Soal dan Solusi UNP Mathematics Challenge SMP 2017

Banyak kartu seluruhnya adalah \(52 × 2 = 104\) kartu
Banyak kartu merah selain nomor \(13\) adalah \(12 × 2 = 24\) kartu
Banyak kartu bernomor \(13\) adalah \(2 × 4 = 8\) kartu
Jadi peluang terambilnya warna merah atau nomor \(13\) adalah \(\frac{24+8}{104}=\frac{32}{104}=\frac{4}{13}\)

Dari persamaan ini
\(\frac{2017}{𝑝}+\frac{2017}{𝑞}− 2017 = 0\), kita peroleh \(𝑝 = 2\) dan \(𝑞 = 2\)

subtitusi nilai \(p\) dan \(q\) ke persamaan

\(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{𝑝}+\frac{1}{𝑝𝑞}+\frac{1}{𝑝𝑞^2} +\frac{1}{𝑝𝑞^3} +\frac{1}{𝑝𝑞^4} + ⋯}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\frac{1}{16} +\frac{1}{32} + ⋯}}}\)

dengan menggunakan rumus deret geometri tak hingga, diperoleh

\(=\sqrt{\sqrt{\sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{1}}}=1\)

\(𝑥 + 𝑦 = 30\)
Dengan menggunakan rumus Pythagoras pada \(Δ𝐴𝐸𝐷\) dan \(Δ𝐶𝐹𝐵\)
\(⇒𝐷𝐸^2 = 𝐶𝐹^2\)
\(⇒24^2 − 𝑥^2 = 18^2 − 𝑦^2\)
\(⇒𝑥^2 − 𝑦^2 = 24^2 − 18^2\)
\((𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 42(6)\)
\((𝑥 − 𝑦) =\frac{42(6)}{30}=\frac{42}{5}\)
Jumlahkan kedua persamaan \(𝑥 + 𝑦 = 30\) dan \((𝑥 − 𝑦) =\frac{42}{5}\), diperoleh
\(2𝑥 =\frac{192}{5}⟹ 𝑥 =\frac{192}{10}\)
Selanjutnya cara tinggi trapezium
\(𝑡^2 = 24^2 − (\frac{192}{10})^2= 24^2 (1 − (\frac{8}{10})^2)\)
\(= 242 (1 −\frac{64}{100}) = 242 (\frac{36}{100}) ⟹ 𝑡 = 24 (\frac{6}{10}) =\frac{144}{10}\)

Jadi luas trapezium \(ABCD\) adalah
\(\frac{(75+45)\frac{144}{10}}{2}= 60 (\frac{144}{10}) = 6 × 144 = 864\) cm²

\([𝐴𝐵𝐶] = [𝐴𝐵𝐶]\)
\(\frac{1}{2}6\sqrt 3. 6 =\frac{1}{2}(12)𝐴𝐷\)
\(𝐴𝐷 =\frac{6.6\sqrt 3}{12}= 3\sqrt 3\)

Selanjutnya cari panjang \(DC\)
\(𝐷𝐶^2 = 𝐴𝐶^2 − 𝐴𝐷^2 = 36 − 27 = 9 ⇒ 𝐷𝐶 = 3\)
Panjang \(𝐸𝐷 = 𝐸𝐶 − 𝐷𝐶 = 6 − 3 = 3\)
Jadi panjang \(𝐴𝐸^2 = 𝐸𝐷^2 + 𝐴𝐷^2 = 9 + 27 = 36 ⇒ 𝐴𝐸 = 6\) 𝑐𝑚

\(𝑐_1 = 1\)
\(𝑐_2 =\frac{1}{1+\frac{1}{c_1}}=\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)
\(𝑐_3 =\frac{1}{1+\frac{1}{c_2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)
\(𝑐_4 =\frac{1}{1+\frac{1}{c_3}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)

….

\(𝑐_{2018} =\frac{1}{1+\frac{1}{c_{2017}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{1}{2017}}}=\frac{1}{1+2017}=\frac{1}{2018}\)

Selanjutnya subtitusi nilai dari c ke
\(𝑐_1𝑐_2 + 𝑐_2𝑐_3 + 𝑐_3𝑐_4 + ⋯ + 𝑐_{2017}𝑐_{2018}\)
\(=\frac{1}{1}×\frac{1}{2} +\frac{1}{2}×\frac{1}{3} + \frac{1}{3}×\frac{1}{4}+ … + \frac{1}{2017}×\frac{1}{2018}\)   
\(=\frac{1}{1}−\frac{1}{2}+\frac{1}{2}−\frac{1}{3}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}+ … + \frac{1}{2017}−\frac{1}{2019}\)
\(=\frac{1}{1}−\frac{1}{2018}= \frac{2017}{2018}\)