Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 3

\(26 = 𝑛𝑎 + 2\)
\(𝑛𝑎 = 24, 𝑛 > 2\) karena bersisa \(2\)
Nilai \(n\) yang memenuhi \(𝑛 = {3, 4, 6, 8, 12, 24}\)
Jumlah nilai \(𝑛 = 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 57\)

\(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 12\)
\(𝑎, 𝑏\) dan \(𝑐\) bilangan satu digit karena harus memenuhi bilangan tiga digit \(\overline{abc}\).

• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,2,6)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,3,4)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
• \((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (2,2,3)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk \(=\frac{3!}{2!}= 3\)

Jadi banyak bilangan yang terbentuk ada \(6 + 6 + 3 = 15\)

Misal \(𝑎 = 33𝑥\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli
saling prima.
\(𝑎 + 𝑏 = 33𝑥 + 33𝑦 = 528\)
\(= 𝑥 + 𝑦 = 16\)
Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\)
Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\)
dan \((7,9)\). Jadi banyaknya pasangan \((𝑎, 𝑏)\) ada \(4\)

\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_8}{8}= 99 ⟹ 𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_8 = 792 … (1)\)
Misalkan bilangan terbesarnya adalah \(𝑥_8\) dan \(𝑥_7\), maka \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\)
Rata-rata bilangan sisanya:
\(\frac{𝑥_1+𝑥_2+𝑥_3+⋯+𝑥_6}{6}= 87\) ⟹ \(𝑥_1 + 𝑥_2 + 𝑥_3 + ⋯ + 𝑥_6 = 522 … (2)\)
Subtitusi persamaan \((2)\) ke pers \((1)\) diperoleh
\(522 + 𝑥_7 + 𝑥_8 = 792\)
\(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\)
Eliminasi \(𝑥_8 − 𝑥_7 = 18\) dan \(𝑥_7 + 𝑥_8 = 270\), diperoleh \(𝑥_8 = 144\)

Gunakan sifat sudut bersebrangan dalam maka diperoleh
\((90 − 2𝑥)° + (180 − (3𝑥 + 10))° = (50 + 𝑥)°\)
\(⇒90 − 2𝑥 + 170 − 3𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒260 − 5𝑥 = 50 + 𝑥\)
\(⇒310 = 6𝑥\)
\(⇒𝑥 = 350\)

\(\overline{xy}= 10𝑥 + 𝑦\)
\(\overline{xy}= 7(𝑥+y) + 3\)
\(10𝑥 + 𝑦 = 7𝑥 + 7𝑦 + 3\)
\(3𝑥 = 6𝑦 + 3\)
\(𝑥 = 2𝑦 + 1\)
Karena \(𝑥 = 𝑦 + 3\), maka \(𝑦 + 3 = 2𝑦 + 1 ⟹ 𝑦 = 2\) dan \(𝑥 = 5\), jadi \(𝑥 + 𝑦 = 7\).

Tinggi \(A\) mula-mula \(= A\)
Tinggi \(B\) mula-mula \(= B\)
Setelah 3 jam kedua lilin memiliki tinggi yang sama
\((𝐴 −\frac{3}{11}𝐴) = (𝐵 −\frac{3}{7}B)\)
\(\frac{8}{11}𝐴 =\frac{4}{7}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{44}{56}=\frac{11}{14}\)
Jadi rasio tinggi mula-mula adalah \(11 : 14\)

Pohon pertama tumbuh 3 cm setiap 2 bulan artinya dalam 6 bulan tumbuh 9 cm. pohon kedua 5 cm setiap 6 bulan. Dengan menggunakan tabel

Jadi kedua pohon memiliki tinggi yang sama pada bulan ke 54

\(𝐴 = 𝐾𝑃𝐾(5,6,8,9,12)𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒𝐴 = 360𝑛 + 1 = 13𝑚\)
\(⇒360𝑛 + 1 = 0 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒360𝑛 = −1 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒9𝑛 = 12\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒27𝑛 = 36\; 𝑚𝑜𝑑\; 13\)
\(⇒𝑛 = 10\)
\(⇒𝐴 = 3601\)

