Soal dan Solusi UNP Mathematics Challenge SMP 2017

\(𝑥^2 = 2017 − 𝑎 = 2018 − 𝑏 = 2019 − 𝑐\)
\(2017 − 𝑎 = 2018 − 𝑏 ⇒ 𝑏 − 𝑎 = 1 ⇒ 𝑏^2 + 𝑎^2 − 2𝑎𝑏 = 1\)
\(2018 − 𝑏 = 2019 − 𝑐 ⇒ 𝑐 − 𝑏 = 1 ⇒ 𝑐^2 + 𝑏^2 − 2𝑏𝑐 = 1\)
\(2017 − 𝑎 = 2019 − 𝑐 ⇒ 𝑐 − 𝑎 = 2 ⇒ 𝑐^2 + 𝑎^2 − 2𝑎𝑐 = 4\)
Jumlahkan ketiga persamaan maka diperoleh
\(2(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) = 6\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐 = 3\)
Selanjutnya
\(\frac{𝑎}{𝑏𝑐}+\frac{𝑏}{𝑎𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎𝑏}−\frac{1}{𝑎}−\frac{1}{𝑏}−\frac{1}{𝑐}\)
\(=\frac{𝑎^2+𝑏^2+𝑐^2−𝑏𝑐−𝑎𝑐−𝑎𝑏}{𝑎𝑏𝑐}\)
\(=\frac{3}{1}= 3\)

\([𝐷𝐸𝐶] =\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] =\frac{1}{2}(4) = 2\)
Karena \(DF = FE\), maka
\([𝐷𝐹𝐶]=\frac{1}{2}[𝐷𝐸𝐶] =\frac{1}{2}(2) = 1\)
Karena \(FG = GC\), maka
\([𝐷𝐺𝐶]=\frac{1}{2}[𝐷𝐹𝐶] =\frac{1}{2}(1) =\frac{1}{2}\)
Karena \(GH=HD\), maka
\([𝐷𝐻𝐶] =\frac{1}{2}[𝐷𝐺𝐶] =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}) =\frac{1}{4}\)
Karena \(HI = IC\), maka
\([𝐼𝐷𝐶] =\frac{1}{2}[𝐷𝐻𝐶] =\frac{1}{2}(\frac{1}{4}) =\frac{1}{8}\)

Dengan menggunakan perbandingan sudut 60° pada segitiga siku-siku, Jika dimisalkan tingginya adalah \(t\) maka sisi miringnya adalah \(2t\).

Dengan menggunakan rumus pythagoras

\((2t)^2 – t^2 = 21^2\)
\(4t^2-t^2=441\)
\(3t^2=441⇒t^2=\frac{441}{3}\)
\(t=\frac{21}{\sqrt 3}=7\sqrt 3\)

Luas semua segitiga adalah \(12 ×\frac{1}{2}× 21 × 7\sqrt 3 = 882\sqrt 3\) cm²

\(⌊\frac{2017^3}{2015 · 2016}−\frac{2015^3}{2016 · 2017}⌋\)

\(= ⌊\frac{2017^4 − 2015^4}{2015 · 2016 · 2017}⌋\)

\(= ⌊\frac{(2017^2 + 2015^2)(2017^2 − 2015^2)}{2015 · 2016 · 2017}⌋\)

\(= ⌊\frac{(2017^2 + 2015^2)(4032)2}{2015 · 2016 · 2017}⌋\)

\(= ⌊\frac{(2017^2 + 2015^2)(2)2}{2015 · 2017}⌋\)

\(= ⌊4 (\frac{(2017^2 + 2015^2)}{2015 · 2017})⌋\)

\(= ⌊4 (\frac{2017}{2015}+\frac{2015}{2017})⌋\)

\(\frac{2015}{2017}+\frac{2}{2017}= 1\), karena \(\frac{2}{2017}<\frac{2}{2015}\)
maka
\(= ⌊4 (1 +\frac{2}{2015}+\frac{2015}{2017})⌋ = ⌊4(2, . . )⌋ = ⌊8, … ⌋ = 8\)

\(|𝐴𝐻| = \sqrt{𝐴𝐷^2 + 𝐷𝐻^2} = \sqrt{𝑏^2 + 𝑏^2} = \sqrt{2𝑏^2} = 𝑏\sqrt 2\)
\(|𝐵𝐻| = \sqrt{𝐴𝐵^2 + 𝐴𝐻^2} = \sqrt{𝑏^2 + 2𝑏^2} = \sqrt{3𝑏^2} = 𝑏\sqrt 3\)
Persamaan rumus luas segitiga:
\([𝐴𝐵𝐻] = [𝐴𝐵𝐻]\)
\(\frac{1}{2}𝐴𝐵 · 𝐴𝐻 =\frac{1}{2}𝐴𝑃 · 𝐵𝐻\)
\(𝑏 · 𝑏\sqrt 2 = 𝐴𝑃 · 𝑏\sqrt 3\)
\(𝐴𝑃 =\frac{𝑏\sqrt 2}{\sqrt 3}×\frac{\sqrt 3}{\sqrt 3}=\frac{𝑏\sqrt 6}{3}\)
Jadi jarak dari titik \(A\) ke garis \(BH\) adalah \(𝐴𝑃 =
\frac{𝑏\sqrt 6}{3}\)

Misalkan berat rata-rata \(5\) orang paling ringan adalah \(𝑎\) kg dan berat rata-rata \(25\) orang lainnya adalah \((𝑎 + 12)\) kg. Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{5𝑎 + 25(𝑎 + 12)}{30}= 48\)
\(⇒\frac{𝑎 + 5(𝑎 + 12)}{6}= 48\)
\(⇒𝑎 + 5𝑎 + 60 = (48)6\)
\(⇒6𝑎 + 60 = (48)(6)\)
\(⇒𝑎 + 10 = 48\)
\(⇒𝑎 = 48 − 10 = 38\)

Jadi berat rata-rata \(5\) siswa paling ringan adalah \(38\) kg

\(𝑥 =\frac{1+\sqrt{2018}}{2}\)
\(2𝑥 = 1 + \sqrt{2018}\)
\(2𝑥 − 1 = \sqrt{2018}\)
\(4𝑥^2 − 4𝑥 + 1 = 2018\)
\(4𝑥^2 − 4𝑥 − 2017 = 0\)
Jadi nilai dari
\(4𝑥^{2019} − 4𝑥^{2018} − 2017𝑥^{2017}\)
\(= 𝑥^{2017}(4𝑥^2 − 4𝑥 − 2017) = 0\)

Misalkan panjang rusuk kubus adalah \(2𝑎\)
\(|𝐴𝐿| = \sqrt{𝐴𝐸^2 + 𝐸𝐿^2} = \sqrt{(2𝑎)^2 + 𝑎^2} = \sqrt{5𝑎^2}\)
\(|𝐵𝐿| = \sqrt{𝐴𝐵^2 + 𝐴𝐿^2} = \sqrt{(2𝑎)^2 + 5𝑎^2} = \sqrt{4𝑎^2 + 5𝑎^2} = \sqrt{9𝑎^2} = 3𝑎\)
\(|𝐿𝐾| = \sqrt{𝐿𝐻^2 + 𝐻𝐾^2} = \sqrt{𝑎^2 + 𝑎^2} = 𝑎\sqrt 2\)
Perhatikan segitiga \(BLP\), dengan menggunakan rumus Pythagoras.
\(𝐵𝑃^2 = 𝐵𝐿^2 − 𝐿𝑃^2\)
\(100 = (3𝑎)^2 − (\frac{𝑎\sqrt 2}{2})^2= 9𝑎^2 −\frac{𝑎^2}{2}=\frac{17}{2}𝑎^2\)
\(𝑎^2 =\frac{200}{17}\)
\(𝑎 = 10\sqrt{\frac{2}{17}}\)
Volume kubus \(= (2𝑎)^3 = 8𝑎^3 = 8𝑎^2𝑎 = 8 (\frac{200}{17})(10\sqrt{\frac{2}{17}}) =\frac{16000}{17}\sqrt{\frac{2}{17}}≈ 323\) cm^3

• Peserta yang lolos adalah 100 orang, Perbandingan peserta yang lolos laki-laki dan perempuan adalah 1 : 4. Laki-laki yang lolos sebanyak \(\frac{1}{5} ×100= 20\) orang dan perempuan yang lolos 100 – 20 = 80 orang
• Peserta yang tidak lolos adalah 250 – 100 = 150 orang, peserbandingan peserta yang tidak lolos laki-laki dan perempuan adalah 1 : 4. Banyak perempuan yang tidak lolos adalah \(\frac{4}{5}×150 = 120\) orang.

Jadi perbandingan antara laki-laki yang lolos dengan perempuan yang tidak lolos adalah \(20 : 120 = 1 : 6\)

dari gambar kita peroleh jari-jari sedang adalah \(3𝑟\) dan jari-jari lingkaran besar adalah \(5𝑟\)

Luas Lingkaran sedang : Luas lingkaran Besar

\(𝜋(3𝑟)^2: 𝜋(5𝑟)^2\)
\(9𝑟^2: 25𝑟^2\)
\(9 ∶ 25\)

Jadi perbandingan luas lingkaran sedang dan besar adalah \(9 : 25\)

\(Δ𝐴𝐵𝐶\) adalah segitiga sama kaki, \(𝐴𝐵 = 𝐴𝐶\),
maka \(∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 2𝑥\).
Karena \(Δ𝐵𝐶𝐷\) adalah segitiga sama kaki, maka
\(∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐵𝐷𝐶 = 2𝑥\)
Jumlah sudut segitiga adalah \(180°\)
\(2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 = 180\)
\(5𝑥 = 180\)
\(𝑥 = 36°\)

karena \(ΔCDA\) juga sama kaki  maka \(∠DAC=∠ACD=x°\)
Sudut terkecil segitiga ABC adalah \(∠D𝐴C = 𝑥 = 36°\)

misalkan

\(0,9𝑚59𝑚59𝑚5 … = 𝑛\)
\(9𝑚5,9𝑚59𝑚5 … = 1000𝑛\)

Kurangkan kedua persamaan
\(9𝑚5 = 999𝑛\)
\(𝑛 =\frac{9𝑚5}{999}\)
Selanjutnya samakan
\(\frac{𝑢}{810}=\frac{9𝑚5}{999}\)
\(𝑢 =\frac{9𝑚5 × 810}{999}=\frac{9𝑚5 × 90}{111}=\frac{9𝑚5 × 30}{37}= 750\)

Keterangan: nilai \(9m5\) yang memenuhi habis dibagi \(37\) adalah \(925\)

Terdapat 9 segitiga jadi jumlah total sudut dalam nya adalah 9 × 180° = 1620°

Misalkan bilangan bulat yang memenuhi adalah \(x\) maka dipastikan
\(\sqrt[3]{2017} < 𝑥 < \sqrt{2017}\)
semua nilai \(𝑥\) yang memenuhi adalah \(\{13, 14, 15, …., 44\}\)
Jadi jumlah semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(\frac{(13+44)32}{2}= 57 × 16 = 912\)

\(𝑎 : 𝑏 : 𝑐\)
\(a : b = 6 : 7\; (kalikan\; dengan\; 19)⇒ a : b = 114 : 133 \)
\(b : c = 19 : 18\; (kalikan\; dengan\; 7)⇒ b : c = 133 : 126\)
\(a : b : c = 114 : 133 : 126\)
Dari perbandingan di atas, kita misalkan \(𝑎 = 114𝑛, 𝑏 = 133𝑛\) dan \(𝑐 = 126𝑛\), selanjtutnya gunakan rumus rata-rata. Misalkan banyak siswa kelas VII adalah \(x\) dan kelas VIII adalah \(y\)
\(𝑥(114𝑛) + 𝑦(133𝑛) = (𝑥 + 𝑦)126𝑛\)
\(114𝑥 + 133𝑦 = 126𝑥 + 126𝑦\)
\(7𝑦 = 12𝑥\)
Jdi perbandingan jumlah siswa kelas VII dan VIII adalah \(7 ∶ 12\)