Soal Dan Solusi Road To ASMOOPS 2018 Matematika SMP

Berikut ini soal dan solusi lomba ASMOOPS SMP 2018

---

1. Diketahui \(p\) dan \(q\) adalah bilangan prima.
Berapakah banyaknya pasangan bilangan \((p,q)\) yang berbeda, sedemikian hingga \(p\) membagi \((q^𝟐−q)\) dan \(q\) membagi \((p^𝟐+p)\)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. Tak hingga banyaknya

---

Solution

---

2. Diketahui bahwa \(SU× RU = EEE\). Huruf yang berbeda melambangkan angka yang berbeda. Berapakah \(SURE\)?
A. 3279
B. 2937
C. 9327
D. 2739
E. Tidak ada solusi

---

Solution

---

3. Diketahui bahwa \(2018!=2^m×q\), dengan \(q\) adalah bilangan asli ganjil. Maka nilai \(m\) adalah
A. 2011
B. 2012
C. 2013
D. 2014
E. 2018

---

Solution

---

4. Diketahui bahwa \(𝒎\) dan \(𝒏\) adalah bilangan bulat positif. Berapa banyak pasangan bilangan \((𝒎,𝒏)\) yang memenuhi:

\(\frac{𝟏}{𝒎^𝟐}+\frac{𝟏}{𝒎𝒏}+\frac{𝟏}{𝒏^𝟐}=𝟏\)

A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. Tidak ada

---

Solution

---

5. Diketahui bahwa \(m\) dan \(n\) adalah bilangan bulat positif dan \(m+n+mn=76\). Berapakah nilai \(m+n\)?
A. 12
B. 14
C. 16
D. 18
E. 20

---

Solution

---

6. Diketahui segitiga \(PQR\) dengan alas \(PQ\). Misalkan \(ω_1\) adalah lingkaran luar segitiga \(PQR\), dengan pusat \(O_1\). Misalkan \(ω_2\) adalah lingkaran dalam segitiga \(PQR\), dengan pusat \(O_2\). Dari titik \(P\), dilukis garis melalui titik \(O_2\), memotong \(ω_1\) di \(S\). Titik \(R\) dan \(S\) berada pada sisi yang sama dari segmen \(PQ\).
Manakah pernyataan yang benar?
A. \(RS=QS=SO_2\)
B. \(RS=QS=SO_1\)
C. \(PO_2=RO_2=SO_2\)
D. \(SO_1=RO_1=SO_2\)
E. \(RS=RO_2=QS\)

---

Solution

---

7. Misalkan \(x,y,z\) adalah tiga bilangan bulat yang berbeda yang diambil dari himpuan \(\{1,2,3,…,9\}\).
Nilai terbesar dari \(\frac{x+y+z}{xyz}\) adalah:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

---

Solution

---

8. Diketahui bidang empat beraturan \(PQRS\) (limas segitiga tiga dengan semua sisinya berbentuk segitiga sama sisi identik), dengan panjang rusuk 2 cm. Diketahui titik \(K\) adalah titik tengah rusuk \(PQ\) dan titik \(M\) adalah titik tengah rusuk \(RS\). Berapa panjang \(KM\)?
A. \(\sqrt 2\)
B. \(2\sqrt 2\)
C. \(2\sqrt 2\)
D. \(\sqrt 6\)
E. \(2\sqrt 6\)

---

Solution

---

9. Jika \(x\) adalah sebuah bilangan yang terdiri dari \(27\) angka \(1\), berapakah sisanya jika \(x\) dibagi \(27\)?
A. 26
B. 22
C. 18
D. 4
E. 0

---

Solution

---

10. Diketahui segitiga \(KMN\), dengan \(KM=KN\). Titik \(P\) terletak pada \(KM\), titik \(Q\) pada \(KN\), titik \(R\) pada perpanjangan \(MN\) sedemikian hingga \(PQ=QR\). Berapakah nilai dari \(PMQN\)?
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
E. 2

---

Solution

---

11. Ada 10 orang. Setiap orang berteman dengan setidaknya 7 orang yang ada di grup ini. Berapa banyak teman bersama paling sedikit yang dimiliki setiap 2 orang yang ada di grup ini?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7

---

Solution

---

12. Diketahui \(x\) dan \(y\) adalah dua bilangan bulat positif berurutan dan \(z=xy\).
Jika \(p=x^2+y^2+z^2\), maka \(\sqrt p\) adalah … .
A. Selalu merupakan bilangan genap.
B. Selalu merupakan bilangan ganjil.
C. Selalu merupakan bilangan kelipatan tiga.
D. Selalu merupakan bilangan prima.
E. Selalu merupakan bilangan kelipatan lima.

---

 

Solution

---

13. Diketahui bahwa 𝒍,𝒎,𝒏 adalah tiga buah garis sejajar dengan urutan seperti itu (garis 𝒎 terletak di antara garis 𝒍 dan 𝒏). Jarak antara 𝒍 dan 𝒎 adalah 5 cm dan jarak antara 𝒎 dan 𝒏 adalah 2 cm. Dilukis segitiga sama sisi 𝑷𝑸𝑹 sedemikian hingga titik 𝑷 terletak pada garis 𝒍, titik 𝑸 terletak pada garis 𝒎 dan titik 𝑹 terletak pada garis 𝒏.
Berapakah luas segitiga 𝑷𝑸𝑹?
A. \(13\sqrt 6\)
B. \(10\sqrt 3\)
C. \(13\sqrt 3\)
D. \(15\sqrt 3\)
E. \(17\sqrt 3\)

---

Solution

---

14. Septet adalah himpunan yang terdiri dari 7 benda. Jorji mengalikan semua bilangan pada septet \((𝒂_𝟏,𝒂_𝟐,𝒂_𝟑,𝒂_𝟒,𝒂_𝟓,𝒂_𝟔,𝒂_𝟕)\), yang terdiri dari 7 bilangan bulat positif berurutan sehingga menghasilkan bilangan yang mempunyai tepat 2 angka nol di belakangnya (angka puluhan dan angka satuannya). \((𝒙=𝒂_𝟏×𝒂_𝟐×𝒂_𝟑×𝒂_𝟒×𝒂_𝟓×𝒂_𝟔×𝒂_𝟕)\), angka puluhan dan angka satuannya adalah nol, angka ratusannya tidak boleh nol, sedang angka-angka yang lain mungkin saja ada nol nya lagi.
Berapa banyak septet berbeda yang dapat dibentuk Jorji jika ia hanya boleh menggunakan bilangan-bilangan yang kurang dari 50.
A. 10
B. 15
C. 19
D. 20
E. Pilihan di atas tidak ada yang tepat.

---

Solution

---

15. Fourier, Riemann, Erdos, dan Hawking berkompetisi catur. Setiap orang bermain dengan setiap orang lainnya masing-masing tepat satu kali. Pemain yang menang mendapatkan nilai 1, yang kalah mendapatkan nilai 0 dan jika remis/seri masing-masing pemain mendapatkan nilai 𝟏𝟐.
Fourier tak terkalahkan dapat mendapatkan nilai 2. Rieman menderita satu kali kekalahan, dan total nilainya adalah 112. Erdos mendapatkan hasil yang sama persis dengan Riemann. Sementara Hawking menjadi juru kunci dengan nilai 1 dan ia tidak pernah seri.
Manakah di antara pernyataan berikut yang benar?
A. Dalam pertandingan melawan Fourier, Riemann lebih sukses daripada Erdos.
B. Erdos tak terkalahkan kecuali ketika melawan Riemann.
C. Dalam pertandingan melawan Hawking, Erdos lebih sukses dibandingkan Riemann.
D. Fourier menang melawan Riemann atau Erdos.
E. Erdos menang melawan Hawking dan seri melawan Riemann.

---

Solution

---

16. Diketahui segiempat tali busur 𝑷𝑸𝑹𝑺 dengan 𝑷𝑸𝑺 adalah segitiga sama sisi, maka…
A. \(\overline{𝑃𝑅}=\overline{𝑄𝑅}+\overline{𝑆𝑅}\)
B. \(\overline{𝑃𝑅}>\overline{𝑄𝑅}+\overline{𝑆𝑅}\)
C. \(\overline{𝑃𝑅}<\overline{𝑄𝑅}+\overline{𝑆𝑅}\)
D. Hubungan \(\overline{𝑃𝑅}\) dan \(\overline{𝑄𝑅}+\overline{𝑆𝑅}\) tergantung pada lokasi titik \(𝑅\)
E. Semua pernyataan di atas salah

---

Solution

---

17. Diketahui bahwa \(p,q,r\) adalah bilangan-bilangan bulat positif, dan:
• \(p=q+r+2,\; q=\frac{5(r+1)}{3}\)
• \(0<q<25\), dan
• \(0<p<30\)
Berapakah nilai \(p\)?
A. 25
B. 26
C. 27
D. 28
E. 29

---

Solution

---

18. Jika 𝑷 adalah keliling lingkaran dengan diameter 𝒅, dan nilai pi menyatakan perbandingan keliling dan diameter lingkaran tersebut, \(π=\frac{p}{d}\), manakah pernyataan yang benar?
A. \(π<\frac{22}{7}<3,14\)
B. \(\frac{22}{7}<π<3,14\)
C. \(3,14<π<\frac{22}{7}\)
D. \(3,14<\frac{22}{7}<π\)
E. \(π<3,14<\frac{22}{7}\)

---

Solution

---

19. Pak Didi memperlihatkan sebuah gambar segiempat.
• Apri: “Ini adalah sebuah persegi.”
• Gres: “Ini adalah sebuah persegi panjang.”
• Della: “Ini adalah sebuah belah ketupat.”
• Nita: “Ini adalah sebuah trapesium.”
• Amelia: “Ini adalah layang-layang.”
Jika hanya ada satu pernyataan yang salah, siapakah yang salah?
A. Apri
B. Gres
C. Della
D. Nita
E. Amelia

---

Solution

---

20. Bunga Nyimas membentuk sebuah himpunan yang anggota-anggotanya diambil dari {𝟏,𝟐,…,𝟏𝟎𝟎}, sedemikian hingga tidak ada satupun anggotanya yang besarnya tiga kali anggota yang lain.
Berapa paling banyak anggota himpunan yang dibentuk Bunga Nyimas?
A. 67
B. 68
C. 69
D. 70
E. 71

---

Solution

---

21. Diketahui bahwa \(a_1=2, a_2=3, a_n=(a_{n-1} × a_{n+1})−1\) untuk \(n>2\), \((a_3,\) dan seterusnya).
Berapa banyak jumlah 1120 bilangan pertama dari barisan ini?
A. 2010
B. 2012
C. 2014
D. 2016
E. 2018

---

Solution

---

22. Bilangan 16 dan 81 adalah contoh bilangan kuadrat sempurna.
Berapa banyak bilangan kuadrat sempurna yang kurang dari 2018.
A. 44
B. 45
C. 46
D. 47
E. 48

---

Solution

---

23. Wewey mendaftarkan semua bilangan 3 angka: \(\overline{pqr}\) yang memenuhi sifat bahwa jumlah ketiga angka penyusunnya sama dengan bilangan yang dibentuk oleh dua angka pertama penyusunnya \((p+q+r=\overline {pq})\).
Berapa banyak bilangan berbeda dalam daftar Wewey?
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
E. 15

---

Solution

---

24. Zohri mempunyai 4 buku yang disusun di rak bukunya. Ia ingin mengatur ulang susunan bukunya sedemikian hingga tidak ada bukunya yang menempati posisi semula.
Berapa banyak cara yang Zohri dapat menyusun ulang bukunya itu?
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
E. 12

---

Solution

---

25. Seekor belalang bergerak sepanjang garis bilangan bulat. Ia dapat melompat ke kanan atau ke kiri. Panjang lompatan 6 atau 8 satuan.
Jika mula-mula ia berada di titik 0 (nol), di antara pilihan berikut, di titik manakah yang ia tidak mungkin mendarat?
A. 20
B. 24
C. 2016
D. 2017
E. 2018

---

Baca juga

• Soal Lomba Matematika SMP PEMNAS UB
• KUMPULAN SOAL LOMBA MATEMATIKA LMNas SMP