Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 6

BMOC

Borneo Math Online Contest merupakan lomba yang diperuntukkan semua grade yang diadakan pada saat pandemi covid-19. Soal-soal lomba ini diambil dari lomba matematika di berbagai negara di dunia. Soal-soal yang dipilih merupakan soal-soal standart yang biasa digunakan dilomba-lomba OSN dan lomba-lomba matematika yang ada di Indonesia. Untuk anak-anak yang ingin mengembangkan kemampuan problem solving, kreatifitas dan menambah wawasan tentang matematikan, soal-soal BMOC sangat pas untuk itu.

Berikut ini adalah soal dan pembahasan BMOC 6, semoga bermanfaat.


1. Diketahui \(𝑛\) adalah bilangan bulat positif. Jika bilangan kuadrat terkecil yang lebih dari \(𝑛\) adalah \(𝑛+37\) dan bilangan kuadrat terbesar yang kurang dari \(𝑛\) adalah \(π‘›βˆ’14\) maka tentukan nilai \(𝑛\).


Misalkan \(π‘›βˆ’14=π‘˜^2\) dan \(𝑛+37=(π‘˜+1)^2\), memenuhi \(π‘˜^2<𝑛<(π‘˜+1)^2\)
\((π‘˜+1)^2βˆ’π‘˜^2=(𝑛+37)βˆ’(π‘›βˆ’14)=51\)
\(βŸΉπ‘˜^2+2π‘˜+1βˆ’π‘˜^2=51\)
\(⟹2π‘˜+1=51\)
\(⟹2π‘˜=50\)
\(βŸΉπ‘˜=25\)
\(π‘›βˆ’14=π‘˜^2\)
\(βŸΉπ‘›=π‘˜^2+14=25^2+14=625+14=639\)
Jadi nilai \(𝑛\) yang memenuhi adalah \(639\).


2. Tentukan berapa banyak cara menutupi gambar di bawah ini dengan \(6\) kartu domino berukuran \(2 \times 1\) tanpa overlap?


– Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara

– Bisa dibalik sekali jadi ada 2 cara

– Bisa diputar sebanyak 4 kali, jadi banyak cara ada 4

Jadi banyak cara menyusun domino \(2 \times 1\) adalah \(2 + 2 + 4 = 8\) cara


3. Diketahui persegi \(ABCD\) dengan panjang sisi \(2\). Sebuah lingkaran berpusat di \(O\) menyinggung diagonal \(AC\) di titik \(A\) dan menyinggung diagonal \(BD\) di titik \(B\). Jika luas daerah overlap antara persegi \(ABCD\) dan Lingkaran berpusat di \(O\) adalah \(\frac{π‘Ž}{𝑏}\) maka tentukan \(π‘Ž + 𝑏\).


Karena \(A\) dan \(B\) merupakan titik singgung maka \(𝑂𝐡 βŠ₯ 𝐡𝐷\) dan \(𝑂𝐷 βŠ₯ 𝐴𝐢 \) sehingga menyebabkan \(βˆ π΄π‘‚π΅ = 90^0\) dan \(𝑂𝐴𝑀𝐡\) merupakan persegi.
Karena \(𝑂𝐴𝑀𝐡\) persegi maka panjang \(𝐡𝑀 = 𝑂𝐴\).
\(𝐡𝑀 =\frac{1}{2}𝐡𝐷 =\frac{1}{2}\sqrt{𝐴𝐷^2 + 𝐴𝐡^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 2^2} =\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
Karena \(βˆ π΄π‘‚π΅ = 90^0\) maka \(OAB\) membentuk \(\frac{1}{4}\) lingkaran dengan jari-jari \(OA\) dan \(OB\),
dimana \(𝑂𝐴 = 𝑂𝐡 = 𝐡𝑀\).
Luas daerah overlap/arsiran
\(=\) Luas \(\frac{1}{4}\) lingkaran – Luas \(Δ𝑂𝐴𝐡\)
\(=\frac{1}{4}πœ‹. 𝑂𝐴^2 βˆ’\frac{1}{2}.𝑂𝐴. 𝑂𝐡\)
\(=\frac{1}{4}πœ‹. \sqrt {2}^2βˆ’\frac{1}{2}
. \sqrt 2. \sqrt 2\)
\(=\frac{1}{4}πœ‹. 2 βˆ’\frac{1}{2}. 2 =\frac{1}{2}πœ‹ βˆ’ 1\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{22}{7}βˆ’ 1 =\frac{11}{7}βˆ’\frac{7}{7}=\frac{4}{7}=\frac{π‘Ž}{𝑏}\)
Jadi nilai dari \(π‘Ž + 𝑏 = 4 + 7 = 11\).