\(𝐵 = 𝐾𝑃𝐾(12,18,21,28)𝑚 + 3 = 252𝑚 + 3\)
Karena \(B\) bilangan \(4\) digit terbesar maka nilai \(𝑚 = 39\)
Jadi \(B\) terbesar \(4\) digit adalah \(9828+3 = 9831\)

Jadi nilai \(B – A\) adalah \(9831 – 3601 = 6230\)

\(\frac{1}{15}=\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}\)
\(\frac{1}{15}=\frac{a+b}{𝑎b}\)
\(ab=15a+15b\)
\(ab-15a-15a=0\)
\((a-15)(b-15)-225=0\)
\((a-15)(b-15)=225=1×225=3×75=5×45=9×25\)

dari persamaan di atas diperole 4 kemungkinan nilai \((a,b)\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(3𝑛\) dan \(7𝑛\), Jika \(21\) ditambahkan ke masing-masing bilangan maka

\(\frac{3𝑛 + 21}{7𝑛 + 21}=\frac{1}{3}\)
\(⇒ 3(3𝑛 + 21) = 7𝑛 + 21\)
\( ⇒ 9𝑛 + 63 = 7𝑛 + 21\)
\(⇒ 2𝑛 = −42 \)
\(⇒ 𝑛 = −21\)

jadi selisih kedua bilangan adalah \(3𝑛 − 7𝑛 = −4𝑛 = −4(−21) = 84\).

Karena saling mengunjungi maka banyak kunjungan maksimum adalah

\(2{10\choose 2}=2\left(\frac{10!}{8! 2!}\right) = 2(45) = 90\)

Jadi banyak junjungan maksimum ada 90 kunjungan.

\(\frac{3^2 + 1}{3^2 − 1}+\frac{5^2 + 1}{5^2 − 1}+\frac{7^2 + 1}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 + 1}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1 + 2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1 + 2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1 + 2}{7^2 − 1}+ ⋯ +\frac{99^2 − 1 + 2}{99^2 − 1}\)
\(=\frac{3^2 − 1}{3^2 − 1}+\frac{2}{3^2 − 1}+\frac{5^2 − 1}{5^2 − 1} + \frac{2}{5^2 − 1}+\frac{7^2 − 1}{7^2 − 1}+\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ +1+\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(=1+\frac{2}{3^2 − 1}+ 1 + \frac{2}{5^2 − 1}+ 1 +\frac{2}{7^2 − 1}+ ⋯ + 1 +\frac{2}{99^2 − 1}\)
\(= 49 + \left(\frac{2}{2 × 4}+\frac{2}{4 × 6}+\frac{2}{6 × 8}+ ⋯ +\frac{2}{98 × 100}\right)\)
\(= 49 + \left(\frac{1}{2}−\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}−\frac{1}{8}+ ⋯ +\frac{1}{98}−\frac{1}{100}\right)\)
\(= 49 +\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{100}\right) = 49 +\frac{49}{100}\)
\(= 49 + 0,49 = 49,49\)

\(𝑛 = 2𝑎 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 2𝑎 − 2 = 2(𝑎 − 1)\)
\(𝑛 + 1 = 3𝑏 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 3𝑏 − 3 = 3(𝑏 − 1)\)
\(𝑛 + 2 = 4𝑐 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 4𝑐 − 4 = 4(𝑐 − 1)\)
\(𝑛 + 3 = 5𝑑 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 5𝑑 − 5 = 5(𝑑 − 1)\)
\(𝑛 + 4 = 6𝑒 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 6𝑒 − 6 = 6(𝑒 − 1)\)
\(𝑛 + 6 = 8𝑓 ⇒ 𝒏 − 𝟐 = 8𝑓 − 8 = 8(𝑓 − 1)\)
\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2, 3, 4, 5, 6, 8). 𝑘, 𝑘\) bilangan cacah.
bilangan keempat diperoleh ketika nilai \(𝑘=3\) 

