka \(𝑎+𝑐−𝑏\) harus habis dibagi \(11\).
Karena \(𝑎+𝑐−𝑏\) harus habis dibagi \(11\) maka nilai yang mungkin untuk \(𝑎+𝑐−𝑏\) adalah \(0\) atau \(11\).
• Untuk \(𝑎+𝑐−𝑏=0⟹𝑎+𝑐=𝑏\).
Karena nilai \(\overline{𝑎𝑏𝑐}\) maksimum, kita pilih \(𝑎=9\) maka nilai \(𝑐\) dan \(𝑏\) yang memenuhi adalah \(0\) dan \(9\). Diperoleh nilai \(\overline{𝑎𝑏𝑐}=990\) (tidak memenuhi karena habis dibagi \(10\))
• Untuk \(𝑎+𝑐−𝑏=11⟹𝑎+𝑐=𝑏+11\).
Karena nilai \(\overline{𝑎𝑏𝑐}\) maksimum, kita pilih \(𝑎=9\), untuk \(𝑏≥8\) tidak memenuhi karana batas makisimal \(𝑎+𝑐=18\). Selanjutnya kita pilih \(𝑏\) maksimum yaitu \(7\) maka nilai \(𝑐\) adalah \(9\). Sehingga nilai \(\overline{𝑎𝑏𝑐}=979\)
Jadi nilai terbesar \(\overline{𝑎𝑏𝑐}\) yang memenuhi adalah \(979\).

Pangkat tigakan kedua ruas (gunakan rumus : \((𝑎+𝑏)^3=𝑎^3+3𝑎^2𝑏+3𝑎𝑏^2+𝑏^3 \))
\((\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1^3\)
\(⟹(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^3+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^2(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^2+(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1\)
\(⟹5+\sqrt x+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+5-\sqrt x = 1\)
\(⟹10+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})=1\)
\(⟹10+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})=1\)
\(⟹9+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})·1=0\)
\(⟹3(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\)
\(⟹(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\)
\(⟹\sqrt[3]{25-\sqrt x}=-3\)
\(⟹25-x=-27\)
\(⟹x=52\)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(𝑥=52\)