4. Berapa banyak bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga

\(\frac{9003750\times 7^{96}}{n}\)

juga merupakan bilangan bulat.


Agar hasil pembagiannya juga bilangan bulat, maka nilai \(n\) merupakan faktor positif dari
\(9003750\times 7^{97}\). Kita menggunakan faktorisasi prima
\(9003750\times 7^{97}=2\times 3\times 5^4\times 7^{100}\).
Jadi banyak nilai \(n\) yang memenuhi adalah \((1+1)(1+1)(4+1)(100+1)=2020\).


5. Tentukan nilai x yang memenuhi:

\(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{3\times 8}+\frac{1}{5\times {13}}+\frac{1}{8\times {21}}+\frac{1}{13\times {24}}+\frac{1}{21\times {55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)


\(\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{2\times 5}+\frac{1}{3\times 8}+\frac{1}{5\times {13}}+\frac{1}{8\times {21}}+\frac{1}{13\times {24}}+\frac{1}{21\times {55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-\frac{1}{5})+\frac{1}{5}(\frac{1}{3}-\frac{1}{8})+\frac{1}{8}(\frac{1}{5}-\frac{1}{13})+…+\frac{1}{34}(\frac{1}{21}-\frac{1}{55})+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{15}+\frac{1}{15}-\frac{1}{40}+\frac{1}{40}-\frac{1}{104}+…+\frac{1}{34\times{21}}-\frac{1}{34\times{55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{1}-\frac{1}{34\times{55}}+\frac{1}{34\times x}=1\)
\(⟹\frac{1}{34\times x}=\frac{1}{34\times {55}}\)
\(x=55\)


6. Tentukan jumlah semua faktor prima berbeda dari \(104060401\)


\(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\)
Misalkan \(x = 100\)
\(104060401=100000000+4000000+60000+400+1\)
\(=100^4+4.100^3+6.100^2+4.100+1\)
\(=π‘₯^4+4π‘₯^3+6π‘₯^2+4π‘₯+1\)
\(=(π‘₯+1)^4\)
Diperoleh \((π‘₯+1)^4=(100+1)^4=101^4\),
karena \(101\) adalah bilangan prima, maka jumlah semua faktor prima dari \(104060401\) adalah \(101\).


7. Aisyah mempunyai kombinasi angka untuk membuka kunci. Dia mengetahui bahwa kombinasi angka terdiri dari \(4\) angka dimana digit pertama adalah \(2\), digit keempat adalah \(8\) dan bilangan tersebut habis dibagi \(9\). Berapa banyak kemungkinan kombinasi angka yang dimiliki Aisyah.


Misalkan kombinasi bilangan itu adalah \(\overline{2ab8}\) karena habis dibagi \(9\) maka berlaku \(2+π‘Ž+𝑏+8=π‘˜.9\), untuk \(π‘˜\) bilangan bulat positif.
– Untuk \(π‘˜ =1\) tidak memenuhi.
– Untuk \(π‘˜ = 2\)
\(2+π‘Ž+𝑏+8=18\)
\(π‘Ž+𝑏=8\)
Pasangan \((π‘Ž,𝑏)\) yang memenuhi \(\{(0,8),(8,0),(1,7),(7,1),(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}\)
– Untuk \(π‘˜ = 3\)
\(2+π‘Ž+𝑏+8=27\)
\(π‘Ž+𝑏=17\)
Pasangan \((π‘Ž,𝑏)\) yang memenuhi \({(9,8),(8,9)}\)
– Untuk \(π‘˜>3\) tidak memenuhi karena batas maksimal \(π‘Ž+𝑏\) adalah \(18\).
Jadi banyak kombinasi nomor kunci adalah \(9 + 2 = 11\)


8. Diketahui segitiga siku-siku \(ABC\). Titik \(M\) dan \(N\) membagi dua sama panjang garis \(PQ\) dan \(AC\). Jika \(AP = 2, CQ =4\) maka tentukan kuadrat panjang \(MN\).


Misalkan:
titik \(𝐡(0,0),𝑃(0,𝑦)\), maka titik \(𝐴(0,𝑦+2)\)
titik \(𝐡(0,0),𝑄(π‘₯,0)\), maka titik \(𝐢(π‘₯+4,0)\)
β€’Β titik \(𝑀\) merupakan titik tengah garis \(𝑃𝑄\), karena \(𝑃(0,𝑦)\) dan \(𝑄(π‘₯,0)\) maka titik \(M(\frac{0+x}{2}, \frac{y+0}{2})=M(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})\)
β€’ titik \(𝑁 \) merupakan titik tengah garis \(𝐴𝐢\), karena \(𝐴(0,𝑦+2)\) dan \(𝐢(π‘₯+4,0)\) maka titik
\(N(\frac{0+x+4}{2}, \frac{y+2+0}{2})=N(\frac{x+4}{2}, \frac{y+2}{2})\)
Jarak \(M\) ke \(N\)
\(=\sqrt{(\frac{x+4}{2}-\frac{x}{2})^2+(\frac{y+2}{2}-\frac{y}{2})^2}\)
\(=\sqrt{(\frac{4}{2})^2+(\frac{2}{2})^2}\)
\(=\sqrt{2^2+ 1^1}\)
\(=\sqrt 5\)
jadi kuadrat dari panjang \(MN\) adalah \(5\)


9. Perhatikan gambar berikut!. Angka yang berada pada lingkaran di sudut-sudut segi enam jumlahnya sama dengan angka yang berada dalam segienam tersebut. Tentukan nilai \(π‘Ž+𝑏+𝑐\).


β€’Β  Dari segienam biru
\(π‘Žβˆ’1+5+π‘Ž+3+4=17⟹2π‘Ž+11=17⟹2π‘Ž=6βŸΉπ‘Ž=3\)
Diperoleh \(π‘Ž=3\)
β€’Β Dari segienam kuning
\(π‘Ž+5+𝑏+7βˆ’3+𝑏=10⟹3+2𝑏+9=10⟹2𝑏=βˆ’2βŸΉπ‘=βˆ’1\)
Diperoleh \(𝑏=βˆ’1\)
β€’Β Dari segienam unggu
\(𝑏+2+𝑐+π‘Ž+𝑐+7=21βŸΉβˆ’1+2+𝑐+3+𝑐+7=21⟹2𝑐=10βŸΉπ‘=5\)
Diperoleh \(𝑐=5\)
Jadi nilai dari \(π‘Ž+𝑏+𝑐\) adalah \(3 + (βˆ’1)+ 5=2+5=7\)


10. Diketahui

\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-\frac{1}{202}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-\frac{1}{202}+…\)

Jika terdapat \(10100\) suku mengikuti pola di atas, maka nilai \(A\) adalah …


Karena ada \(10100\), maka banyak angka \(\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{101}\) dan \(\frac{1}{202}\) masing-masing ada \(2020\), jadi \(A\) bisa disederhanakan menjadi:
\(A =(\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{101}-\frac{1}{202})\times 2020 \)
\(= \frac{2020}{2}+\frac{2020}{5}-\frac{2020}{10}-\frac{2020}{101}-\frac{2020}{202}\)
\(=1010+404-202-20-10\)
\(=1182\)


11. Tentukan besar sudut \(x\) pada gambar di bawah ini!


Karena \(Δ𝐴𝐡𝐸≅Δ𝐷𝐢𝐸 \)maka panjang \(𝐸𝐡=𝐸𝐢\).
Karena \(Δ𝐴𝐡𝐸\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(∠𝐴𝐸𝐡=45^0\), akibatnya \(∠𝐷𝐸𝐹=5^0\).
Karena \(Δ𝐷𝐢𝐸\) adalah segitiga siku-siku sama kaki maka \(∠𝐷𝐸𝐢=45^0\). Diketahui \(∠𝐷𝐸𝐹=5^0\) maka \(∠𝐹𝐸𝐢=βˆ π·πΈπΆβˆ’βˆ π·πΈπΉ=40^0\).
Karena \(𝐸𝐡=𝐸𝐢\) maka \(𝐸𝐡𝐢\) membentuk segitiga sama kaki sehingga berlaku \(∠𝐸𝐡𝐢=∠𝐸𝐢𝐡=(45+π‘₯)^0\)
Perhatikan \(Δ𝐡𝐢𝐸\).
\(∠𝐸𝐡𝐢+∠𝐸𝐢𝐡+∠𝐡𝐸𝐢= 180^0\)
\((45+π‘₯)^0+(45+π‘₯)^0+40^0=180^0\)
\(90^0+2π‘₯^0+40^0=180^0\)
\(130^0+2π‘₯^0=180^0\)
\(2π‘₯^0=50^0\)
\(π‘₯^0=25^0\)
Jadi besar sudut \(x\) adalah \(25^0\)


12. Diketahui

\(\overline{an}\times {\overline{a7}}+\overline{a6} + \overline{a5} = \overline {14(n-1)7}\)

Tentukan nilai \(π‘Ž+𝑛\).


\((\overline{a6}+\overline{a5})\) mod \(10 = 1\) dan
\(\overline {14(n-1)7}\) mod \(10\) maka \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\)
karena \(\overline{an}\times {\overline{a7}}\) mod \(10\) = \(6\) maka nilai \(𝑛\) yang mungkin adalah \(8\), sehingga diperoleh bentuk: \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}+\overline{a6} + \overline{a5} = 1477\)
Karena \(π‘Ž\) maksimum adalah \(9\), maka nilai \(\overline{a6} + \overline{a5} <200\) dan \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\)
Agar memenuhi \(\overline{a8}\times {\overline{a7}}>1277\), maka nilai \(π‘Ž\) yang mungkin adalah \(3\). Ganti \(π‘Ž =3\), kemudian kita cek kebenarannya
\(38\times 37+36+35=1477\)
\(1406+71=1477 \)(benar)
Jadi nilai dari \(π‘Ž+𝑛=3+8=11\).


13. Berapa banyak pasangan bilangan \((π‘Ž,𝑏)\) yang memenuhi jumlah kedua bilangan adalah \(528\) dan FPBnya adalah \(33\).


Misal \(π‘Ž = 33π‘₯\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli saling prima.
\(π‘Ž+𝑏=33π‘₯+33𝑦=528\)
\(=π‘₯+𝑦=16\)
Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\)
Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\) dan \((7,9)\) dan kebalikannya . Jadi banyaknya pasangan \((π‘Ž,𝑏)\) ada \(8\)


14. Sebuah pecahan dapat di hasilkan dari penjumlahan dua pecahan berbentuk \(\frac{1}{π‘Ž}+\frac{1}{𝑏}\) dimana \(π‘Žβ‰ Β±1\) dan \(a,b\) bilangan asli. Sebagai contoh:

\(\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\), \(\frac{5}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)

Tentukan banyaknya pasangan \((π‘Ž,𝑏)\) yang memenuhi \(\frac{1}{15}=\frac{1}{π‘Ž}+\frac{1}{𝑏}\) dimana \((π‘Ž,𝑏)\) dan \((𝑏,π‘Ž)\) dianggap sama.


Faktor dari \(15\) adalah \({1, 3, 5, 15}\) kemudian di pasang-pasangkan
β€’Β Untuk \(3\) dan \(5\)
\(\frac{1}{15}=\frac{3+5}{15\times (3+5)}=\frac{3}{15\times 8}+\frac{5}{15\times 8}=\frac{1}{40}+\frac{1}{24} , (π‘Ž,𝑏)=(40,24)\)

β€’Untuk \(3\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{3+15}{15\times (3+15)}=\frac{3}{15\times 18}+\frac{15}{15\times 18}=\frac{1}{90}+\frac{1}{18} , (π‘Ž,𝑏)=(90,18)\)

β€’Untuk \(5\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+15}{15\times (5+15)}=\frac{5}{15\times 20}+\frac{15}{15\times 20}=\frac{1}{60}+\frac{1}{20} , (π‘Ž,𝑏)=(60,20)\)

β€’Untuk \(1\) dan \(15\)\(\frac{1}{15}=\frac{1+15}{15\times (1+15)}=\frac{1}{15\times 16}+\frac{15}{15\times 16}=\frac{1}{240}+\frac{1}{16} , (π‘Ž,𝑏)=(240,16)\)

β€’Untuk \(5\) dan \(5\)\(\frac{1}{15}=\frac{5+5}{15\times (5+5)}=\frac{5}{15\times 10}+\frac{5}{15\times 10}=\frac{1}{30}+\frac{1}{30} , (π‘Ž,𝑏)=(30,30)\)

Jadi pasangan \((π‘Ž,𝑏)\) yang memenuhi adalah \(\{(40,24),(90,18),(60,20),(240,16),(30,30)\}\), banyaknya ada \(5\).


15. Tentukan nilai dari:

\(\frac{1}{3}+\frac{13}{15}+\frac{33}{35}+\frac{61}{63}+…+\frac{397}{399}\)


Banyak suku bisa dicari dengan melihat pola penyebutnya:
\(3, 15, 35, 63, …, 399 \)
\(1\times 3,3\times 5,5\times7,7\times 9,…,19\times 21\)
Perhatikan angka depannya membentuk pola bilangan ganjil, banyak bilangan ganjil dari \(1\) sampai dengan \(19\) ada \(10\). Jadi terdapat \(10\) suku pada penjumlahan ini.
Selanjutnya, kita cari nilai dari.
\(\frac{1}{3}+\frac{13}{15}+\frac{33}{35}+\frac{61}{63}+…+\frac{397}{399}\)
\(=1-\frac{2}{3}+1-\frac{2}{15}+1-\frac{2}{35}+1-\frac{2}{63}+…+1-\frac{2}{399}\)
\(=10-(\frac{2}{3}+\frac{2}{15}+\frac{2}{35}+\frac{2}{63}+…+\frac{2}{399})\)
\(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+…+\frac{1}{19}-\frac{1}{21})\)
\(=10-(\frac{1}{1}-\frac{1}{21})\)
\(=10-(\frac{20}{21})\)
\(=9\frac{1}{21}\)


16. Perhatikan gambar berikut ini!

Garis \(π‘Ž_1\) menghubungkan titik \((1,0)\) dan titik \((0,1)\), garis \(π‘Ž_2\) menghubungkan titik \((0,1)\) dan titik \((-1,0)\), demikian seterusnya. Jika pola di atas dilanjutkan maka garis \(π‘Ž_{2020}\) memotong sumbu \(x\) di titik \((x,0)\). Nilai \(x\) yang memenuhi adalah …


Kita perhatikan pola garis pada gambar di atas
Kuadran \(1\)
\(π‘Ž_1,π‘Ž_5,π‘Ž_9,…\)
Kuadran \(2\)
\(π‘Ž_2,π‘Ž_6,π‘Ž_10,…\)
Kuadran \(3\)
\(π‘Ž_3,π‘Ž_7,π‘Ž_{11},…\)
Kuadran \(4\)
\(π‘Ž_4,π‘Ž_8,π‘Ž_{12},…\)
Jika dilihat pola di atas garis \(π‘Ž_{2020}\) letaknya di kuadran \(4\) karena \(2020\) habis dibagi \(4\).
Selanjutnya kita lihat pola titik potong garis di sumbu \(x\).
Untuk garis \(π‘Ž_4\) memotong sumbus \(x\) di titik \((2,0), (2βˆ’1)4 = 4\)
Untuk garis \(π‘Ž_8\) memotong sumbus \(x\) di titik \((3,0), (3βˆ’1)4 = 8\)
Untuk garis \(π‘Ž_{12}\) memotong sumbus \(x\) di titik \((4,0), (4βˆ’1)4 = 12\)
…
Untuk garis \(π‘Ž_𝑛\) memotong sumbus \(x\) di titik \((x,0), (π‘₯βˆ’1)4 = 𝑛\)
Dengan demikian untuk \(π‘Ž_{2020}\) memotong sumbu \(x\) dititik \((x,0)\), berarti nilai \(x\) diperoleh dari \((π‘₯βˆ’1)4 = 2020⟹π‘₯βˆ’1=505⟹π‘₯=506\).


17. Perhatikan gambar berikut. \(𝐹𝐺𝐡𝐴\) dan \(𝐡𝐸𝐷𝐢\) adalah persegi dengan panjang sisi berturut-turut \(5\) dan \(4\). \(𝐴𝐡𝐢\) adalah segitiga siku-siku. Garis \(𝐢𝐡\) diperpanjang hingga memotong \(𝐺𝐸\) di titik \(𝐻\). Tentukan nilai dari \(10𝐡𝐻\)?


\(𝐴𝐢=\sqrt{𝐴𝐡^2βˆ’π΅πΆ^2}=\sqrt{5^2βˆ’4^2}=\sqrt 9=3\)
Tarik garis dari titik \(𝐸\) sejajar \(𝐡𝐺\) dan tarik garis dari titik \(𝐺 \) sejajar \(𝐡𝐸\), kedua garis berpotongan di titik \(I\).
Perhatikan bahwa \(Δ𝐴𝐡𝐢≅Δ𝐡𝐼𝐺\) karena memenuhi \(2\) sisi diketahui sama panjang yaitu \(𝐴𝐡=𝐡𝐺\) dan \(𝐡𝐢=𝐺𝐼\) dan juga \(∠𝐢𝐴𝐡=∠𝐺𝐡𝐼 \) (bisa dibuktikan sendiri). Dari sifat ini sudah cukup membuktikan kedua segitiga kongruen. Dari sini diperoleh panjang \(𝐡𝐼 = 𝐴𝐢 = 3\).
Karena \(𝐺𝐼𝐸𝐡\) membentuk jajargenjang, maka kedua titik potong diagonal membagi dua sisi sama panjang yaitu \(𝐡𝐻\) dan \(𝐻𝐼\).
Dengan demikian panjang \(=\frac{𝐡𝐼}{2}=\frac{3}{2}\) .
Nilai \(10𝐡𝐻=10\times \frac{3}{2}=15\)


18. Tentukan berapa banyak pasangan bilangan bulat positif dari \(1\) sampai dengan \(2020\) yang hasil kali kedua bilangan adalah kelipatan \(5\).


Himpunan bilangan kelipatan \(5\):\(\{5, 10, 15, 20, 25, …,2020\}\), banyaknya bilangan adalah \(404\).
Banyaknya bilangan yang bukan kelipatan \(5\) adalah \(2020 – 404 = 1616\)
Banyak cara agar hasil kali kedua bilangan kelipatan \(5\) adalah kita mengambil duaΒ bilangan kelipatan \(5\) atau kita mengambil satu kelipatan \(5\) dan satunya lagi bukan kelipatan \(5\).
Banyak cara \(= {404\choose 2}+{404\choose 1}Β·{1616\choose 1}\)
\(=\frac{404!}{402!Β·2!}+404\times1616\)
\(=\frac{404\times 403\times 402!}{402!Β·2!}+404\times{1616}\)
\(= 202\times 403 + 404\times 1616\)
\(= 734.270\)


19. Diketahui bilangan \(3\) digit \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\) tidak habis dibagi \(10\). Apabila \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\) dan \(\overline{π‘π‘π‘Ž}\) dijumlahkan maka hasilnya habis dibagi \(11\). Tentukan nilai terbesar dari \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\).


