Soal Latihan dan Pembahasan Final KST-6 2022 kelas 8 SMP/MTs

\(\begin{align}
2021 − 47 × 45 − (35^2 − 45^2) &= 2021 − 2115 − (1225 − 2025)\\
&= 2021 − 2115 − (−800)\\
&= 2021 − 2115 + 800\\
&= 2821 − 2115\\
&= 706\\
\end{align}\)

\(4 + 8 + 7 + 𝑥 = 25\)
\(19 + 𝑥 = 25\)
\(𝑥 = 25 − 19 = 6\)

\(\begin{align}
2018 × 2024 − 2019 × 2022 &= 2018 × 2024 − (2018 + 1) × 2022\\
&= 2018 × 2024 − 2018 × 2022 − 2022\\
&= 2018 × 2 − 2022\\
&= 4036 − 2022\\
&= 2014\\
\end{align}\)

\(\begin{align}
\frac{𝑥^3 + 2𝑥^2 − 3𝑥}{𝑥^2 − 1}&=\frac{𝑥(𝑥^2 + 2𝑥 − 3)}{𝑥^2 − 1}\\
&=\frac{𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)}{(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)}\\
&=\frac{𝑥(𝑥 + 3)}{𝑥 + 1}\\
&=\frac{𝑥^2 + 3𝑥}{𝑥 + 1}\\
\end{align}\)

\((1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + ⋯ + 81 + 83 + 85 + 87) −2(7 + 15 + 23 + ⋯ + 87)\)
\(=\frac{(1+87)44}{2}− 2 (\frac{(7+87)11}{2})\)
\(= 22(88) − 94(11) = 902\)

\(𝐶 = 𝐴⋃𝐵 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11\}\)
Himpunan yang terdiri dari \(2\) anggota
\(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{1,5\}, \{1,6\}, \{1,7\}, \{1,8\}\) ada \(7\)
\(\{2, 3\}, \{2,4\}, \{2,5\}, \{2,6\}, \{2,7\}, \{2,11\}\) ada \(6\)
\(\{3,4\}, \{3,5\}, \{3,6\}, \{3,7\}, \{3,11\}\) ada \(5\)
…
\(\{7,11\}\) ada \(1\)
Jadi banyak himpunan bagian dari \(C\) yang memiliki \(2\) anggota adalah
\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =\frac{(7 + 1)7}{2} = 28\)

Cara menggunakan rumus kombinasi
\({8\choose 2}=\frac{8!}{6! .2!}=\frac{8 × 7 × 6!}{6! × 2}=\frac{56}{2}= 28\)

Jadi banyaknya himpunan yang terdiri dari \(2\) anggota adalah \(28\) himpunan

Angsuran perbulan tanpa bunga \(=\frac{9.000.000}{18}= 500.000\)

Bunga selama 1 bulan \(=\frac{15}{100}×\frac{1}{12}× 9.000.000 = 112.500\)

Angsuran yang harus di bayar adalah \(500.000 + 112.500 = 𝑅𝑝612.500,00\)

Dengan mengunakan rumus di atas
\(𝐴𝐸. 𝐸𝐵 = 𝐸𝐶^2\)
\(𝐴𝐸. 18 = 12^2\)
\(𝐴𝐸 =\frac{144}{18}=8\)

Luas arsiran = Luas lingkaran – luas layang-layang
\(=𝜋(13)^2 − \frac{26(24)}{2}\)
\(=169𝜋 − 312\)

\(𝑚_1 =\frac{𝑦_2 − 𝑦_1}{𝑥_2 − 𝑥_1}=\frac{0 − 4}{3 − (−1)}=\frac{−4}{4}= −1\)
Diperoleh gradient garis \(AB\) adalah \(𝑚_1 = −1\), garis yang tegak lurus garis \(AB\) memiliki gradien
\(𝑚_2 = 1\) (karena syarat tegak lurus \(𝑚_1 × 𝑚_2 = −1\).)
Titik tengah \(𝐴𝐵\) adalah \((\frac{−1+3}{2},\frac{4+0}{2}) = (1,2)\)
Persamaan garis yang tegak lurus \(AB\) dan melalaui titik \((1, 2)\) adalah

\(𝑦 − 𝑦_1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥_1)\)
\(𝑦 − 2 = 1(𝑥 − 1)\)
\(𝑦 − 2 = 𝑥 − 1\)
\(𝑦 = 𝑥 + 1\)
\(x-y+1=0\)

Misalkan angka pertamanya adalah \(3\) atau \(5\), banyak bilangan yang memenuhi adalah \(2 × 5 × 4 = 40\) bilangan, misalkan angka pertamanya \(2\) maka banyak bilangan yang memenuhi adalah \(1 × 5 × 3 = 15\), Jadi banyak bilangan adalah \(40 + 15 = 55\)

\(𝑓(−3) = −3𝑎 + 𝑏 = −15\)
\(𝑓(3) = 3𝑎 + 𝑏 = 9\)
_________________________+
\(2𝑏 = −6 ⇒ 𝑏 = −3\)
Subtitusi nilai \(b\) ke persamaan \(3𝑎 + 𝑏 = 9\), diperoleh
\(3𝑎 + 𝑏 = 9\)
\(3𝑎 − 3 = 9\)
\(3𝑎 = 12\)
\(𝑎 = 4\)
Fungsi \(𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3\)
Jadi nilai dari \(𝑓(2) − 𝑓(−4) = 4(2) − 3 − (4(−4) − 3) = 8 − 3 − (−19) = 5 + 19 = 24\)

\(𝐴 + 𝐵 = 9500\)
\(𝐴 + 𝐶 = 7500\)
\(𝐵 + 𝐶 = 9000\)
_______________________+
\(2𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 = 26000\)
\(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 13000\)
Karena \(𝐴 + 𝐵 = 9500\), maka \(𝐶 = 3500\)
Karena \(𝐴 + 𝐶 = 7500\), maka \(𝐵 = 5500\)
Karena \(𝐵 + 𝐶 = 9000\), maka \(𝐴 = 4000\)
Jika saya membeli \(1\) sabun \(A, 2\) sabun \(B\) dan \(4\) sabun \(C\) di toko tersebut, maka saya harus membayar sebesar
\(𝐴 + 2𝐵 + 4𝐶 = 4000 + 2(5500) + 4(3500) = 4000 + 11000 + 14000 = 29000\)

Eliminasi persamaan \((1)\) dikali \(1\) dan persamaan \((2)\) dikali \(2\)

\(\frac{2}{𝑥 − 1}+\frac{3}{𝑦}= 3\)
\(\frac{1}{𝑥 − 1}−\frac{6}{𝑦}= 4\)
_______________________ _
\(\frac{15}{𝑦}= −5 ⇒ 𝑦 = −3\)
Subtitusi nilai \(𝑦\) ke persamaan (1)
\(\frac{2}{𝑥 − 1}+\frac{3}{𝑦}= 3\)
\(\frac{2}{𝑥 − 1}+\frac{3}{−3}= 3\)
\(⇒\frac{2}{𝑥 − 1} − 1 = 3\)
\(⇒\frac{2}{𝑥 − 1}= 4 ⇒ 𝑥 − 1 =\frac{1}{2}⇒ 𝑥 =\frac{3}{2}\)
Jadi nilai dari \(12𝑥𝑦 = 12 (\frac{3}{2})(−3) = −54\)

Misalkan banyaknya karyawan laki-laki adalah \(L\) dan banyaknya karyawan perempuan adalah \(L\),
berdasarkan rumus rata-rata

\(\frac{46𝐿 + 34𝑃}{𝐿 + 𝑃}= 42\)
\(46𝐿 + 34𝑃 = 42𝐿 + 42𝑃\)
\(4𝐿 = 8𝑃\)
\(\frac{𝐿}{𝑃}=\frac{8}{4}=\frac{2}{1}\)
Dari persamaan di atas diperoleh perbandingan banyaknya karyawan laki-laki dan perempuan adalah \(2 : 1\)

\(200 × 60 = 150 × (60 + 𝑛)\)
\(60 + 𝑛 =\frac{200 × 60}{150}= 80\)
\(𝑛 = 20\)

Jadi banyaknya tambahan pekerja adalah \(20\) pekerja

Di titik \(A, 𝑦 = 0 ⟹ 3𝑥 − 2(0) + 12 = 0 ⟹ 3𝑥 = −12 ⟹ 𝑥 = −4\), jadi titik \(A\) adalah \((−4,0)\)
Di titik \(C, 𝑥 = 0 ⟹ 3(0) − 2𝑦 + 12 = 0 ⟹ −2𝑥 = −12 ⟹ 𝑦 = 6\), jadi titik \(C\) adalah \((0,6)\)
Di titik B, \(𝑦 = 0 ⟹ 𝑥 + 2(0) = 12 ⟹ 𝑥 = 12\), jadi titik \(B\) adalah \((12,0)\)
Diperoleh panjang alas segitiga adalah \(16\) dan tinggi segitiga adalah \(6\)
Luas segitiga \(ABC\) adalah \(\frac{1}{2}(16)(6) = 8(6) = 48\) satuan luas

\(\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{19}{20}+\frac{29}{30}+\frac{41}{42}+\frac{55}{56}+\frac{71}{72}+\frac{89}{90}=a\frac{b}{c}\)

\(= (1 −\frac{1}{2}) + (1 −\frac{1}{6}) + (1 −\frac{1}{12}) + ⋯ + (1 −\frac{1}{90})\)

\(= 9 − (\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+…+\frac{1}{90})\)

\(= 9 − (1 −\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{9}-\frac{1}{10})\)

\(= 9 − (1 −\frac{1}{10})\)

\(= 8 +\frac{1}{10}= 8\frac{1}{10}=a\frac{b}{c}\)

Diperoleh nilai \(𝑎 = 8, 𝑏 = 1\) 𝑑𝑎𝑛 \(𝑐 = 10\)
Jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 × 𝑐 = 8 + 1 × 10 = 18\)

Persamaan 1

\(\frac{𝐴 − 10}{𝐼 − 10}=\frac{8}{7}\)
Misalkan \(𝐴 − 10 = 8𝑛\) dan \(𝐼 − 10 = 7𝑛\)

Persamaan 2

\(𝐴 + 2 =\frac{11}{10}(𝐼 + 2)\)
\(⟹ 8𝑛 + 10 + 2 =\frac{11}{10}(7𝑛 + 10 + 2)\)
\(⇒ 8𝑛 + 12 =\frac{11}{10}(7𝑛 + 12)\)
\(⇒ 80𝑛 + 120 = 77𝑛 + 132\)
\(⇒ 3𝑛 = 12\)
\(⇒ 𝑛 = 4\)
Diperoleh umur ayah sekarang \(𝐴 = 8𝑛 + 10 = 8(4) + 10 = 42\) dan umur ibu sekarang \(𝐼 = 7𝑛 + 10 = 7(4) + 10 = 38\).
Jadi jumlah usia ayah dan usia ibu \(5\) tahun yang akan datang adalah \((42 + 5) + (38 + 5) = 47 +43 = 90\).

Panjang sisi persegi kecil adalah \(\sqrt{16} = 4\; 𝑐𝑚\)
Luas arsiran \(= [A] + [B] =\frac{1}{2}(8)(8) +\frac{1}{2}(8)(16) = 32 + 64 = 96 𝑐𝑚^2\)

Karena \(2022\) adalah genap maka dapat ditulis penjumlahan bilangan berurutan sebanyak ganjil

\((𝑎 − 𝑛) … + (𝑎 − 2) + (𝑎 − 1) + 𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + ⋯ (𝑎 + 𝑛) = 2022\)
\((2𝑛 + 1)𝑎 = 2022\)

Nilai \(𝑎\) maksimum dicapai ketika \((2𝑛 + 1)\) minimum yaitu \(3\), sehingga kita peroleh \(𝑎 =\frac{2022}{3}= 674\)
Penjumlahnnya adalah \(673 + 674 + 675\). Nilai \(N\) yang memenuhi adalah \(675\).
Jadi nilai dari \(𝑎 +𝑏 + 𝑐 = 6 + 7 + 5 = 18\).