\(𝑛 − 2 = 𝐾𝑃𝐾(2,3,4,5,6,8). 3 ⇒ 𝑛 = 120(3) + 2 = 360 + 2 = 362\)

\(\frac{5}{𝑎}= 𝑏 + 𝑐 ⇒ 5 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐\)
\(\frac{10}{𝑏}= 𝑐 + 𝑎 ⇒ 10 = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏\)
\(\frac{13}{𝑐}= 𝑎 + 𝑏 ⇒ 13 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐\)
jumlahakan ketiga persamaan, diperoleh
\(2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) = 28\)
\(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 = 14\)
Nilai \(𝑎𝑏 = 14 − 13 = 1, 𝑏𝑐 = 14 − 5 = 9\), dan \(𝑎𝑐 = 14 − 10 = 4\)
Kalikan nilai \(𝑎𝑏, 𝑏𝑐\) dan \(𝑎𝑐\)

\(𝑎𝑏. 𝑎𝑐. 𝑏𝑐 = 1.9.4\)
\(⇒𝑎^2𝑏^2𝑐^2 = 36\)
\(⇒𝑎𝑏𝑐 = \sqrt{36} = 6\)

Jadi nilai dari \(𝑎𝑏𝑐 = 6\)

Luas daerah berwarna putih sama dengan 2 kali luas persegi dikurang luas berwarna kuning yaitu \(2(16) − 27 = 32 − 27 = 5\) 𝑐𝑚².
Jadi luas daearah berwarna orange sama dengan luas persegi kurangi luas daerah berwarna putih yaitu \(16 – 5 = 11\) 𝑐𝑚²

\((2^3)^4 = (2^6)^2 = (64)^2\)
\((3^2)^4 = (3^4)^2 = (81)^2\)
\((4^2)^3 = (4^3)^2 = (64)^2\)
Yang terbesar adalah \((81)^2\), jadi nilai maksimum \(n\) adalah \(6561\)

Bilangan dua digit : \(\{10, 11, 12, …, 99\}\), banyaknya ada \(90\) bilangan.
Bilangan dua digit yang jumlah digitnya \(5\) yaitu \(50, 23, 32, 14, 41\) ada \(5\) bilangan.
Jadi peluangnya adalah \(\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\)

\(\overline{ab} −\overline{cn}+\overline{cn} −\overline{db} = 40+50\)
\(\overline{ab} +\overline{db}=90\)
selanjutnya
\(\overline{abdb} +\overline{dbab}\)
\(= 100\overline{ab} + \overline{db} +100\overline{db} + \overline{ab}\)
\(= 101\overline{ab}+ 101\overline{db}\)
\(= 101(\overline{ab}+\overline{db})\)
\(= 101(90) = 9090\)
Jadi jumlah digitnya adalah \(9 + 0 + 9 + 0 =18\)

Syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digitnya kelipatan 9.
Bilangan terkecil 7 digit adalah 1234567 jumlah digitnya 28, bilangan terbesar 7 digit adalah
9876543 jumlah digitnya adalah 42, artinya bilangan 7 digit yang habis dibagi 9 jumlah digitnya
adalah 36.
Kombinasi bilangan 7 digit yang mungkin adalah 1236789, 1245789, 1345689, 2345679.
Selanjutnya kita cek banyak susunan bilangan 7 digit tersebut dengan syarat angka genap
tidak boleh ditempatkan di satuan, artinya terdapat 4 angka ganjil yang dapat ditempatkan
pada posisi satuan, banyak cara adalah 6.5.4.3.2.1.4 = 6!.4 cara.
Karena ada 4 kombinasi bilangan yang dapat dibagi 9, maka banyak cara menyusun bilangan 7 angka tersebut adalah 4. 6!. 4 = 11520

\((2𝑛 + 1) + (2𝑛 + 3) + (2𝑛 + 5) + … + (2𝑛 + 47) = 5280\)
\(⟹ 2𝑛(24) + (1 + 3 + 5 + ⋯ + 47) = 5280\)
Jumlah \(𝑛\) bilangan ganjil adalah \(𝑛^2\)
\(⟹ 2𝑛(24) + 24^2 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 + 576 = 5280\)
\(⟹ 48𝑛 = 5280 − 576\)
\(⟹ 48𝑛 = 4704\)
\(⇒ 𝑛 = 98\)
Jadi nilai dari
\(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 98 =\frac{98(1 + 98)}{2}= 4851\)

\(𝑥𝑦 + 8𝑥 + 𝑦 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) − 8 = 83\)
\((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) = 91\)
Pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yang memenuhi adalah \((−91, −1), (−1, −91), (−13, −7), (−7, −13), (91,1), (1,91), (13,7), (7,13)\)
Banyak pasangan \((𝑥, 𝑦)\) sama dengan banyaknya pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yaitu ada \(8\) pasangan.

Atau banyaknya pasangan bilangan bulat \((x,y)\) dapat diperoleh dari banyaknya factor positif dari \(91\)
kemudian dikalikan dua. Banyak factor positif dari \(91\) ada \(4\), Jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(4 × 2 = 8\) pasangan

Menggunakan sifat segiempat tali busur.
Dari perpotongan diagonal persegi kita dapatkan \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90°\). Akibatnya segiempat \(𝐴𝐵𝐸𝑂\) adalah segiempat tali busur.
Dari sifat segiempat tali busur, karena \(∠𝐴𝐵O\) dan \(∠𝐴𝐸𝑂\) menghadap busur yang sama maka
\(∠𝐴𝐵O=∠𝐴𝐸𝑂=45°\)

Misalkan
\(𝑎 = 0,044 ⇒ 10𝑎 = 0,44\)
\(𝑏 = 0,006 ⇒ 10𝑏 = 0,06\)
\(𝑐 = 0,0024 ⇒ 10𝑐 = 0,024\)
Diperoleh
\(\frac{(0,44)^2 + (0,06)^2 + (0,024)^2}{(0,044)^2 + (0,006)^2 + (0,0024)^2}\)
\(=\frac{(10𝑎)^2 + (10𝑏)^2 + (10𝑐)^2}{(𝑎)^2 + (𝑏)^2 + (𝑐)^2}\)
\(=\frac{100𝑎^2 + 100𝑏^2 + 100𝑐^2}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(=\frac{100(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2)}{𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2}\)
\(= 100\)

• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 0, pukul 00.00 ada 1
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 1, angka pada jam yaitu (01, 10) dan
  angka pada menit yaitu (01, 10), banyak kemungkinan ada 4
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 2, angka pada jam yaitu (02, 11, 20) dan angka pada menit yaitu (02, 11, 20), banyak kemungkinan ada 9
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 3, angka pada jam yaitu (03, 12, 21) dan angka pada menit yaitu (03, 12, 21, 30), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 4, angka pada jam yaitu (04, 13, 22) dan angka pada menit yaitu (04, 13, 22, 31, 40), banyak kemungkinan ada 15
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 5, angka pada jam yaitu (05, 14, 23) dan angka pada menit yaitu (05, 14, 23, 32, 41, 50), banyak kemungkinan ada 18
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 6, angka pada jam yaitu (06, 15) dan angka pada menit yaitu (06, 15, 24, 33, 42, 51), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 7, angka pada jam yaitu (07, 16) dan angka pada menit yaitu (07, 16, 25, 34, 43, 52), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 8, angka pada jam yaitu (08, 17) dan angka pada menit yaitu (08, 17, 26, 35, 44, 53), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 9, angka pada jam yaitu (09, 18) dan angka pada menit yaitu (09, 18, 27, 36, 45, 54), banyak kemungkinan ada 12
• Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 10, angka pada jam yaitu (19) dan angka pada menit yaitu (19, 28, 37, 46, 55), banyak kemungkinan ada 5

Jadi banyaknya semua kemungkinan adalah
1 + 4 + 9 + 12 + 15 + 18 + 12 + 12 + 12 + 12 + 5 = 112

Karena nilai \(a\) adalah akar dari \(f(x)\) maka \(𝑓(𝑎) = 0 ⇒ 𝑎^2 + 4𝑎 + 21 = 0\)
Selanjutnya
\(𝑎^4 − 𝑎^3 + 𝑎^2 = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎2(𝑎2 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎^2(−4𝑎 − 21 − 𝑎 + 1) = 𝑛𝑎\)
\(⇒ 𝑎(−5𝑎 − 20) = 𝑛\)
\(⇒ −5𝑎(𝑎 + 4) = 𝑛\)
\(⇒ −5(𝑎^2 + 4𝑎) = 𝑛\)
\(⇒ −5(−21) = 𝑛\)
\(⇒ 𝑛 = 105\)

\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1870 … (1)\)
\(𝑏 + 50\%𝑐 = 𝑐 + 80\%𝑏 …(2)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 …(3)\)
Dari persamaan \((2)\)
\(𝑏 − 0,8𝑏 = 𝑐 − 0,5𝑐\)
\(0,2𝑏 = 0,5𝑐\)
\(2𝑏 = 5𝑐\)
Diperoleh perbandingan \(𝑏: 𝑐 = 5 ∶ 2\).
Dari persamaan \((3)\)
\(𝑎 = 30\%𝑏 ⇒ 10𝑎 = 3𝑏 ⇒ 𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\)
Karena \(𝑏: 𝑐 = 5: 2\) dan \(𝑎: 𝑏 = 3 ∶ 10\) maka perbandingan \(𝑎: 𝑏: 𝑐 = 3 ∶ 10 ∶ 4\)
Jadi nilai \(𝑎 + 𝑐 =\frac{3+4}{3+10+4}(1870) =\frac{7}{17}(1870) = 770\)

9 ada 1
91, 19 ada 2
911, 191, 119 ada 3
9111, 1911, 1191, 119 ada 4
Berdasarkan pola di atas, terlihat bahwa bilangan 1 digit ada 1, 2 digit ada 2, 3 digit ada 3 dan seterusnya.

Karena 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45, maka suku ke-45 berada pada barisan akhir yang banyak angkanya ada 9 yaitu 111111119

Kalikan pembilanganya dengan \(10^{2023}\), nilainya tidak mengubah nilai ujung kanan tak nol dari
\(\frac{1}{2^{2023}}\) Hasilnya adalah

\(\frac{10^{2023}}{2^{2023}} = 5^{2023}\)

Karena \(5^{2023} mod\; 10 ≡ 5\), maka dapat disimpulkan bilangan ujung kanan pada decimal expantion
dari \(\frac{1}{2^{2023}}\) adalah \(5\).

30. Find the value of \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒\) given \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒\) are real numbers satisfying the following equations:

\(𝑎^2 = 2𝑒 + 23\)
\(𝑏^2 = 10𝑎 − 34\)
\(𝑐^2 = 8𝑏 − 23\)
\(𝑑^2 = 6𝑐 − 14\)
\(𝑒^2 = 4𝑑 − 7\).

Solution

Jumlahkan kelima persamaan di atas

\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 = 10𝑎 + 8𝑏 + 6𝑐 + 4𝑑 + 2𝑒 − 55\)
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 𝑑^2 + 𝑒^2 − 10𝑎 − 8𝑏 − 6𝑐 − 4𝑑 − 2𝑒 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 − 25 + (𝑏 − 4)^2 − 16 + (𝑐 − 3)^2 − 9 + (𝑑 − 2)^2 − 4 + (𝑒 − 1)^2 − 1 + 55 = 0\)
\((𝑎 − 5)^2 + (𝑏 − 4)^2 + (𝑐 − 3)^2 + (𝑑 − 2)^2 + (𝑒 − 1)^2 = 0\)

diperoleh \(𝑎 = 5, 𝑏 = 4, 𝑐 = 3, 𝑑 = 2\) dan \(𝑒 = 1\)

Jadi jumlah dari \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55\)

Untuk memastikan mendapatkan 5 bola bernomor satu maka terlebih dahulu menghabiskan bola yang diada di keranjang bernomor 2, 3, 4 dan 5, banyak pengambilan ada 27(4) = 108. Setelah itu dilanjutnya mengambil 5 bola di keranjang bernomor 1. Jadi banyak pengambilan minimal sehingga dipastikan mendapat bola bernomor 5 adalah 108 + 5 = 113 pengambilan.

Karena kedua garis berpotongan di titik \((16, 27)\) maka memenuhi
\(𝑦 =\frac{5}{4}𝑥 + 𝑚 ⇒ 𝑚 = 𝑦 −\frac{5}{4}𝑥 = 27 −\frac{5}{4}(16) = 27 − 20 = 7\)
dan
\(𝑦 =\frac{3}{2}𝑥 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑦 −\frac{3}{2}𝑥 = 27 −\frac{3}{2}(16) = 27 − 24 = 3\)
Jadi nilai \(𝑚 + 𝑛 = 7 + 3 = 10\)

\(((𝑥 + 2𝑦) + 4)^8 = {8\choose 8}(𝑥 + 2𝑦)^84^0 + {8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1 + ⋯ + {8\choose 0}(𝑥 + 2𝑦)^04^8\)
Bagian \(𝑥^5𝑦^2\) muncul di expansi \({8\choose 7}(𝑥 + 2𝑦)^74^1\).

\((𝑥 + 2𝑦)^7 = {7\choose 7}𝑥^7 + {7\choose 6}𝑥^6(2𝑦) + {𝟕\choose 𝟓}𝒙^𝟓(𝟐𝒚)^𝟐 + ⋯ + {7\choose 7}(2𝑦)^7\)

Jadi koefisien dari \(𝑥^5𝑦^2\) adalah \({8\choose 7}4{7\choose 5}2^2 = 2688\)

\(\sqrt{20475. 𝑥} = \sqrt{225(91)(𝑥)} = 15\sqrt{91𝑥}\)
Karena \(91\) tidak mempunyai factor kuadrat selain \(1\) maka nilai \(x\) yang memenuhi agar \(\sqrt{91𝑥}\) adalah
bilangan bulat adalah \(𝑥 = 91\)

Misalkan perpotongan AP dan DN adalah titik X, DM dan AP adalah titik Y dan DM dan AN adalah titik Z.

\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝑊𝑌 ≈ Δ𝐴𝐷𝑃\), maka berlaku perbandingan
\(\frac{𝑊𝑌}{𝐷𝑃}=\frac{𝐴𝑊}{𝐴𝐷}⇒ 𝑊𝑌 =\frac{2}{4}(2) = 1\)
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝐶𝑁, ∠𝐷𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑁, ∠𝐷𝐴𝑀 = ∠𝐷𝐶𝑁 = 90°, ∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑃𝐴\).
Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃\) dan \(Δ𝐷𝑃𝑋\), karena \(∠𝑋𝐷𝑃 = ∠𝐷𝐴𝑃\) dan \(∠𝐷𝑃𝑋 = ∠𝐷𝑃𝐴\) maka \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝑋𝑃\),
akibatnya \(∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐷𝑋𝑃 = 90°\), juga berlaku perbandingan
\(\frac{𝑃𝑋}{𝑋𝐷}=\frac{𝑋𝐷}{𝐴𝑋}=\frac{𝐷𝑃}{𝐴𝐷}=\frac{1}{2}\)
\(⇒ 4𝑃𝑋 = 𝐴𝑋 ⇒ 𝑃𝑋: 𝐴𝑋 = 1: 4\)
Dengan menngunakan rumus pythagoras
\(𝐴𝑃 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\)
Panjang \(AX =\frac{4}{5}\sqrt{5}\),
panjang \(DX=\frac{1}{2}𝐴𝑋=\frac{1}{2}(\frac{4}{5}
\sqrt{5})=\frac{2}{5}\sqrt{5}\)
Jadi luas
\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\)
\(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) =

Misalkan
\(𝑛^2 + 24𝑛 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 144 + 16 = 𝑚^2\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 144 − 16\)
\(⇒(𝑛 + 12)^2 − 𝑚^2 = 128\)
\(⇒(𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 128\)
Karena \((𝑛 + 𝑚 + 12)\) 𝑑𝑎𝑛 \((𝑛 − 𝑚 + 12)\) memiliki paritas sama dan \((𝑛 + 𝑚 + 12)>(𝑛 − 𝑚 + 12)\) maka
\((𝑛 + 𝑚 + 12)(𝑛 − 𝑚 + 12) = 64 × 2 = 16 × 8 = 32 × 4\)
Nilai \(n\) maksimum dicapai ketika nilai
\(𝑛 + 𝑚 + 12 = 64\)
\(𝑛 − 𝑚 + 12 = 2\)
Jumlahkan kedua persamaan, diperoleh
\(2𝑛 + 24 = 66 ⇒ 2𝑛 = 42 ⇒ 𝑛 = 21\)
Jadi nilai \(n\) terbesar adalah \(21\)

\(\frac{\sqrt{𝑎^2 − 18}}{3}= 2 ⇒ \sqrt{𝑎^2 − 18} = 6 ⇒ 𝑎^2 − 18 = 36 ⇒ 𝑎^2 = 54\)
\(\sqrt{𝑏^2 − 98}{7}= 2 ⇒ \sqrt{𝑏^2 − 98} = 14 ⇒ 𝑏^2 − 98 = 196 ⇒ 𝑏^2 = 294\)
\(\frac{\sqrt{𝑐^2 − 32}}{4}= 2 ⇒ \sqrt{𝑐^2 − 32} = 8 ⇒ 𝑐^2 − 32 = 64 ⇒ 𝑐^2 = 96\)
Jadi nilai dari
\(\sqrt{𝑎^2 + 27} + \sqrt{𝑏^2 + 147} + \sqrt{𝑐^2 + 48}\)
\(= \sqrt{54 + 27} + \sqrt{294 + 147} + \sqrt{94 + 48}\)
\(= \sqrt{81} + \sqrt{441} + \sqrt{144} = 9 + 21 + 12 = 42\)

Dengan menggunakan rumus pyhtagoras diperoleh persamaan
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = (𝑛 + 1)^2\)
\(𝑛^2 + 𝑚^2 = 𝑛^2 + 2𝑛 + 1\)
\(𝑚^2 = 2𝑛 + 1\)
\(2𝑛 = 𝑚^2 − 1\)
\(𝑛 =\frac{𝑚^2 − 1}{2}≤ 60\)
Kemungkinan nilai \(m\) adalah \(\{4, 12, 24, 40, 60\}\), jadi banyaknya segitiga yang terbentuk bergantung banyaknya nilai m yang memenuhi yaitu sebanyak \(5\) segitiga.

karena koefisien dari \(𝑦^2\) adalah \(-1\) maka kemungkinan
\((𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦 + 𝑑)\)
\(= 𝑥^2 − 𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦^2 + 𝑦𝑑 + 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑏𝑑\)
\(= 𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑\)
Karena \(𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑 = 𝑥^2 − 𝑦^2 + 11𝑥 + 7𝑦 + 18\), maka diperoleh
\(𝑑 + 𝑏 = 11, 𝑑 − 𝑏 = 7\) dan \(𝑏𝑑 = 18\), nilai \(𝑏\) dan \(𝑑\) yang memenuhi adalah \(2\) dan \(9\).
Jadi nilai dari
\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 + 2 − 1 + 9 = 11\)

\(2^𝑥 + 2^𝑦 = 20\)
\(2^𝑥 + 2^{6−𝑥} = 20\)
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20\)
Misalkan \(𝑎 = 2𝑥\), diperoleh
\(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20 ⇒ 𝑎 +\frac{64}{𝑎}= 20 ⇒ 𝑎^2 − 20𝑎 + 64 = 0 ⇒ (𝑎 − 16)(𝑎 − 4) = 0\)
Nilai 𝑎 yang memenuhi adalah \(4\) dan \(16\).
Untuk \(𝑎 = 4 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2\)
Untuk \(𝑎 = 16 ⇒ 2𝑥 = 16 ⇒ 𝑥 = 4\)
Karena \(𝑥 + 𝑦 = 6\), maka pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((2,4)\) dan \((4,2)\)