\(\overline{π‘Žπ‘π‘}+\overline{c𝑏a}=100π‘Ž+10𝑏+𝑐+100𝑐+10𝑏+π‘Ž\)
\(=101π‘Ž+20𝑏+101𝑐\)
\(=101(π‘Ž+𝑐)+20𝑏\)
\(=99(π‘Ž+𝑐)+2(π‘Ž+𝑐)+22π‘βˆ’2𝑏\)
\(=99(π‘Ž+𝑐)+22𝑏+2π‘Ž+2π‘βˆ’2𝑏\)
\(=99(π‘Ž+𝑐)+22𝑏+2(π‘Ž+π‘βˆ’π‘)\)
\(\overline{π‘Žπ‘π‘}+\overline{c𝑏a}\) habis dibagi \(11\), karena \(99\) dan \(22\) habis dibagi \(11\) maka \(π‘Ž+π‘βˆ’π‘\) harus habis dibagi \(11\).
Karena \(π‘Ž+π‘βˆ’π‘\) harus habis dibagi \(11\) maka nilai yang mungkin untuk \(π‘Ž+π‘βˆ’π‘\) adalah \(0\) atau \(11\).
β€’ Untuk \(π‘Ž+π‘βˆ’π‘=0βŸΉπ‘Ž+𝑐=𝑏\).
Karena nilai \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\) maksimum, kita pilih \(π‘Ž=9\) maka nilai \(𝑐\) dan \(𝑏\) yang memenuhi adalah \(0\) dan \(9\). Diperoleh nilai \(\overline{π‘Žπ‘π‘}=990\) (tidak memenuhi karena habis dibagi \(10\))
β€’ Untuk \(π‘Ž+π‘βˆ’π‘=11βŸΉπ‘Ž+𝑐=𝑏+11\).
Karena nilai \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\) maksimum, kita pilih \(π‘Ž=9\), untuk \(𝑏β‰₯8\) tidak memenuhi karana batas makisimal \(π‘Ž+𝑐=18\). Selanjutnya kita pilih \(𝑏\) maksimum yaitu \(7\) maka nilai \(𝑐\) adalah \(9\). Sehingga nilai \(\overline{π‘Žπ‘π‘}=979\)
Jadi nilai terbesar \(\overline{π‘Žπ‘π‘}\)Β yang memenuhi adalah \(979\).


20. Tentukan bilangan real x yang memenuhi:

\(\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x}=1\)


Pangkat tigakan kedua ruas (gunakan rumus : \((π‘Ž+𝑏)^3=π‘Ž^3+3π‘Ž^2𝑏+3π‘Žπ‘^2+𝑏^3 \))
\((\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1^3\)
\(⟹(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^3+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})^2(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^2+(\sqrt[3]{5-\sqrt x})^3=1\)
\(⟹5+\sqrt x+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{5-\sqrt x})+5-\sqrt x = 1\)
\(⟹10+3(\sqrt[3]{5+\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})+3(\sqrt[3]{5-\sqrt x})(\sqrt[3]{25-\sqrt x})=1\)
\(⟹10+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})(\sqrt[3]{5+\sqrt x}+\sqrt[3]{5-\sqrt x})=1\)
\(⟹9+3(\sqrt[3]{25-\sqrt x})·1=0\)
\(⟹3(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\)
\(⟹(3+\sqrt[3]{25-\sqrt x})=0\)
\(⟹\sqrt[3]{25-\sqrt x}=-3\)
\(⟹25-x=-27\)
\(⟹x=52\)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(π‘₯=52\)


 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *