Soal dan Pembahasan Lomba Astramatika SMP Tahun 2022

ASTRAMATIK

Asah Terampil Matematika (ASTRAMATIKA) merupakan ajang kompetisi matematika untuk siswa sekolah se-Kalimantan Timur, Kalimantan Utara dan Kalimantan Selatan. Pada tahun ini, ASTRAMATIKA XXX akan dilaksanakan secaraΒ offline di 7 region (Samarinda, Balikpapan, Berau, Bontang, Paser, Tarakan, dan Banjarbaru) (Sc : https://www.himaptika-unmul.com/)

Berikut ini soal dan pembahasan lomba Astramatika tingkat SMP tahun 2022, semoga bermanfaat


1. Jika nilai \(𝑃 > 1\) dan nilai dari \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{P}}}=\)\(𝑃^{\frac{π‘₯}{𝑦}}\) maka nilai dari \(π‘₯ + 𝑦\) adalah …


Perkalian bentuk pangkat : \(a^ma^n = a^{m+n}\)
Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)

\(\sqrt[3]{𝑃} = 𝑃^{\frac{1}{3}}\)
\(𝑃\sqrt[3]{𝑃} = 𝑃. 𝑃^{\frac{1}{3}} = 𝑃^{\frac{4}{3}}\)
\(\sqrt[3]{𝑃\sqrt[3]{𝑃}}= (𝑃^{\frac{4}{3}})^\frac{1}{3}=P^{\frac{13}{9}}\)
\(P\sqrt[3]{P\sqrt[3]{P}}=P.P^{\frac{4}{9}}=P^{\frac{13}{27}}\)

Diperoleh nilai \(π‘₯ = 13\) dan \(𝑦 = 27\) jadi nilai dari \(π‘₯ + 𝑦 = 13 + 27 = 40\)


2. Jika \(𝑝 =\frac{2^{2021}βˆ’2^{2020}}{2^{2019}βˆ’2^{2018}}\) dan \(𝑝^π‘₯ = 16\), maka \(𝑝 βˆ’ π‘₯ = β‹―\)


\(\begin{align}
𝑝 &=\frac{2^{2021}βˆ’2^{2020}}{2^{2019}βˆ’2^{2018}}\\
&=\frac{2^{2018}(2^3 βˆ’ 2^2)}{2^{2018}(2 βˆ’ 1)}\\
&=\frac{8 βˆ’ 4}{1}\\
&= 4\\
\end{align}\)

Selanjutnya
\(𝑝π‘₯ = 16 β‡’ 4π‘₯ = 16 β‡’ π‘₯ = 2\)
Jadi nilai dari \(𝑝 βˆ’ π‘₯ = 2\).


3. Diketahui system persamaan sebagai berikut:

\(𝑦 = βˆ’π‘šπ‘₯ + 3\)
\(𝑦 = (π‘₯ + 2)^2\)

Jika system persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian maka jumlah semua nilai \(m\)
yang memenuhi adalah …


Syarat persamaan kuadrat \(𝒂𝒙^𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎\) memiliki tepat satu solusi adalah \(𝑫 = 𝒃^𝟐 βˆ’πŸ’π’‚π’„ = 𝟎\)
Dari persamaan di atas, samakan nilai \(y\), diperoleh

\((π‘₯ + 2)^2 = βˆ’π‘šπ‘₯ + 3\)
\(β‡’π‘₯^2 + 4π‘₯ + 4 = βˆ’π‘šπ‘₯ + 3\)
\(β‡’π‘₯^2 + 4π‘₯ + 4 + π‘šπ‘₯ βˆ’ 3 = 0\)
\(β‡’π‘₯^2 + (4 + π‘š)π‘₯ + 1 = 0\)

Diperoleh nilai \(π‘Ž = 1, 𝑏 = 4 + π‘š,\) dan \(𝑐 = 1\), selanjutnya karena persamaan kuadrat tepat
memiliki satu solusi maka

\(𝐷 = 𝑏^2 βˆ’ 4π‘Žπ‘ = 0\)
\((4 + π‘š)^2 βˆ’ 4(1)(1) = 0\)
\((4 + π‘š)^2 = 4\)
\(4 + π‘š = Β±2\)

Diperoleh nilai m yang memenuhi adalah \(π‘š = βˆ’2\) atau \(π‘š = βˆ’6\). Jadi jumlah semua nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(βˆ’2 + (βˆ’6) = βˆ’8\)


4. Proses pengetikan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *