Soal dan Pembahasan Latihan Kompetisi Matematika Bidang Statistika

Statistika adalah ilmu yang mempelajari semua hal tentang data, mulai pengumpulan, penyajian, analisis, sampai terbentuk suatu kesimpulan. Statistika merupakan ilmu yang harus dikuasai karena everything need statistics.

Contohnya, menghitung rata-rata penjualan, menentukan banyaknya produk yang sudah terjual, menghitung tingkat kepuasan pelanggan (customer), menghitung tingkat penularan Covid-19 di suatu lokasi, menentukan laju inflasi, dan masih banyak lainnya.

Salah satu bagian dari statistika yaitu Rataan hitung atau rataan Aritmetika. Rataan hitung merupakan topik dalam bidang statistika yang sering diujikan dalam kompetisi matematika tingkat nasional maupun tingkat international. Rataan hitung meliputi rataan(mean), kuartil, modus, median, serta jangkauan (hamparan).

Berikut ini kumpulan soal dan solusi yang berkaitan dengan bidang statistika, semoga bermanfaat.

1.Rataan hitung dari lima datum: \(x, x+2, x+4, x+6,\) dan \(x+8\) adalah \(11\). Rataan hitung dari tiga datum berindeks ganjil adalah …

A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
E. 15

\(\frac{x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)}{5}=11\)
\(⇒x+(x+2)+(x+4)+(x+6)+(x+8)=55\)
\(⇒5x+20=55\)
\(⇒5x=35\)
\(⇒x=\frac{35}{5}=7\)

lima datumnya adalah \(7, 9, 11, 13, 15\)
Datum berindeks ganjil adalah \(7, 11, 15\)

Rata-rata datum berindeks ganjil adalah \(\frac{7+11+15}{3}=\frac{33}{3}=11\)

2. Diketahui mean dari empat buah datum adalah 20. Apabila konstanta c dijumlahkan pada masing-masing datum diperoleh mean 12. Nilai c adalah …

A. -8
B. -6
C. -4
D. -2
E. 2

Misalkan keempat datum adalah \(𝑝, 𝑞, 𝑟\) dan \(𝑠\)

\(\frac{𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠}{4}= 20 ⇒ 𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 = 80\)
Selanjutnya
\(\frac{(𝑝 + 𝑐) + (𝑞 + 𝑐) + (𝑟 + 𝑐) + (𝑠 + 𝑐)}{4}= 12\)
\(⇒𝑝 + 𝑞 + 𝑟 + 𝑠 + 4𝑐 = 48\)
\(⇒80 + 4𝑐 = 48\)
\(⇒4𝑐 = 48 − 80\)
\(⇒4𝑐 = −32\)
\(⇒𝑐 = −8\)
Jadi nilai \(c\) yang memenuhi adalah \(−8\)

3.Untuk dapat lolos seleksi kompetisi matematika di suatu sekolah “PRO maksima”, sesorang harus mengikuti 10 kali tes dengan nilai rata-rata 82. Adelinan telah mengikuti 9 kali tes dengan rata-rata 80. Agar Adelina lolos seleksi pada kompetisi matematika itu, maka ia harus mendapat nilai pada tes terakhir adalah …

A. 60
B. 70
C. 80
D. 90
E. 100

Misalkan nilai tes akhir Adelinan adalah \(a\), dengan menggunakan rumus rata-rata diperoleh

\(𝑥̅ =\frac{9(80) + 1(𝑎)}{10}= 82\)
\(⇒ 720 + 𝑎 = 820\)
\(⇒ 𝑎 = 820 − 720 = 100\)

Jadi nilai Akhir yang diperoleh Adelina adalah \(100\)

4. Dua jenis kopi dicampur, kopi Medan yang harganya Rp12.000/ons dan kopi Lampung yang harganya Rp9.000/ons. Untuk mendapatkan kopi dengan harga Rp10.000/ons, maka kedua kopi itu dicampur dengan rasio campuran kopi Medan terhadap kopi Lampung adalah …

A. 3 : 1
B. 2 : 1
C. 1 : 2
D. 1 : 1
E. 1 : 3

Misalkan
Banyak kopi Medan : \(M\)
Banyak kopi Lampung : \(L\)
Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{12000𝑀 + 9000𝐿}{𝑀 + 𝐿}= 10000\)
\(12000𝑀 + 9000𝐿 = 10000𝑀 + 10000𝐿\)
\(12000𝑀 − 10000𝑀 = 10000𝐿 − 9000𝐿\)
\(2000𝑀 = 1000𝐿\)

Dari persamaan akhir diperoleh perbandingan \(𝑀: 𝐿 = 1: 2\)

5. Rataan nilai ulangan matematika dari 24 siswa adalah 5,25. Bila ditambah dengan nilai seorang siswa yang mengikuti ulangan susulan, maka nilai rataannya naik 0,05. Nilai ulangan susulan siswa adalah …

A. 5,50
B. 6,00
C. 6,25
D. 6,50
E. 7,00

Misalkan nilai seseorang yang ikut susulan adalah \(𝑥\).Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{24(5,25) + 𝑥}{25}= 5,25 + 0,05\)
\(⇒\frac{24(5,25) + 𝑥}{25}= 5,30\)
\(⇒ 126 + 𝑥 = 132,5\)
\(⇒ 𝑥 = 132,5 − 126 = 6,5\)

Jadi nilai anak yang ikut susulan adalah \(6,5\)

6. Nilai ujian kemampuan matematika dari peserta seleksi pegawai di suatu lembaga pemerintahan diperlihatkan pada tabel berikut

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Nilai Ujian}& 60& 70& 80& 90& 100\\
\hline
\text{Frekuensi}& 40& 20& 30& 20& k\\
\hline
\end{array}\)

Bila nilai rata-rata ujian di lembaga pemerintahan adalah \(76\), maka nilai \((𝑘 − 5)^2\) adalah …

A. 81
B. 100
C. 144
D. 225
E. 400

\(𝑥̅ =\frac{60(40) + 70(20) + 80(30) + 90(20) + 100(𝑘)}{40 + 20 + 30 + 20 + 𝑘}= 76\)
\(⇒\frac{2400 + 1400 + 2400 + 1800 + 100𝑘}{110 + 𝑘}= 76\)
\(⇒\frac{8000 + 100𝑘}{110 + 𝑘}= 76\)
\(⇒8000 + 100𝑘 = 8360 + 76𝑘\)
\(⇒100𝑘 − 76𝑘 = 360\)
\(⇒24𝑘 = 360\)
\(𝑘 = 15\)

Jadi nilai dari \((𝑘 − 5)^2 = (15 − 5)^2 = (10)^2 = 100\)

7. Dalam suatu kelas terdapat 22 siswa, nilai rataan matematikanya 5 dan jangkauannya 4. Bila seseorang siswa yang paling rendah nilainya dan seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak diikutsertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 4,9. Nilai siswa yang paling rendah adalah …

A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1

Misalkan Nilai terendah adalah \(A\), nilai tertinggi adalah \(C\) dan nilai rata-rata jika \(A\) dan \(C\)
tidak disertakan adalah \(B = 4,9\)

\(𝑥̅ =\frac{𝐴 + 20𝐵 + 𝐶}{22}= 5\)
\(𝐴 + 𝐶 + 20(4,9) = 5(22)\)
\(𝐴 + 𝐶 + 98 = 110\)
\(𝐴 + 𝐶 = 110 − 98 = 12\)

Karena \(𝐶 − 𝐴 = 4\) dan \(𝐶 + 𝐴 = 12\), maka jika keduanya dikurangkan diperoleh \(2𝐴 = 8 ⇒𝐴 = 4\). Jadi nilai terendahnya adalah \(4\)

8. Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima suku pertamanya adalah 85. Rataan dari 3 suku berindeks prima adalah …

A. \(15\frac{1}{3}\)
B. \(17\frac{2}{3}\)
C. \(18\frac{1}{3}\)
D. \(18\frac{2}{3}\)
E. \(19\frac{2}{3}\)

Jumlah tiga suku pertama adalah \(27\), dapat ditulis dalam persamaan

\(𝑈_1 + 𝑈_2 + 𝑈_3 = 27\)
\(𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) = 27\)
\(3𝑎 + 3𝑏 = 27\)
\(𝑎 + 𝑏 = 9 … (1)\)

Jumlah lima suku pertamanya adalah \(85\), dapat ditulis dalam persamaan

\(𝑈_1 + 𝑈_2 + 𝑈_3 + 𝑈_4 + 𝑈_5 = 85\)
\(𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 3𝑏) + (𝑎 + 4𝑏) = 85\)
\(5𝑎 + 10𝑏 = 85\)
\(𝑎 + 2𝑏 = 17 … (2)\)

Eliminasi persamaan (2) dan (1)
\(𝑎 + 2𝑏 = 17\)
\(𝑎 + 𝑏 = 9\)
_______________ –
\(𝑏 = 8\)
Karena \(𝑎 + 𝑏 = 9\) dan \(𝑏 = 8\) maka \(𝑎 = 1\)
Jumlah tiga suku yang berindeks prima adalah
\(𝑈_2 + 𝑈_3 + 𝑈_5 = (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 4𝑏) = 3𝑎 + 7𝑏 = 3(1) + 7(8) = 3 + 56 = 59\)
Jadi rata rata jumlah tiga suku yang berindeks prima adalah
\(\frac{59}{3}= 19\frac{2}{3}\)

9. Nilai rata-rata ulangan matematikan dari 40 siswa SMP adalah 70. Jika seseorang siswa yang nilainya 100 dan 3 orang siswa yang nilainya masing-masing 30 tidak dimasukkan dalam perhitungan, maka nilai rata-rata ulangan matematikanya naik …

A. 73,5
B. 72,5
C. 5,5
D. 3,5
E. 2,5

\(𝑥̅_{baru}=\frac{40(70)−100−3(30)}{40−4}\)\(=\frac{2800−100−90}{36}\)\(=\frac{2610}{36}= 72,5\)
Diperoleh rata-rata baru \(72,5\). Jadi rata-ratanya naik sebesar \(72,5 – 70 = 2,5\)

10. Nilai rataan ulangan matematika suatu kelas adalah 6,9. Bila dua siswa baru yang nilainya 4 dan 6 digabungkan maka nilai rata-rata turun 0,1. Banyak siswa mula-mula adalah …

A. 36
B. 38
C. 40
D. 42
E. 44

Misalkan banyak siswa mula-mula adalah \(𝑁\)
\(𝑥̅ =\frac{6,9𝑁 + 4 + 6}{𝑁 + 2}= 6,9 − 0,1 = 6,8\)
\(⇒ 6,9𝑁 + 10 = 6,8𝑁 + 13,6\)
\(⇒ 6,9𝑁 − 6,8𝑁 = 13,6 − 10\)
\(⇒ 0,1𝑁 = 3,6\)
\(⇒ 𝑁 =\frac{3,6}{0,1}= 36\)
Jadi banyak siswa mula-mula adalah \(36\)

11. Bila rataan hitung suku kedua dan suku keenam suatu deret geometri adalah 51 dan suku ketiganya adalah 12, maka 3.072 merupakan suku ke …

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13

\(\frac{𝑈_2 + 𝑈_6}{2}= 51 ⇒ 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟^5 = 102 … (1)\)
Nilai suku ketiga
\(𝑈_3 = 𝑎𝑟^2 = 12 ⇒ 𝑎 =\frac{12}{𝑟^2} … (2)\)
Subtitusi persamaan \((2)\) ke persamaan \((1)\)
\(𝑎𝑟 + 𝑎𝑟^5 = 102\)
\(⇒ (\frac{12}{𝑟^2}) 𝑟 + (\frac{12}{𝑟^2})𝑟^5 = 102\)
\(⇒\frac{12}{𝑟}+ 12𝑟^3 = 102\)
\(⇒\frac{1}{𝑟}+ 𝑟^3 =\frac{17}{2}= 8 +\frac{1}{2}\)
Diperoleh \(𝑟 = 2\), subtitusi \(r\) ke persamaan \(2\) diperoleh
\(𝑎 =\frac{12}{2^2} = 3\)
\(𝑈_𝑛 = 𝑎𝑟^𝑛−1 = 3072 ⇒ 3(2)^𝑛−1 = 3072 ⇒ (2)^𝑛−1 = 210\)
Jadi nilai \(𝑛 − 1 = 10, ⇒ 𝑛 = 11\)

12. Nilai rataan ulangan matematika dari dua kelas adalah 5,38. Bila nilai rata-rata kelas pertama yang terdiri dari 38 siswa adalah 5,8 dan kelas kedua terdiri dari 42 siswa, maka nilai rataan kelas kedua akan turun dibandingkan nilai rataan kelas pertama sebesar …

A. 0,20
B. 0,30
C. 0,5
D. 0,7
E. 0,8

13. Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima suku pertamanya adalah 85. Rataan dari 3 suku berindeks prima adalah …

A. \(15\frac{1}{3}\)
B. \(17\frac{2}{3}\)
C. \(18\frac{1}{3}\)
D. \(18\frac{2}{3}\)
E. \(19\frac{2}{3}\)

Jumlah tiga suku pertama adalah \(27\), dapat ditulis dalam persamaan
\(𝑈_1 + 𝑈_2 + 𝑈_3 = 27\)
\(𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) = 27\)
\(3𝑎 + 3𝑏 = 27\)
\(𝑎 + 𝑏 = 9 … (1)\)
Jumlah lima suku pertamanya adalah \(85\), dapat ditulis dalam persamaan
\(𝑈_1 + 𝑈_2 + 𝑈_3 + 𝑈_4 + 𝑈_5 = 85\)
\(𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 3𝑏) + (𝑎 + 4𝑏) = 85\)
\(5𝑎 + 10𝑏 = 85\)
\(𝑎 + 2𝑏 = 17 … (2)\)
Eliminasi persamaan \((2)\) dan \((1)\)
\(𝑎 + 2𝑏 = 17\)
\(𝑎 + 𝑏 = 9\)
________________ –
\(𝑏 = 8\)
Karena \(𝑎 + 𝑏 = 9\) dan \(𝑏 = 8\) maka \(𝑎 = 1\)
Jumlah tiga suku yang berindeks prima adalah
\(𝑈_2 + 𝑈_3 + 𝑈_5 = (𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 4𝑏) = 3𝑎 + 7𝑏 = 3(1) + 7(8) = 3 + 56 = 59\)
Jadi rata rata jumlah tiga suku yang berindeks prima adalah
\(\frac{59}{3}= 19\frac{2}{3}\)

14. Suku ketiga suatu deret aritmetika adalah 11 dan suku terakhirnya adalah 23. Bila suku tengahnya 14, maka rataan semua suku deret itu adalah …

A. 19
B. 17
C. 15
D. 13
E. 11

Dengan melakukan percobaan diperoleh barisan aritmetika yang sesuai dengan kondisi di atas adalah

\(5 , 8 ,11, 14, 17, 20, 23\)

Rataan semua suku deret itu adalah
\(\frac{5+8+11+14+17+20+23}{7}=\frac{28+28+28+14}{7}= 14\)

15. Suku keempat suatu deret aritmatika adalah 9 dan jumlah suku keenam dan kedelapan adalah 300. Rataan 20 suku pertama deret itu adalah …

A. 22
B. 33
C. 44
D. 50
E. 55

\(𝑈_4 = 𝑎 + 3𝑏 = 9 … (1)\)
Jumlah suku keenam dan kedelapan
\(𝑈_6 + 𝑈_8 = (𝑎 + 5𝑏) + (𝑎 + 7𝑏) = 2𝑎 + 12𝑏 = 300\)
\(⇒ 𝑎 + 6𝑏 = 150 … (2)\)
Eliminasi persamaan \((1)\) dan \((2)\)
\(𝑎 + 6𝑏 = 150\)
\(𝑎 + 3𝑏 = 9\)
_______________ –
\(3𝑏 = 141\)
\(𝑏 =\frac{141}{3}= 47\)
Subtitusi nilai \(b\) ke persamaan \((1)\)
\(𝑎 + 3𝑏 = 9 ⇒ 𝑎 + 3 (\frac{141}{3}) = 9 ⇒ 𝑎 = 9 − 141 = −132\)
Rataan \(20\) suku pertama
\(\frac{𝑈_1 + 𝑈_2 + ⋯ + 𝑈_20}{20}\)
\(=\frac{𝑎 + (𝑎 + 𝑏) + ⋯ + (𝑎 + 19𝑏)}{20}\)
\(=\frac{\frac{(𝑎 + 𝑎 + 19𝑏)20}{2}}{20}\)
\(=\frac{2𝑎 + 19𝑏}{2}\)
\(=\frac{2(−132) + 19(47)}{2}\)
\(=\frac{−264 + 893}{2}\)
\(=\frac{629}{2}= 314,5\)

16. Suatu data mempunyai rata-rata 35 dan jangkauan (rentang) 7. Bila setiap nilai dalam data dikalikan n kemudian dikurangi m, didapat data baru dengan rata-rata 42 dan jangkauan 9. Nilai 7𝑛 − 𝑚 = …

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7

Misalkan datanya adalah
\(\frac{𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_𝑝}{𝑝}= 35\)
\(⇒ 𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_𝑝 = 35𝑝\)
setiap nilai dalam data dikalikan \(n\) kemudian dikurangi \(m\)
\(\frac{(𝑛𝑥_1 − 𝑚) + (𝑛𝑥_2 − 𝑚) + (𝑛𝑥_3 − 𝑚) + ⋯ + (𝑛𝑥_𝑝 − 𝑚)}{𝑝}= 42\)
\((𝑛𝑥_1 − 𝑚) + (𝑛𝑥_2 − 𝑚) + (𝑛𝑥_3 − 𝑚) + ⋯ + (𝑛𝑥_𝑝 − 𝑚) = 42𝑝\)
\(𝑛(𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_𝑝) − 𝑚𝑝 = 42𝑝\)
\(𝑛(35𝑝) − 𝑚𝑝 = 42𝑝\)
\(35𝑛 − 𝑚 = 42 … (1)\)
Untuk jangkauan awal : \(𝑥_𝑝 − 𝑥_1 = 7\)
Untuk jangkauan perubahan data :
\((𝑛𝑥_𝑝 − 𝑚) − (𝑛𝑥_1 − 𝑚) = 9\)
\(𝑛(𝑥_𝑝 − 𝑥_1) = 9\)
\(7𝑛 = 9\)
\(𝑛 =\frac{9}{7}\)
Subtitusi nilai \(𝑛 =\frac{9}{7}\)
ke persamaan \((1)\)
\(35 (\frac{9}{7}) − 𝑚 = 42\)
\(45 − 𝑚 = 42\)
\(𝑚 = 3\)
Jadi nilai dari \(7𝑛 − 𝑚 = 7(\frac{9}{7}) − 3 = 9 − 3 = 6\)

Related Posts

Asian Science And Math Olympiad (ASMO) 2018 For Grade 8

Kumpulan Soal Lomba Matematika OMVN SMP

GRADE 9-FINAL FMO 2021

Leave a Reply Cancel reply