Soal Latihan Kompetisi Matematika Edisi angka 2023

OSN

Apa arti tahun 2023 dalam numerologi?
Dalam numerologi, arti angka biasanya diturunkan dari jumlah digitnya (ditambahkan bersama hingga Anda mendapatkan satu digit). Dalam kasus tahun 2023, hasilnya adalah 2+0+2+3, yang sama dengan 7. Akibatnya, 7 dianggap sebagai angka tahun universal untuk tahun 2023 dan mencerminkan energi yang dibawa oleh tahun tersebut dalam skala kolektif.

Sementara setiap satu digit atau angka dasar (1-9) dalam numerologi mengandung banyak sekali dan dapat ditafsirkan dengan berbagai cara (mirip dengan masing-masing dari 12 tanda dalam astrologi), angka 7 umumnya dikaitkan dengan pencarian makna yang lebih dalam, menurut Kamlesh Trivedi, peramal turun temurun, ahli numerologi, dan pakar aplikasi astrologi Nebula. “Angka 7 itu istimewa karena terhubung dengan planet Ketu dalam astrologi Veda — sebuah “planet bayangan” yang sekarang dianggap identik dengan simpul selatan bulan — dan Neptunus dalam astrologi Barat,” katanya. “Keduanya sangat terkait dengan pencerahan spiritual dan intuisi.” (Sc : https://www.wellandgood.com/numerology-meaning-2023/).

Di atas adalah penjelasan singkat dari angka tahun 2023 berdasarkan ilmu numerology, sebagai tambahan admin mencoba menampilkan angka 2023 bukan dalam llmu numerology tapi berkaitan dengan soal-soal matematika yang memuat angka 2023, semoga bermanfaat.


1. Bentuk faktorisasi prima dari bilangan 2023 adalah …


\(2023 = 7×17^2\)


2.Tulislah semua faktor bilangan bulat positif dari 2023


faktor positif dari 2023 adalah 1, 7, 17, 119, 289 dan 2023


3. Tentukan ada berapa banyak faktor prima dari 2023


\(2023=7×17²\).
Jadi banyaknya faktor prima dari 2023 adalah 2 yaitu 7 dan 17


4. Tentukan jumlah semua faktor bulat positif dari 2023.


faktor positif dari 2023 adalah 1, 7, 17, 119, 289 dan 2023.
Jadi jumlahnya adalah \(1+7+17+119+289+2023=2456\)


5. Tentukan semua solusi bilangan bulat positif \(n\) sedemikian sehingga \(\frac{n+2024}{n+1}\) bilangan bulat


\(\frac{n+2024}{n+1}=\frac{n+1+2023}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}+\frac{2023}{n+1}=1+\frac{2023}{n+1}\)

supaya menghasilkan bilangan bulat maka \(\frac{2023}{n+1}\) harus merupakan bilangan bulat. Nilai \(n+1\) yang memenuhi adalah semua faktor positif dari 2023 yaitu \(n+1=\{1, 7, 17, 119, 289, 2023\}\), untuk \(n+1=1\) tidak memenuhi karena nilai \(n=0\) bukan bilangan bulat positif.

Jadi semua nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(6, 16, 118, 288, 2022\)


6. Angka pada tahun 2023 jika dijumlahkan hasilnya adalah 7. Ada berapa banyak tahun di tahun 2000-an yang jumlah angkanya adalah 7.


Misalkan tahun yang jumlah angka-angkanya adalah 7 adalah tahun \(\overline{2abc}\)

\(2+a+b+c=7⇒a+b+c=5\)

untuk \(a=0, b+c=5\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)\) ada 6 solusi.
untuk \(a=1, b+c=4\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)\) ada 5 solusi.
untuk \(a=2, b+c=3\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\) ada 4 solusi.
untuk \(a=3, b+c=2\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,2),(1,1),(2,0)\) ada 3 solusi.
untuk \(a=4, b+c=1\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,1),(1,0)\) ada 2 solusi.
untuk \(a=5, b+c=0\) nilai \((b,c)\) yang memenuhi adalah \((0,0)\) ada 1 solusi.

Jadi banyak tahun yang memenuhi adalah \(6+5+4+3+2+1=21\)

Bagi yang sudah mempelajari teorema starbars bisa langsung eksekusi pake teorema tersebut.


7. Andi menjumlahkan n bilangan asli pertama hasilnya adalah 2023 namun pada saat perhitungan ada satu angka yang terhitung 2 kali. Angka berapakah yang terhitung dua kali.


\(1+2+3+…+n≈2023\)
\(\frac{(n+1)n}{2}≈2023\)
\((n+1)n≈4046\)

perkalian dua bilangan berurutan yang mendekati adalah \(63×64=4032\), nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(63\)

\(1+2+3+…+63=2016\)

Jadi nilai yang terhitung dua kali adalah \(2023-2016=7\)


8. Jumlah bilangan prima terbesar yang kurang dari 2023 dan bilangan prima terkecil yang lebih dari 2023 adalah …


Dengan melakukan observasi bilangan prima terbesar yang kurang dari 2023 adalah 2017 dan bilangan prima terkecil yang lebih dari 2023 adalah 2027. Jumlah kedua bilangan adalah 2017 + 2027 = 4044


9. Ubahlah bentuk \(2^{2023}\) menjadi penjumlahan 2 bilangan kuadrat.


\(2^{2023}=2×2^{2022}=2^{2022}+2^{2022}=(2^{1011})^2 + (2^{1011})^2\)


 10. Buktikan bahwa 2023 tidak dapat dibentuk dari hasil penjumlahan dua bilangan kuadrat.


Bukti:
Karena \(2023\) adalah bilangan ganjil, maka dapat diperoleh dari penjumlahan bilangan ganjil dan genap.

\(2023 ≡ 3\; mod\; 4\)

Misalkan bilangan genapnya adalah \(2m\) dan bilangan ganjilnya adalah \(2n+1\), untuk \(m\) dan \(n\) bilangan bulat positif maka 

\((2m)^2 = 4m^2 ≡ 0\; mod\;4\)
\((2n+1)^2=4n^2+4n+1≡1\;mod\;4\)

\((2m)^2+(2n+1)^2 ≡ 0 + 1 ≡ 1\;mod\;4\), persamaan ini kontradiksi dengan \(2023 ≡ 3\; mod\; 4\) maka jelas bahwa 2023 tidak dapat dibentuk dari penjumlahan 2 bilangan kuadrat.


11. Jika diketahui

\(2023^x + 2023^{-x}=3\)

maka nilai dari

\(\sqrt{\frac{2023^{6x}-2023^{-6x}}{2023^x – 2023^{-x}}}\)


misalkan \(2023^x=n, 2023^{-x}=n^{-1}\),\(a^1+a^{-1}=3\)

Kita peroleh:
\(\sqrt{\frac{2023^{6x}-2023^{-6x}}{2023^x – 2023^{-x}}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^{6}-a^{-6}}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{3})^2-(a^{-3})^2}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{3}-a^{-3})(a^{3}+a^{-3})}{a^x – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{\frac{(a^{1}-a^{-1})(a^{2}+1+a^{-2})(a^{1}+a^{-1})(a^{2}-1+a^{-2})}{a^1 – a^{-1}}}\)
\(=\sqrt{(a^{2}+1+a^{-2})(3)(a^{2}-1+a^{-2})}\)
\(=\sqrt{((a^{1}+a^{-1})^2-1)(3)((a^{1}+a^{-1})^2-3)}\)
\(=\sqrt{(3)^2-1)(3)((3)^2-3)}\)
\(=\sqrt{(8)(3)(6)}\)
\(=\sqrt{144}=12\)


