Asah Terampil Matematika (ASTRAMATIKA) merupakan ajang kompetisi matematika untuk siswa sekolah se-Kalimantan Timur, Kalimantan Utara dan Kalimantan Selatan. Pada tahun ini, ASTRAMATIKA XXX akan dilaksanakan secaraΒ offline di 7 region (Samarinda, Balikpapan, Berau, Bontang, Paser, Tarakan, dan Banjarbaru) (Sc : https://www.himaptika-unmul.com/)
Berikut ini soal dan pembahasan lomba Astramatika tingkat SMP tahun 2022, semoga bermanfaat
1. Jika nilai \(π > 1\) dan nilai dari \(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{P}}}=\)\(π^{\frac{π₯}{π¦}}\) maka nilai dari \(π₯ + π¦\) adalah β¦
Perkalian bentuk pangkat : \(a^ma^n = a^{m+n}\)
Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\)
\(\sqrt[3]{π} = π^{\frac{1}{3}}\)
\(π\sqrt[3]{π} = π. π^{\frac{1}{3}} = π^{\frac{4}{3}}\)
\(\sqrt[3]{π\sqrt[3]{π}}= (π^{\frac{4}{3}})^\frac{1}{3}=P^{\frac{13}{9}}\)
\(P\sqrt[3]{P\sqrt[3]{P}}=P.P^{\frac{4}{9}}=P^{\frac{13}{27}}\)
Diperoleh nilai \(π₯ = 13\) dan \(π¦ = 27\) jadi nilai dari \(π₯ + π¦ = 13 + 27 = 40\)
2. Jika \(π =\frac{2^{2021}β2^{2020}}{2^{2019}β2^{2018}}\) dan \(π^π₯ = 16\), maka \(π β π₯ = β―\)
\(\begin{align}
π &=\frac{2^{2021}β2^{2020}}{2^{2019}β2^{2018}}\\
&=\frac{2^{2018}(2^3 β 2^2)}{2^{2018}(2 β 1)}\\
&=\frac{8 β 4}{1}\\
&= 4\\
\end{align}\)
Selanjutnya
\(ππ₯ = 16 β 4π₯ = 16 β π₯ = 2\)
Jadi nilai dari \(π β π₯ = 2\).
3. Diketahui system persamaan sebagai berikut:
\(π¦ = βππ₯ + 3\)
\(π¦ = (π₯ + 2)^2\)
Jika system persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian maka jumlah semua nilai \(m\)
yang memenuhi adalah β¦
Syarat persamaan kuadrat \(ππ^π + ππ + π = π\) memiliki tepat satu solusi adalah \(π« = π^π βπππ = π\)
Dari persamaan di atas, samakan nilai \(y\), diperoleh
\((π₯ + 2)^2 = βππ₯ + 3\)
\(βπ₯^2 + 4π₯ + 4 = βππ₯ + 3\)
\(βπ₯^2 + 4π₯ + 4 + ππ₯ β 3 = 0\)
\(βπ₯^2 + (4 + π)π₯ + 1 = 0\)
Diperoleh nilai \(π = 1, π = 4 + π,\) dan \(π = 1\), selanjutnya karena persamaan kuadrat tepat
memiliki satu solusi maka
\(π· = π^2 β 4ππ = 0\)
\((4 + π)^2 β 4(1)(1) = 0\)
\((4 + π)^2 = 4\)
\(4 + π = Β±2\)
Diperoleh nilai m yang memenuhi adalah \(π = β2\) atau \(π = β6\). Jadi jumlah semua nilai \(m\) yang memenuhi adalah \(β2 + (β6) = β8\)
4. Proses pengetikan