Problems and Solutions Borneo Math Online Contest 7

Misalkan umur anak termudah adalah \(n\)

Diketahui \(a + b + c + d + e = 2020\)
Karena sisanya sama maka diperoleh persamaan
\(a – n = b – n – 1 = c – n – 2 = d – n – 3 = e – n – 4\)
\(a – n = c – n – 2 \Longrightarrow a = c – 2\)
\(b – n – 1 = c – n – 2 \Longrightarrow b = c – 1\)
\(d – n – 3 = c – n – 2 \Longrightarrow b = c + 1\)
\(e – n – 4 = c – n – 2 \Longrightarrow e = c + 2\)
Substitusi nilai \(a, b, d, e\) ke persamaan \(a + b + c + d + e = 2020\)
\(a + b + c + d + e =c – 2 + c – 1 + c + c + 1 + c + 2 = 2020\)
\(5c = 2020\)
\(c = 404\)

\(\frac{x}{3} + \frac{x}{15} +\frac{x}{35} +\frac{x}{63} +\frac{x}{99} +\frac{x}{143} = 12\)
\(x(\frac{1}{3} + \frac{1}{15} +\frac{1}{35} +\frac{1}{63} +\frac{1}{99} +\frac{1}{143}) = 12\)
\((\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\frac{1}{2}(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}))x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1} – \frac{1}{3} +\frac{1}{3} – \frac{1}{5} +\frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{7} – \frac{1}{9} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \frac{1}{11} – \frac{1}{13})x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1} – \frac{1}{13})x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{12}{13})x = 12 \Longrightarrow (\frac{12}{16})x = 12 \Longrightarrow x = 26 \)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaan di atas adalah \(26\)

Kita mencari hubungan \(b\) terhadap \(a\) .
\(b = 5·4 +10·6 + 15·8 + 20·10 + … + 200·82 \)
\(=(1·2)10 +(2·3)10 +(3·4)10 + … + (40·41)10 \)
\(=10( 1·2 +2·3 + 3·4 + 4·5 + … + 40·41) \)
\(= 10a \)
\(\frac {b}{a} = 10\)
Jadi diperoleh  nilai \(\frac {b}{a} = 10\)

\(n + m = 10a + b \)    persamaan (1)
\(n – m = 10b + a \)    persamaan (2)
Kedua persamaan tersebut dijumlahkan, sehingga diperoleh:
\(2n = 11(a + b) \)
Karena 11 dan 2 saling prima, maka nilai  yang mungkin adalah kelipatan 11.
\(n + m = 10a + b \)    persamaan (1)
\(n – m = 10b + a \)    persamaan (2)
Kedua persamaan tersebut dikurangkan, sehingga diperoleh:
\(2m = 9(a – b) \)
Karena 2 dan 9 saling prima, maka nilai  yang mungkin adalah kelipatan 9.
Untuk \(n = 11\), karena \(10 ≤ m < n \), maka tidak ada nilai \(m\) yang memenuhi
Untuk \(n = 22\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18\)
Untuk \(n = 33\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18\) dan \(27\)
Untuk \(n = 44\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18, 27\) dan \(36\)
Untuk \(n = 55\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18, 27\) dan \(36\)
Untuk \(n = 66\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18\) dan \(27\)
Untuk \(n = 77\), maka nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(18\)
Maka pasangan \((n, m)\) yang memenuhi adalah \((22, 18), (33, 18), (33, 27), (44, 18), (44, 27), (44, 36), (55, 18), (55,27), (55, 36), (66, 18)\) dan \((77, 18)\).
Jadi banyaknya pasangan \((n, m)\) adalah sebanyak \(12\) pasangan.

\(5n + 1 = 2^k, k ≤ 2020 \)
\(5n = 2^k – 1\), karena \(n\) bilangan bulat maka nilai \(k\) yang memenuhi \({0, 4, 8, 12, …, 2020}\). Jadi banyaknya nilai \(n\) adalah banyaknya nilai \(k\) yang memenuhi yaitu \(506\).
Selanjutnya untuk \(n\) negatif
\(5n + 1 = -2^k, k ≤ 2020 \)
\(5n = -(2^k + 1\), karena \(n\) bilangan bulat maka nilai \(k\) yang memenuhi \({2, 6, 10, …, 2018}\). Jadi banyaknya nilai \(n\) adalah banyaknya nilai \(k\) yang memenuhi yaitu \(505\).
Dengan demikian banyaknya nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(506 + 505 = 1011\)

\(\frac{96}{35} > \frac {p}{q} > \frac {97}{36}\)
\(3 – \frac{9}{35} > \frac {p}{q} > 3 – \frac {11}{36}\) (ketiga ruas dikurang 3)
\(-\frac{9}{35} > \frac {p}{q} – 3 > -\frac {11}{36}\) (ketiga ruas dikali -1)
\(\frac{9}{35} < 3 – \frac {p}{q} < \frac {11}{36}\)
\(\frac{9}{35} < \frac {3p-p}{q} < \frac {11}{36}\)
\(\frac{35}{9} > \frac {q}{3q-p} > \frac {36}{11}\)
\(4 – \frac{1}{9} > \frac {q}{3q-p} > 4 – \frac {8}{11}\) (ketiga ruas dikurang 4)
\(-\frac{1}{9} > \frac {q}{3q – p} – 4 > -\frac {8}{11}\) (ketiga ruas dikali -1)
\(\frac{1}{9} < 4 – \frac {q}{3q – p} < \frac {8}{11}\)
\(\frac{1}{9} < \frac {11q – 4p}{3q – p} = \frac {r}{s} < \frac {8}{11}\)
Karena \(r < s \), nilai minimum yang mungkin untuk \(r\) dan \(s\) adalah \(1\) dan \(2\), diperoleh persamaan \(11q – 4p = 1\) dan \(3q – p = 2\), dari kedua persamaan kita peroleh \(p = 19\) dan \(q = 7\).
Jadi nilai minimum untuk \(q\) adalah \(7\).

\(\sqrt{106 + \sqrt{2020}}= \sqrt{106 + 2\sqrt {505}} \)
\( =\sqrt{(101+5) + 2\sqrt {5\times101}}\)
\( =\sqrt{101} + \sqrt {5}\)
\(= \sqrt{a} + \sqrt {b}\)
Diperoleh nilai \(a\) dan \(b\) adalah \(101\) dan \(5\).
Jadi nilai \(a + b\) adalah \(101 + 5 = 106\)

Misalkan panjang \(BD = x{/latex] dan [latex]BF = y{/latex]. Karena [latex]ΔADE\) dan \(ΔEFC\) adalah segitiga siku-siku sama kaki, maka \(AD = BF = y\) dan \(BD = FC = x\).
Dengan menggunakan perbandingan sudut pada segitiga siku-siku sama kaki diperoleh \(AE = y\sqrt{2}\) dan \(EC = x\sqrt{2}\).
Selanjutnya kita gunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga yaitu \(\frac{L}{s}, S=\frac{1}{2}K\)
Untuk jari-jari lingkaran dalam segitiga \(ΔADE\)
\(r =\frac {L}{s}\Longrightarrow1 = \frac{\frac{1}{2}y^2}{\frac{1}{2}(y+y+y\sqrt{2})}\Longrightarrow1=\frac{y^{2}}{y+y+y\sqrt{2}}\Longrightarrow1=\frac{y}{2+\sqrt{2}}\Longrightarrow y=2 +\sqrt{2}\)
Untuk jari-jari lingkaran dalam segitiga \(ΔEFC\)
\(r =\frac {L}{s}\Longrightarrow2 = \frac{\frac{1}{2}x^2}{\frac{1}{2}(x+x+x\sqrt{2})}\Longrightarrow2=\frac{x^{2}}{x+x+x\sqrt{2}}\Longrightarrow2=\frac{x}{2+\sqrt{2}}\Longrightarrow x=4 +\sqrt{2}\)
Diperoleh \(x=4 +\sqrt{2}\) dan \(y=2 +\sqrt{2}\)
Luas \(BFED = xy = (4 + 2\sqrt{2})(2 + \sqrt{2})\)
\(= 8 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4\)
\(= 12 + 8\sqrt{2} = A\)
Jadi nilai dari \((𝐴−12)^2 = (12 + 8\sqrt{2} – 12)^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128\)

Yang perlu kita perhatikan adalah susunan persegi pada bagian ini. Misalkan nilai diantara \(29\) dan \(15\) adalah \( x\)

\(29 + x + 15 + x = 80 \)
\(2x + 44 = 80 \)
\(2x = 80 – 44 = 36 \)
\(x = 18 \)
Selanjutnya kita misalkan diantara \(43 \) dan \(15 + x\) adalah \(y\), kita peroleh :
\(33 + y + 43 + y = 138 \)
\(2y = 138 – 76 = 62 \)
\(y = 31 \)
Jadi nilai pada persegi puncak adalah \(144 + 138 = 282 \)

Karena \(7000\) tidak memenuhi maka digit ribuannya haruslah \(6\) atau dapat ditulis dalam bentuk \(\overline{6abc}\). Agar memenuhi bilangan “cakep” maka \(a + b + c = 6, a, b\) dan \(c\) bilangan tak negatif. Dengan menggunakan teorema star-bars, banyak pasangan \((a, b, c)\) yang memenuhi adalah \({n+k-1}\choose{n-1}\)=\({3+6-1}\choose{3-1}\)=\(8\choose2\)=\(\frac{8!}{6!·2!}\)=\(\frac{8·7}{2}=28\)
Jadi banyaknya bilangan “cakep” dari \(6000\) sampai dengan \(7000\) adalah \(28\).

Karena \(∠BHF=45°\) maka \(∠BHF=∠AHI=45°\) , (bertolak belakang)
Karena \(∠HAI=90°\) maka  \(∠AIH=45°\), diperoleh  \(ΔIGE\) adalah segitiga siku-siku sama kaki dengan panjang \(IG = EG = 5\).
Perhatikan bahwa ketika kita tarik dioagonal \(AC \)maka terbentuk jajargenjang dengan panjang \(IF = AC = 3 + 5 = 8\)
Jadi luas \(ABCD=\frac{{d_1}\times {d_2}}{2}=\frac{8\times8}{2}=\frac{64}{2}=32\)

Misalkan waktu yang diperlukan untuk berenang adalah \(B\)  , maka waktu yang diperlukan untuk berlari adalah \(\frac{B}{2}\) dan bersepada \(\frac{B}{3}\).
Karena jika dia berlatih hanya menggunakan sepeda lebih cepat \(10\) menit = \(\frac{1}{6}\) jam maka persamaannya dapat ditulis menjadi
\(B + \frac{B}{2} + \frac {B}{3} = 3(\frac{B}{3}) + \frac {1}{6}\) (kedua ruas dikalikan 6)
\(6B + 3B + 2B = 6B + 1 \)
\(5B = 1 \Longrightarrow B = \frac{1}{5}\)
Waktu yang diperlukan latihan \(B + \frac{B}{2} + \frac {B}{3} = \frac{1}{5} + \frac {1}{10}+ \frac {1}{15} = \frac {6 + 3 + 2}{30} = \frac {11}{30}\) jam = \(22\) menit
Jadi waktu yang diperlukan latihan hari ini adalah 22 menit.

\(9 × abcd = dcba\)
\(9 × (1000a + 100b + 10c + d) = 1000d + 100c + 10b + a\)
\(9000a + 900b + 90c + 9d = 1000d + 100c + 10b + a \)
\(8999a + 890b = 991d + 10c \)
Dari persamaan di atas nilai yang memenuhi \(a = 1, d = 9\), selanjutnya substitusi ke
\(9000a + 900b + 90c + 9d = 1000d + 100c + 10b + a \) diperoleh
\(9000 + 900b + 90c + 81 = 9000 + 100c + 10b + 1 \)
\(900b + 90c + 81 = 100c + 10b + 1 \)
\(890b + 80 = 10c \)
\(89b + 8 = c \)
Karena \(c\) bilangan satu digit maka nilai \(b\) yang memenuhi adalah \(0\) dan diperoleh \(c = 8\).
Jadi bilangan \(4\) digit \(abcd = 1089\), dan \( a + b + c + d = 18\)

Misalkan \(FPB (a, b) = k\), maka \(FPB(a^2, b^2) = k^2\)
Persamaan \(FPB(a^2, b^2) + 81 = 18. FPB (a, b)\) dapat kita ubah menjadi \(k^2 + 81 = 18k\)
\(k^2 – 18k + 81 = 0 \Longrightarrow (k – 9)^2 = 0 \)
Diperoleh \(k = 9\), maka nilai \(a\) dan \(b\) maksimum yang memenuhi \( 1 < a < b < 100 \) dan \(FPB (a, b) = 9\) adalah \(90\) dan \(99\). Jadi nilai maksimum \( a + b\) adalah \( 90 + 99 = 189 \)

• Tarik garis melalui \(O\) sejajar \(BC\) sehingga memotong garis \(AB\) dan \(AC\) masing-masing di titik \(J\) dan \(G\).
• Tarik garis melalui \(O\) sejajar \(AC\) sehingga memotong garis \(AB\) dan \(BC\) masing-masing di titik \(I\) dan \(L\).
• Tarik garis melalui \(O\) sejajar \(AB\) sehingga memotong garis \(AC\) dan \(BC\) masing-masing di titik \(H\) dan \(K\).
Dari proses di atas kita peroleh segitiga sama sisi baru yaitu \(ΔHOG, ΔLOK\), dan \(ΔIOJ\).
Misalkan panjang \(HG = 2a, KL = 2b\) dan \(IJ = 2c\). Karena \(OD, OF\) dan \(OE\) adalah garis tinggi pada segitiga sama sisi maka masing-masing membagi dua sama panjang garis \(HG, KL\) dan \(IJ\). Perhatikan bahwa \(GC = OL = 2a, AI = HO = 2b\) dan \(KB = OJ = 2c\).
Selanjutnya :
\(CD = 7 \Longrightarrow CD = CG + DG = 2b + a = 7 … (1)\)
\(AE = 8 \Longrightarrow AE = AI + IE = 2a + c = 8 … (2)\)
\(BF = 9 \Longrightarrow BF = BK + KF = 2c + b = 10 … (3)\)
Jumlahkan persamaan \((1), (2)\) dan \((3)\)
\(3a + 3b + 3c = 25\)
\(a + b + c = \frac {25}{3}\)
Panjang \(AB = AI + IJ + JB = 2a + 2b + 2c = 2(a + b + c) = 2(\frac{25}{3}) = \frac {50}{3} = \frac {x}{y}\)
Jadi nilai dari \(x + y\) adalah \(50 + 3 = 53\)

\(\frac {1}{ x + y + z } = 0, xyz\)
\(\frac {1}{ x + y + z } = \frac {xyz}{1000} \Longrightarrow 1000 = xyz (x + y + z)\)
Kita cari semua faktor \(1000\) tiga digit yang mewakili \(xyz\) yakni \( {500, 250, 200, 125} \).
Dari bilangan-bilangan tersebut yang memenuhi \(xyz (x + y + z)= 1000\) adalah \(125\).
Jadi nilai dari \(x + y + z = 8\)

Bilangan prima kurang dari \(30 : {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}\)
Kita pasangkan sehingga hasil kalinya kurang dari \(200\)
\(2 \times 3 \times 29 = 174\)
\(7 \times 23 = 161\)
\(5 \times 19 = 195\)
\(11 \times 17 = 187\)
Ditambah satu bilangan prima lagi yaitu \(13\).
Bilangan yang dipilih adalah \(13, 161, 174, 187, 195\) karena diantara bilangan ini pasti ada yang habis dibagi dengan bilangan prima kurang dari \(30\). Jadi minimal bilangan yang kita pilih adalah sebanyak \(5\) bilangan.

\(a^2 + b^2 + ab – b = 17\) (kedua ruas dikalikan 2)
\(2a^2 + 2b^2 + 2ab – 2b = 34\)
\(a^2 + b^2 + 2ab + a^2 + b^2 – 2b = 34\)
\((a + b)^2 + a^2 + b^2 – 2b = 34\)
\((a + b)^2 + a^2 + (b – 1)^2 – 1 = 34\)
\((a + b)^2 + a^2 + (b – 1)^2 = 35\)
Persamaan terakhir adalah penjumlahan \(3\) bilangan kuadrat.
Bilangan kuadrat yang memenuhi hanya \(1^2 + 3^2 + 5^2 = 35\), maka nilai yang memenuhi untuk \((a + b)^2, a^2\), dan \((b – 1)^2\) adalah \(1, 9\) dan \(25\) dan juga permutasinya.
♦ \(a^2 = 1\) dan \((b – 1)^2 = 9\) maka \((a + b)^2 = 25\)
Untuk \(a = 1\) dan \(b = 4\), nilai \(a + b = 5\) (memenuhi)
Untuk \(a = 1\) dan \(b = -2\), nilai \(a + b = -1\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -1\) dan \(b = 4\), nilai \(a + b = 3\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -1\) dan \(b = -2\), nilai \(a + b = -3\) (tidak memenuhi)
♦ \(a^2 = 1\) dan \((b – 1)^2 = 25\) maka \((a + b)^2 = 9\)
Untuk \(a = 1\) dan \(b = 6\), nilai \(a + b = 7\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = 1\) dan \(b = -4\), nilai \(a + b = -3\) (memenuhi)
Untuk \(a = -1\) dan \(b =64\), nilai \(a + b = 5\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -1\) dan \(b = -4\), nilai \(a + b = -5\) (tidak memenuhi)
♦ \(a^2 = 9\) dan \((b – 1)^2 = 25\) maka \((a + b)^2 = 1\)
Untuk \(a = 3\) dan \(b = 6\), nilai \(a + b = 9\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = 3\) dan \(b = -4\), nilai \(a + b = -1\) (memenuhi)
Untuk \(a = -3\) dan \(b = 6\), nilai \(a + b = 3\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -3\) dan \(b = -4\), nilai \(a + b = -7\) (tidak memenuhi)
♦ \(a^2 = 9\) dan \((b – 1)^2 = 1\) maka \((a + b)^2 = 25\)
Untuk \(a = 3\) dan \(b = 2\), nilai \(a + b = 5\) (memenuhi)
Untuk \(a = 3\) dan \(b = 0\), nilai \(a + b = 3\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -3\) dan \(b = 2\), nilai \(a + b = -1\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -3\) dan \(b = 0\), nilai \(a + b = -3\) (tidak memenuhi)
♦ \(a^2 = 25\) dan \((b – 1)^2 = 1\) maka \((a + b)^2 = 9\)
Untuk \(a = 5\) dan \(b = 2\), nilai \(a + b = 7\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = 5\) dan \(b = 0\), nilai \(a + b = 5\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -5\) dan \(b = 2\), nilai \(a + b = -3\) (memenuhi)
Untuk \(a = -5\) dan \(b = 0\), nilai \(a + b = -5\) (tidak memenuhi)
♦ \(a^2 = 25\) dan \((b – 1)^2 = 9\) maka \((a + b)^2 = 1\)
Untuk \(a = 5\) dan \(b = 4\), nilai \(a + b = 9\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = 5\) dan \(b = -2\), nilai \(a + b = 3\) (tidak memenuhi)
Untuk \(a = -5\) dan \(b = 4\), nilai \(a + b = -1\) (memenuhi)
Untuk \(a = -5\) dan \(b = -2\), nilai \(a + b = -7\) (tidak memenuhi)
Jadi pasangan \((a, b)\) yang memenuhi \({(1, 4), (1, -3), (3, -1), (3, 3), (-5, -3), (-5, -1)}\) ada \(6\).

Kita menggunakan rumus \(x^2 – y^2 = (x + y)(x – y)\)
\(\frac {1 + \sqrt{a}} {1 – a} – \frac {a} {1 – \sqrt{a}} = 2020 \)
\(\Longrightarrow \frac {1 + \sqrt{a}} {1 – (\sqrt {a})^2} – \frac {a} {1 – \sqrt{a}} = 2020 \)
\(\Longrightarrow \frac {1 + \sqrt{a}}{(1 + \sqrt{a})(1 – \sqrt{a})} – \frac {a} {1 – \sqrt{a}} = 2020 \)
\(\Longrightarrow \frac {1}{(1 – \sqrt{a})} – \frac {a} {1 – \sqrt{a}} = 2020 \)
\(\Longrightarrow \frac {1 – 1}{1 – \sqrt{a}} = 2020\)
\(\Longrightarrow \frac {(1 + \sqrt{a})(1 – \sqrt{a})}{1 – \sqrt {a}} = 2020 \)
\(\Longrightarrow 1 + \sqrt {a} = 2020\)
\(\Longrightarrow \sqrt {a} = 2020 – 1 \Longrightarrow \sqrt {a} = 2019 \Longrightarrow a = 2019^2 \Longrightarrow a^{2020} = 2019^{4040}\)
Selanjutnya kita cari angka satuan
\(a^{2020} = 2019^{4040} \;mod \;10\)
\(= 9^{4040} \;mod \;10\)
\(= 9^{2(2020)} \;mod \;10\)
\(= 81^{2020} \;mod \;10=1\)
Jadi angka satuan dari \(a^{2020}\) adalah \(1\)

Perhatikan petunjuk pada gambar di atas. Salah satu tripel Pythagoras adalah \(3 : 4 : 5\). Dari sini kita peroleh panjang \( AC = 4a\) sehingga panjang \( CD = a\). Dari pemisalan sudut di atas terlihat bahwa \( ΔABC ≈ ΔCED\) kedua segitiga mempunyai sudut sama besar maka berlaku perbandingan

\(\frac {CE}{CB} = \frac {CD}{AB} \Longrightarrow CE = \frac {a}{3a} \times 5a = \frac {5}{3}a\)

\(\frac {Luas\; ABCD}{Luas\; BCE} = \frac {5a \times 3a}{\frac{1}{2} \times 5a \times \frac{5}{3}a} = \frac {3}{\frac{5}{6}} = \frac {18}{5} = \frac {x}{y} \)

Karena perbandingan \(x : y = 18 : 5\) maka nilai \(x + y = 23\)