12. carilah nilai dari

\(\left(1+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+…}}}}\right)^2\)


misalkan \(x=\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+…}}}}\), diperoleh persamaan

\(x=\frac{2022}{2+x}\)
\(⇒(2+x)(x)=2022\)
\(⇒x^2+2x=2022\)
\(⇒x^2+2x+1=2022+1\)
\(⇒(x+1)^2=2023\)
\(⇒x+1=\sqrt{2023}\)
\(⇒x=\sqrt{2023}-1\)

jadi 

\(\left(1+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+\frac{2022}{2+…}}}}\right)^2=(1+x)^2=(1+\sqrt{2023}-1)^2=(\sqrt{2023})^2=2023\)


13. Tentukan nilai dari \(\sqrt{2024×2022+1}\)


misalkan \(x=2023\), kita peroleh

\(\begin{align}
\sqrt{2024×2022+1}&=\sqrt{(2023+1)×(2023-1)+1}\\
&=\sqrt{(x+1)(x-1)+1}\\
&=\sqrt{x^2-1+1}\\
&=\sqrt{x^2}\\
&=x\\
&=2023
\end{align}\)


14. Tentukan jumlah semua bilangan bulat positif n kurang dari 100 yang memenuhi \(2023^n +1\) habis dibagi 11.


\(2023^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(2024-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(0-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
\(⇒(-1)^n +1≡0\;mod\;11\)
Agar nilainya ekuivalen maka nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(n\) bilangan ganjil, karena nilai \(n<100\) maka nilai \(n\) yang memenuhi \(\{1, 3, 5, …,99\}\)

Jumlah semua bilangan \(n\) yang memenuhi adalah

\(1+3+5+…+99=\frac{(1+99)50}{2}=100(25)=2500\)


15. Tentukan banyaknya bilangan bulat positif \((𝑚, 𝑛)\) yang memenuhi

\(\frac{1}{𝑚}+\frac{1}{𝑛}=\frac{1}{2023}\)


\(\frac{1}{𝑚}+\frac{1}{𝑛}=\frac{1}{2023}\)
\(⇒\frac{𝑛 + 𝑚}{𝑚𝑛}=\frac{1}{2023}\)
\(⇒𝑚𝑛 = 2023𝑛 + 2023𝑚\)
\(⇒𝑚𝑛 − 2023𝑚 − 2023𝑛 = 0\)
\(⇒(𝑚 − 2023)(𝑛 − 2023) − 2023^2 = 0\)
\(⇒(𝑚 − 2023)(𝑛 − 2023) = 2023^2 = (7 × 17^2)2 = 7^2 × 17^4\)

Banyak factor positif dari \(2023^2\) adalah \((2 + 1)(4 + 1) = 3(5) = 15\)
Jadi banyaknya bilangan bulat positif \((𝑚, 𝑛)\) sama dengan banyaknya factor positif dari \(2023^2\) yaitu \(15\) pasangan.


16. Tentukan sisa pembagian \({2023^{2023}}^{2023}\) jika dibagi oleh \(11\)


Nilai euler totient fungsi dari \(11\) adalah \(𝜑(11) = 11(1 −\frac{1}{11}) = 10\)
\(2023^{2023}\; mod\; 𝜑(11) ≡ 2023^{2023\; mod\; 10} ≡ 3^3 mod\; 10 ≡ 7\)
Selanjutnya
\(\begin{align}
{2023^{2023}}^{2023} mod\; 11& ≡ 2023^7 mod\; 11\\
&≡ 10^7 mod\: 11\\
&≡ (−1)^7 mod\; 11\\
&≡ −1\; mod\; 11\\
&≡ 10\\
\end{align}\)


17. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi \(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)


\(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2023\)
\((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) memiliki paritas yang sama yaitu keduanya ganjil atau keduanya genap, maka kemungkinan pasangan \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((2023, 1), (289, 7)\), dan \((119,17)\).

Kemungkinan 1
\(𝑎 + 𝑏 = 2023\)
\(𝑎 − 𝑏 = 1\)
_______________+
\(2𝑎 = 2024 ⇒ 𝑎 = 1012\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 1\) , maka nilai \(𝑏 = 1011\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011)\)

Kemungkinan 2
\(𝑎 + 𝑏 = 289\)
\(𝑎 − 𝑏 =7\)
_______________+
\(2𝑎 = 296 ⇒ 𝑎 = 148\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 7\) , maka nilai \(𝑏 = 141\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((148,141)\)

Kemungkinan 3
\(𝑎 + 𝑏 = 119\)
\(𝑎 − 𝑏 = 17\)
_______________+
\(2𝑎 = 136 ⇒ 𝑎 = 68\),
karena \(𝑎 − 𝑏 = 17\) , maka nilai \(𝑏 = 51\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((68,51)\)
𝐽𝑎𝑑𝑖 semua pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011), (148,141)\),dan \((68,51)\)


18. Tentukan nilai dari

\(2021 × 20222022 × 202320232023 − 2023 × 20212021 × 202220222022\)


\(2021 × 20222022 × 202320232023 − 2023 × 20212021 × 202220222022\)
\(= 2021 × (20220000 + 2022) × (202300000000 + 20230000 + 2023) − 2023 ×(20210000 + 2021) × (202200000000 + 20220000 + 2022)\)
\(= 2021 × 2022(10000 + 1) × 2023(100000000 + 10000 + 1) − 2023 × 2021(10000 + 1) ×2022(100000000 + 10000 + 1)\)
\(= 2021 × 2022 × 10001 × 2023 × 100010001 − 2023 × 2021 × 10001 × 2022 × 100010001\)
\(= 0\)


19. Berapakah sisa pembagian \(6^{2023}\) dibagi \(50\)


Dengan menggunakan euler totient function

\(𝜑(50) = 50 (1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{5}) = 50 (\frac{1}{2})(\frac{4}{5}) = 20\)

Selanjutnya

\(6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 𝜑(50)} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^{2023\;𝑚𝑜𝑑\; 20} 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 6^3\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 = 216\; 𝑚𝑜𝑑\; 50 ≡ 16\)


20. Diketahui \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦\) dan \(𝑧\) adalah bilangan complex yang memenuhi

\(𝑎 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑥 − 2}, 𝑏 =\frac{𝑐 + 𝑎}{𝑦 − 2}, 𝑐 =\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑧 − 2}\)

Jika \(𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 + 𝑧𝑥 = 101\) dan \(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2023\) maka carilah nilai dari \(𝑥𝑦𝑧\).


\(𝑎 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑥 − 2}⇒ 𝑥 − 2 =\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}\)\(⇒𝑥 − 1=\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑎}\)\(⇒\frac{1}{𝑥 − 1}=\frac{𝑎}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)

dengan cara yang sama diperoleh

\(𝑏 =\frac{𝑐 + 𝑎}{𝑦 − 2}⇒\frac{1}{𝑦 − 1}=\frac{𝑏}{𝑐 + 𝑎 + 𝑏}\)
\(𝑐 =\frac{𝑎 + 𝑏}{𝑧 − 2}⇒\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}\)
Jumlahkan ketiga persamaan, diperoleh

\(\frac{1}{𝑥 − 1}+\frac{1}{𝑦 − 1}+\frac{1}{𝑧 − 1}=\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}= 1\)
\(⇒\frac{(𝑦 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑧 − 1) + (𝑥 − 1)(𝑦 − 1)}{(𝑥 − 1)(𝑦 − 1)(𝑧 − 1)}= 1\)
\(⇒𝑦𝑧 − 𝑦 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑧 − 𝑥 − 𝑧 + 1 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 𝑦 + 1 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1\)
\(⇒(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) − 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 3 = 𝑥𝑦𝑧 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) − 1\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 4\)
\(⇒𝑥𝑦𝑧 = 2(101) − 3(2023) + 4 = −5863\)


21. Jika \(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}\)
, maka nilai \(x\) adalah …


\(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}= 2023^{2023.2023^{2023}} = (2023^{2023})^{2023^{2023}}\)
Jadi nilai \(x\) nya adalah \(2023^{2023}\)


23. The value of :
\(\frac{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}−\frac{1}{4}}×\frac{\frac{1}{4}−\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{6}}×\frac{\frac{1}{6}−\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}−\frac{1}{8}}×…×\frac{\frac{1}{2020}−\frac{1}{2021}}{\frac{1}{2021}−\frac{1}{2022}}×\frac{\frac{1}{2022}−\frac{1}{2023}}{\frac{1}{2023}−\frac{1}{2024}}\)
is …


\(\frac{\frac{1}{2}−\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}−\frac{1}{4}}×\frac{\frac{1}{4}−\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{6}}×\frac{\frac{1}{6}−\frac{1}{7}}{\frac{1}{7}−\frac{1}{8}}×…×\frac{\frac{1}{2020}−\frac{1}{2021}}{\frac{1}{2021}−\frac{1}{2022}}×\frac{\frac{1}{2022}−\frac{1}{2023}}{\frac{1}{2023}−\frac{1}{2024}}\)
\(=\frac{\frac{1}{2 × 3}}{\frac{1}{3 × 4}}×\frac{\frac{1}{4 × 5}}{\frac{1}{5 × 6}}×\frac{\frac{1}{6 × 7}}{\frac{1}{7 × 8}}× … ×\frac{\frac{1}{2020 × 2021}}{\frac{1}{2021 × 2022}}\)
\(=\frac{3 × 4}{2 × 3}×\frac{5 × 6}{4 × 5}×\frac{7 × 8}{6 × 7}× … ×\frac{2021 × 2022}{2020 × 2021}×\frac{2023 × 2024}{2022 × 2023}\)
\(=\frac{2024}{2}= 1012\)


24. Given \((1 + 𝑂)(1 + 𝑆)(1 + 𝑁) = 2023\) with \(O, S,\) and \(N\) are positive integers. Find the value of \(𝑂 × 𝑆 × 𝑁\) is …


Untuk \(1 + 𝑂 = 1 + 𝑆 = 1 + 𝑁 = 1\) tidak memenuhi karena menyebabkan \(O, S\) dan \(N\)
bernilai \(0, 0\) bukan bilangan bulat positif, maka yang memenuhi
\((1 + 𝑂)(1 + 𝑆)(1 + 𝑁) = 2023 = 7 × 17 × 17\)
Diperoleh \(𝑂 = 6, 𝑆 = 16\) dan \(𝑁 = 16\)
Jadi nilai dari \(𝑂 × 𝑆 × 𝑁 = 6 × 16 × 16 = 1536\)


25. Find the \(2023^{𝑡ℎ}\) digit after the decimal in \(\frac{5}{7}\)


\(\frac{5}{7}= 0,714285714285 ….\)

Angka setelah koma berulang tiap \(6\) angka, karena

\(2023\; 𝑚𝑜𝑑\; 6 ≡ 1\)

Jadi angka ke-2023 setelah koma adalah 7


26. Tentukan nilai dari

\(\frac{2023}{2023^2−2022×2024}\)


misalkan \(2023 = 𝑎\)

\(\frac{2023}{2023^2 − 2022 × 2024}\)
\(=\frac{2023}{2023^2 − (2023 − 1)× (2023 + 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − (𝑎 − 1)(𝑎 + 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − (𝑎^2 − 1)}\)
\(=\frac{𝑎}{𝑎^2 − 𝑎^2 + 1}\)
\(=\frac{𝑎}{1}= 𝑎 = 2023\)


 

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *