Soal dan Solusi Lomba PHI tingkat SMP

Berikut ini kumpulan soal dan solusi lomba PHI dari tahun ke tahun

1. Ibu membeli tomat sebanyak 25 buah. Berat masing-masing tomat adalah 1 ons dengan kadar air 80%. Karna ibu tidak mempunyai mesin pendingin, akibatnya kadar air pada tomat itu menjadi turun 5% setiap harinya. Jika ibu akan menggunakan tomat tomat itu 5 hari kemudian, maka berapakah berat keseluruhan tomat pada hari ke−5 tersebut?

Kadar air
Hari ke-1 = \(25 × 1 ons × 80% = 2000\) gram
Hari ke-2 = \(2000 × 95% = 1900\) gram
Hari ke-3 = \(1900 × 95% = 1805\) gram
Hari ke-4 = \(1805 × 95% = 1714,75\) gram
Hari ke-5 = \(1714,75 × 95% = 1629\) gram
Jadi berat keseluruhan tomat pada hari ke−5 adalah \(1629\) gram atau \(16,29\) ons

2. Jika dua lingkaran besar mempunyai jari-jari yang sama yaitu 4 𝑐𝑚 dengan 𝜋 = 3,14 , maka luas daerah yang di arsir adalah …

misalkan jari-jari lingkaran kecil adalah \(r\)

Menggunakan rumus Pythagoras
\(4^2 = (4 + 𝑟)^2 − (4 − 𝑟)^2\)
\(16 = 8(2𝑟)\)
\(16 = 16𝑟\)
\(𝑟 = 1\)
Luas arsiran \(= [𝐴𝐵𝐶𝐷] −\frac{1}{2}[𝑙𝑢𝑎𝑠\; ⨀\; 𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟] − [𝑙𝑢𝑎𝑠\; ⨀\; 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙]\)
\(= 4 × 8 −\frac{1}{2}𝜋(4)^2 − 𝜋(1)^2\)
\(= (32 − 9𝜋)\)
\(=(32 – 9(3,14)\)
\(=(32 – 28,26)\)
\(=3,74\) cm²

3. Jika bilangan lima angka \(12𝑎7𝑏\) habis dibagi \(99\), maka tentukan nilai \(𝑎 + 𝑏\)!

syarat habis di bagi \(9\), jumlah digitnya kelipatan \(9\)
\(1+2+𝑎+7+𝑏 = 10 + 𝑎 + 𝑏\) , nilai \(𝑎 + 𝑏\) yang memenuhi adalah \(8\) atau \(17\)
Syarat habis di bagi \(11\),
\((1 + 𝑎 + 𝑏) − (2 + 7) = 0\) atau \(-11\) atau \(11\)
untuk \(𝑎 + 𝑏 = 8 ⟹ (1 + 𝑎 + 𝑏) − (2 + 7) = 9 − 9 = 0\) memenuhi.
untuk \(𝑎 + 𝑏 = 17 ⟹ (1 + 𝑎 + 𝑏) − (2 + 7) = 18 − 9 = 9\) tidak memenuhi
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑏\) yang memenuhi adalah \(8\)

4. Berapakah sisa pembagian \(3^{49}\) dibagi \(14\)?

\(\begin{align}
3^{49}\; mod\; 14 &= (3^3)^{16}. 3\; mod\; 14\\
&= (27)^{16}. 3\; mod\; 14\\
&= (−1)^{16}. 3\; mod\; 14\\
&= 1.3\; mod\; 14\\
&= 3
\end{align}\)

5. Jika diketahui bangun seperti gambar di bawah ini, maka tentukan luas daerah di dalam segitiga dan di luar setengah lingkaran, dengan ketentuan segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi berukuran 12 𝑐𝑚!

dengan menggunakan rumus pythagoras
\(𝐶𝐸 = \sqrt{12^2 − 6^2} = \sqrt{6^2(2^2 − 1^2)} = 6\sqrt 3\)

\(𝐷𝐸^2 = 𝐷𝐸^2\)
\(𝐴𝐸^2 − 𝐴𝐷^2 = 𝐶𝐸^2 − 𝐶𝐷^2\)
\(6^2 − 𝑎^2 = (6\sqrt 3)^2 − (12 − 𝑎)^2\)
\(36 − 𝑎^2 = 108 − (144 − 24𝑎 + 𝑎^2)\)
\(36 − 𝑎^2 = 108 − 144 + 24𝑎 − 𝑎^2\)
\(24𝑎 = 36 + 144 − 108\)
\(24𝑎 = 72\)
\(𝑎 = 3\)
\(𝐷𝐸^2 = 𝑟^2 = 6^2 − 3^2 = 36 − 9 = 27\)

luas daerah di dalam segitiga dan di luar setengah lingkaran adalah
\([𝐴𝐵𝐶] −\frac{1}{2}[𝑙𝑢𝑎𝑠 O]\)
\(=\frac{1}{2}(12)(6\sqrt 3) −\frac{1}{2}𝜋(27)\)
\(= 36\sqrt 3 −\frac{27}{2}𝜋\) cm²

6. Jika diketahui panjang suatu kabel 7546 𝑐𝑚, kemudian digulung-gulung sehingga menghasilkan lingkaran dengan luas 7546 𝑐𝑚² maka tentukan banyak gulungan kabel tersebut!

\(𝐿uas =\frac{22}{7}𝑟^2 = 7546\)
\(⇒𝑟^2 = 2401\)
\(⇒𝑟 = 49\)
Banyak gulungan \(=\frac{7546}{2𝜋𝑟}=\frac{7546}{2(\frac{22}{7})49}= ⌊\frac{7546}{308}⌋ = ⌊24,5⌋ = 24\) gulungan

7. Ucok ingin makan es krim. Terdapat 12 pilihan rasa eskrim. Ucok menginginkan es krim yang merupakan campuran dua rasa berbeda. Namun, Ucok tidak mau es krim rasa coklat ataupun vanilla. Banyaknya kombinasi rasa eksrim yang dapat memuaskan Ucok adalah..

Karena coklat dan vanilla tidak dimasukkan dalam pilihan maka tinggal mengambil dua rasa dari 10 rasa. Banyak cara adalah \({10\choose 2}= 45\) cara

8. Huruf-huruf P, H, I dan angka-angka 2, 0, 1, 9 digunakan untuk menyusun sandi yang panjangnya 6 digit yang terdiri dari angka dan huruf. Jika huruf dan angka boleh berulang, tetapi tidak ada dua huruf yang bersebelahan, maka banyak sandi yang dapat dibuat adalah…

Misalkan A posisi angka dan __ posisi huruf

1 huruf 5 angka
__A__A__A__A__A__ banyak cara \(4^5 × 6 = 1024 × 6 = 6144\) cara
2 huruf 4 angka
__A__A__A__A__, banyak cara \(4^4 × {5\choose 2}= 256 × 10 = 2560\) cara
3 huruf 3 angka
__A__A__A__, banyak cara \(4^3 × {4\choose 3} = 64 × 4 = 256\)
4 huruf, 5 huruf tidak memenuhi karena ada 2 huruf yang saling berseblahan

Jadi banyak cara seluruhnya adalah \(6144 + 2560 + 256 = 8960\) cara

9. Diketahui lingkaran dengan pusat 𝑂. 𝑂𝐹 tegak lurus 𝐷𝐶 pada titik 𝐹 dan tegak lurus 𝐴𝐵 pada titik 𝐸. jika 𝐴𝐵 = 8 cm, 𝐷𝐶 = 6 cm dan 𝐸𝐹 = 1 cm, tentukan jari-jari pada lingkaran!

Misalkan \(𝑂𝐸 = 𝑥, OB\) dan \(OC\) merupakan jari-jari dimisalkan dengan \(𝑟\)

Dengan menggunakan rumus pythagoras

\(𝑂𝐵^2 = 𝑂𝐶^2\)
\(𝑂𝐸^2 + 𝐸𝐵^2 = 𝑂𝐹^2 + 𝐶𝐹^2\)
\(𝑥^2 + 4^2 = (𝑥 + 1)^2 + 3^2\)
\(𝑥^2 + 16 = 𝑥^2 + 2𝑥 + 1 + 9\)
\(2𝑥 = 6\)
\(𝑥 = 3\)
Jadi jari-jarinya adalah \(𝑟 = \sqrt{𝑥^2 + 4^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt {25} = 5\) cm

10. Tentukan semua bilangan bulat \((𝑥, 𝑦)\) yang memenuhi persamaan

\(16𝑥 + 𝑦 + 8\sqrt{𝑥𝑦} − 68\sqrt{𝑥} − 17\sqrt{𝑦} + 52 = 0\)

Misalkan \(\sqrt {𝑥} = 𝑎 ⟹ 𝑥 ⟹ 𝑎^2\) dan \(\sqrt{𝑦} = 𝑏 ⟹ 𝑦 ⟹ 𝑏^2\) , maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi
\(16𝑎^2 + 𝑏^2 + 8𝑎𝑏 − 68𝑎 − 17𝑏 + 52 = 0\)
\((4𝑎 + 𝑏)^2 − 17(4𝑎 + 𝑏) + 52 = 0\)
\((4𝑎 + 𝑏 − 4)(4𝑎 + 𝑏 − 13) = 0\)
\(4𝑎 + 𝑏 = 4\) atau \(4𝑎 + 𝑏 = 13\)

\(4𝑎 + 𝑏 = 4\), pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((0,4)\) dan \((1,0)\)
\(4𝑎 + 𝑏 = 13\), pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((0,13), (1,9, (2, 5), (3,1)\)
Jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) sama dengan banyaknya pasangan \((a,b)\) yaitu \(6\) pasangan

11. ABC adalah seperempat potongan pizza dari lingkaran dengan titik pusat di A dan jari-jari potongan pizza tersebut terletak di sekeliling piring dengan A, B dan C menyentuh garis keliling dari piring, seperti pada gambar. Berapakah perbandingan luas piring dengan potongan pizza tersebut?

Karena ABC adalah seperempat lingkaran maka sudut A adalah siku-siku.
Karena sudut A adalah siku-siku maka BC adalah diameter
Dengan menggunakan rumus Pythagoras
\(𝐵𝐶 = \sqrt{𝐴𝐵^2 + 𝐴𝐶^2} = 31\sqrt{2}\)
Jari-jari piring adalah \(\frac{31\sqrt 2}{2}\)
Perbandingan luas piring dan potongan pizza adalah
\(𝜋(\frac{31\sqrt 2}{2})^2 : \frac{𝜋(31)^2}{4}= 2: 1\)

12. Pada kubus \(𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐸𝐹𝐺𝐻\) dengan panjang rusuk \(2𝑝\) satuan, terdapat bola di luar dan di dalam kubus. Jika bola di luar kubus dinyatakan \(𝐴_1\) dengan ketentuan titik-titik sudut kubus menyentuh permukaan bola \(𝐴_1\). Dan bola di dalam kubus dinyatakan dengan \(𝐴_2\) dengan ketentuan permukaan bola menyinggung semua sisi kubus. Maka perbandingan luas permukaan bola \(𝐴_1\) dan \(𝐴_2\) adalah….

Jari-jari bola keci dalam kubus adalah \(𝑟 = \frac{2𝑝}{2}= 𝑝\)
Jari-jari yang besar diperoleh dari diagonal ruang kubus dibagi 2
Diagonal ruang kubus \(=\sqrt{(2𝑝)^2 + (2𝑝)^2 + (2𝑝)^2} =\sqrt{4𝑝^2 + 4𝑝^2 + 4𝑝^2} = \sqrt{12𝑝^2} = 2𝑝\sqrt 3\)
Jari-jari bola besar adalah \(𝑅 = \frac{2𝑝\sqrt{3}}{2}= 𝑝\sqrt{3}\)
Perbandingan luas permukaan bola kecil dan besar adalah
\(4𝜋𝑟^2 : 4𝜋𝑅^2\)
\(𝑟^2 : 𝑅^2 = 𝑝^2 : (𝑝\sqrt{3})^2= 1: 3\)

Related Posts

Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 2

Problems and Solutions SEAMO PAPER E 2020

Contoh Soal Lomba KST Kelas 9 Tingkat SMP/MTs

Leave a Reply Cancel reply