Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.
Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.
Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.
1. Jika \(26\) dibagi oleh \(n\) maka akan bersisa \(2\). Tentukan jumlah semua nilai \(n\) yang memenuhi.
\(26 = 𝑛𝑎 + 2\) \(𝑛𝑎 = 24, 𝑛 > 2\) karena bersisa \(2\) Nilai \(n\) yang memenuhi \(𝑛 = {3, 4, 6, 8, 12, 24}\) Jumlah nilai \(𝑛 = 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 24 = 57\)
2. \(\overline{abc}\) adalah bilangan tiga digit yang memenuhi \(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 12\). Tentukan berapa banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang memenuhi kondisi tersebut.
\(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 12\) \(𝑎, 𝑏\) dan \(𝑐\) bilangan satu digit karena harus memenuhi bilangan tiga digit \(\overline{abc}\).
\((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,2,6)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
\((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1,3,4)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk = 3! = 6
\((𝑎, 𝑏, 𝑐) = (2,2,3)\) dan permutasinya, banyak bilangan \(\overline{abc}\) yang terbentuk \(=\frac{3!}{2!}= 3\)
Jadi banyak bilangan yang terbentuk ada \(6 + 6 + 3 = 15\)
3. Berapa banyak pasangan bilangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi jumlah kedua bilangan adalah \(528\) dan FPBnya adalah \(33\).
Misal \(𝑎 = 33𝑥\) dan \(𝑏 = 33𝑦\) karena \(FPB(a,b) = 33\), maka haruslah \(x\) dan \(y\) bilangan asli saling prima. \(𝑎 + 𝑏 = 33𝑥 + 33𝑦 = 528\) \(= 𝑥 + 𝑦 = 16\) Pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \((1,15), (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10), (7,9), (8,8)\) Karena \(x\) dan \(y\) saling prima maka pasangan yang memenuhi adalah \((1,15), (3,13), (5,11)\) dan \((7,9)\). Jadi banyaknya pasangan \((𝑎, 𝑏)\) ada \(4\)
4. Rata-rata 8 buah bilangan adalah 99. Selisih dua bilangan terbesarnya adalah 18 dan rata-rata 6 bilangan sisanya adalah 87. Bilangan terbesarnya adalah …
6. \(x\) dan \(y\) adalah digit bilangan \(\overline{xy}\). Nilai \(x\) lebih \(3\) dari \(y\). Ketika bilangan dua digit tersebut dibagi dengan jumlah digitnya maka menghasikan \(7\) dan bersisa \(3\). Tentukan nilai dari \(𝑥 + 𝑦\).
7. Lilin A dan B berdiameter sama akan dinyalakan secara bersamaan. Lilin A akan habis dalam waktu 11 jam dan lilin B akan habis dalam waktu 7 jam. Setelah 3 jam dinyalakan, kedua lilin memiliki tinggi yang sama. Tentukan rasio dari tinggi kedua lilin mula-mula?
Tinggi \(A\) mula-mula \(= A\) Tinggi \(B\) mula-mula \(= B\) Setelah 3 jam kedua lilin memiliki tinggi yang sama \((𝐴 −\frac{3}{11}𝐴) = (𝐵 −\frac{3}{7}B)\) \(\frac{8}{11}𝐴 =\frac{4}{7}𝐵\) \(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{44}{56}=\frac{11}{14}\) Jadi rasio tinggi mula-mula adalah \(11 : 14\)
8. Pada sebuah kebun terdapat 2 pohon. Pohon pertama tingginya 44 cm dan pohon kedua 80 cm. Pohon pertama tumbuh 3 cm setiap 2 bulan dan pohon kedua 5 cm setiap 6 bulan. Setelah berapa bulan dari bulan ini kedua pohon memiliki tinggi yang sama?
Pohon pertama tumbuh 3 cm setiap 2 bulan artinya dalam 6 bulan tumbuh 9 cm. pohon kedua 5 cm setiap 6 bulan. Dengan menggunakan tabel
Jadi kedua pohon memiliki tinggi yang sama pada bulan ke 54
9. A adalah bilangan terkecil yang apabila dibagi 5, 6, 8, 9 dan 12 akan bersisa 1, tetapi ketika dibagi 13 tidak bersisa. B adalah bilangan terbesar 4 digit yang jika dibagi 12, 18, 21 dan 28 akan bersisa 3. Tentukan nilai dari \(B – A\) ?
\(𝐵 = 𝐾𝑃𝐾(12,18,21,28)𝑚 + 3 = 252𝑚 + 3\) Karena \(B\) bilangan \(4\) digit terbesar maka nilai \(𝑚 = 39\) Jadi \(B\) terbesar \(4\) digit adalah \(9828+3 = 9831\)
Jadi nilai \(B – A\) adalah \(9831 – 3601 = 6230\)
10. Sebuah pecahan dapat di hasilkan dari penjumlahan dua pecahan berbentuk
\(\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}\)
dimana \(𝑎 ≠ ±1\) dan \(a\) bilangan asli. Sebagai contoh:
dari persamaan di atas diperole 4 kemungkinan nilai \((a,b)\)
11. Dua bilangan memiliki perbandingan 3 : 7. Jika 21 ditambahkan ke masing-masing bilangan, perbandingan menjadi 1 : 3. Selisih kedua bilangan tersebut adalah …
Misalkan bilangan tersebut adalah \(3𝑛\) dan \(7𝑛\), Jika \(21\) ditambahkan ke masing-masing bilangan maka
jadi selisih kedua bilangan adalah \(3𝑛 − 7𝑛 = −4𝑛 = −4(−21) = 84\).
12. Suatu desa dihuni oleh 10 rumah tangga. Jika pada hari raya setiap kepala keluarga saling mengunjungi ke setiap rumah tangga lainnya, maka kemungkinan maksimal banyak kunjungan tersebut adalah …
Karena saling mengunjungi maka banyak kunjungan maksimum adalah
14. Diketahui bilangan bulat positif \(n\) memiliki sifat berikut \(2\) membagi \(n, 3\) membagi \(n+1, 4\) membagi \(n+2, 5\) membagi \(n+3, 6\) membagi \(n+4, 8\) membagi \(n+6\). Bilanga positif pertama yang memiliki sifat ini adalah \(2\). Tentukan bilangan positif ke-empat yang memenuhi.
16. Diketahui persegi berukuran sama seperti gambar di bawah ini.
Jika jumlah luas daerah gabungan yang berwarna kuning adalah 27 cm², tentukan luas daerah yang berwarna orange.
Luas daerah berwarna putih sama dengan 2 kali luas persegi dikurang luas berwarna kuning yaitu \(2(16) − 27 = 32 − 27 = 5\) 𝑐𝑚². Jadi luas daearah berwarna orange sama dengan luas persegi kurangi luas daerah berwarna putih yaitu \(16 – 5 = 11\) 𝑐𝑚²
17. Diketahui \(𝐴 = \{0, 1, 2, 3, 4\}, 𝑎, 𝑏\) dan \(𝑐\) adalah \(3\) anggota yang berbeda dari \(A\), dan \((𝑎^𝑏)^𝑐= 𝑛\).
Nilai maksimum dari \(𝑛\) adalah …
\((2^3)^4 = (2^6)^2 = (64)^2\) \((3^2)^4 = (3^4)^2 = (81)^2\) \((4^2)^3 = (4^3)^2 = (64)^2\) Yang terbesar adalah \((81)^2\), jadi nilai maksimum \(n\) adalah \(6561\)
18. Bilangan dua digit dipilih secara acak. Tentukan peluang yang terambil jumlah digitnya adalah \(5\)?
Bilangan dua digit : \(\{10, 11, 12, …, 99\}\), banyaknya ada \(90\) bilangan. Bilangan dua digit yang jumlah digitnya \(5\) yaitu \(50, 23, 32, 14, 41\) ada \(5\) bilangan. Jadi peluangnya adalah \(\frac{5}{90}=\frac{1}{18}\)
19. Diketahui \(\overline{ab} −\overline{cn} = 40\) dan \(\overline{cn}+\overline{db} = 50\). Tentukan jumlah digit dari hasil penjumlahan \(\overline{abdb} +\overline{dbab}\).
20. Sebuah bilangan 7 digit akan disusun tanpa pengulangan dengan menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Tentukan berapa banyak bilangan 7 digit yang memenuhi habis dibagi 9 tetapi tidak habis dibagi 2.
Syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah digitnya kelipatan 9. Bilangan terkecil 7 digit adalah 1234567 jumlah digitnya 28, bilangan terbesar 7 digit adalah 9876543 jumlah digitnya adalah 42, artinya bilangan 7 digit yang habis dibagi 9 jumlah digitnya adalah 36. Kombinasi bilangan 7 digit yang mungkin adalah 1236789, 1245789, 1345689, 2345679. Selanjutnya kita cek banyak susunan bilangan 7 digit tersebut dengan syarat angka genap tidak boleh ditempatkan di satuan, artinya terdapat 4 angka ganjil yang dapat ditempatkan pada posisi satuan, banyak cara adalah 6.5.4.3.2.1.4 = 6!.4 cara. Karena ada 4 kombinasi bilangan yang dapat dibagi 9, maka banyak cara menyusun bilangan 7 angka tersebut adalah 4. 6!. 4 = 11520
21. Jika \((2𝑛+1) + (2𝑛+3) + (2𝑛+5) + … + (2𝑛+47) = 5280\), tentukan nilai dari \(1+2+3+⋯+𝑛\).
22. Berapa banyak pasangan bilangan bulat \((x, y)\) yang memenuhi persamaan \(𝑥𝑦+8𝑥+𝑦=83\).
\(𝑥𝑦 + 8𝑥 + 𝑦 = 83\) \((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) − 8 = 83\) \((𝑥 + 1)(𝑦 + 8) = 91\) Pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yang memenuhi adalah \((−91, −1), (−1, −91), (−13, −7), (−7, −13), (91,1), (1,91), (13,7), (7,13)\) Banyak pasangan \((𝑥, 𝑦)\) sama dengan banyaknya pasangan \(((𝑥 + 1), (𝑦 + 8))\) yaitu ada \(8\) pasangan.
Atau banyaknya pasangan bilangan bulat \((x,y)\) dapat diperoleh dari banyaknya factor positif dari \(91\) kemudian dikalikan dua. Banyak factor positif dari \(91\) ada \(4\), Jadi banyaknya pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \(4 × 2 = 8\) pasangan
23. Perhatikan gambar berikut!
Misalkan \(𝑂\) adalah titik berat persegi \(𝐴𝐵𝐶𝐷,𝐴𝐵𝐸\) adalah segitiga siku-siku. Tentukan besar \(∠𝐴𝐸𝑂\).
Menggunakan sifat segiempat tali busur. Dari perpotongan diagonal persegi kita dapatkan \(∠𝐴𝑂𝐵 = 90°\). Akibatnya segiempat \(𝐴𝐵𝐸𝑂\) adalah segiempat tali busur. Dari sifat segiempat tali busur, karena \(∠𝐴𝐵O\) dan \(∠𝐴𝐸𝑂\) menghadap busur yang sama maka \(∠𝐴𝐵O=∠𝐴𝐸𝑂=45°\)
25. Pada saat berkendara, Roby melihat jam digitalnya, angka pada jam kali ini terlihat unik karena jumlah angka pada jam dan jumlah angka pada menit mempunyai nilai yang sama (contoh: 01:10, jumlah angka pada jam 1 dan menit juga 1). Penulisan angka pada jam digitalnya dari rentang jam 00.00 – 23.59. Tentukan berapa kali dalam sehari Roby melihat hal unik tersebut di jam digitalnya.
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 0, pukul 00.00 ada 1
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 1, angka pada jam yaitu (01, 10) dan angka pada menit yaitu (01, 10), banyak kemungkinan ada 4
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 2, angka pada jam yaitu (02, 11, 20) dan angka pada menit yaitu (02, 11, 20), banyak kemungkinan ada 9
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 3, angka pada jam yaitu (03, 12, 21) dan angka pada menit yaitu (03, 12, 21, 30), banyak kemungkinan ada 12
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 4, angka pada jam yaitu (04, 13, 22) dan angka pada menit yaitu (04, 13, 22, 31, 40), banyak kemungkinan ada 15
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 5, angka pada jam yaitu (05, 14, 23) dan angka pada menit yaitu (05, 14, 23, 32, 41, 50), banyak kemungkinan ada 18
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 6, angka pada jam yaitu (06, 15) dan angka pada menit yaitu (06, 15, 24, 33, 42, 51), banyak kemungkinan ada 12
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 7, angka pada jam yaitu (07, 16) dan angka pada menit yaitu (07, 16, 25, 34, 43, 52), banyak kemungkinan ada 12
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 8, angka pada jam yaitu (08, 17) dan angka pada menit yaitu (08, 17, 26, 35, 44, 53), banyak kemungkinan ada 12
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 9, angka pada jam yaitu (09, 18) dan angka pada menit yaitu (09, 18, 27, 36, 45, 54), banyak kemungkinan ada 12
Jumlah angka pada jam dan menit sama dengan 10, angka pada jam yaitu (19) dan angka pada menit yaitu (19, 28, 37, 46, 55), banyak kemungkinan ada 5
Jadi banyaknya semua kemungkinan adalah 1 + 4 + 9 + 12 + 15 + 18 + 12 + 12 + 12 + 12 + 5 = 112
26. Diketahui polynomial \(𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 4𝑥 + 21\). Jika \(𝑎\) adalah salah satu akarnya maka tentukan nilai \(𝑛\) yang memenuhi \(𝑎^4 − 𝑎^3 + 𝑎^2 = 𝑛𝑎\).
27. Diketahui jumlah bilangan bulat positif \(𝑎,𝑏\) dan \(𝑐\) adalah \(1870\). Nila \(𝑏\) jika ditambah \(50\%𝑐\) sama dengan nilai \(𝑐\) jika ditambah dengan \(80\%𝑏\). Nilai \(𝑎\) sama dengan \(30\%\) dari \(𝑏\). Tentukan
nilai dari \(𝑎+𝑐\)?
9 ada 1 91, 19 ada 2 911, 191, 119 ada 3 9111, 1911, 1191, 119 ada 4 Berdasarkan pola di atas, terlihat bahwa bilangan 1 digit ada 1, 2 digit ada 2, 3 digit ada 3 dan seterusnya.
Karena 1 + 2 + 3 + … + 9 = 45, maka suku ke-45 berada pada barisan akhir yang banyak angkanya ada 9 yaitu 111111119
29. What is the rightmost non-zero digit of the decimal expansion of \(\frac{1}{2^{2023}}\)?
Kalikan pembilanganya dengan \(10^{2023}\), nilainya tidak mengubah nilai ujung kanan tak nol dari \(\frac{1}{2^{2023}}\) Hasilnya adalah
\(\frac{10^{2023}}{2^{2023}} = 5^{2023}\)
Karena \(5^{2023} mod\; 10 ≡ 5\), maka dapat disimpulkan bilangan ujung kanan pada decimal expantion dari \(\frac{1}{2^{2023}}\) adalah \(5\).
30. Find the value of \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒\) given \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒\) are real numbers satisfying the following equations:
Jadi jumlah dari \(5𝑎 + 4𝑏 + 3𝑐 + 2𝑑 + 𝑒 = 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 55\)
31. Terdapat 5 keranjang berlabel 1, 2, 3, 4 dan 5 yang masing-masing berisi 27 bola bernomor sesuai dengan nomor keranjang. Jika Jaka ingin mengambil 5 bola bernomor 1 secara acak tanpa mengetahui nomor apa aja bola yang ada dalam keranjang maka berapa pengambilan minimum sehingga dipastikan Jaka mendapatkan bola sesuai keinginan.
Untuk memastikan mendapatkan 5 bola bernomor satu maka terlebih dahulu menghabiskan bola yang diada di keranjang bernomor 2, 3, 4 dan 5, banyak pengambilan ada 27(4) = 108. Setelah itu dilanjutnya mengambil 5 bola di keranjang bernomor 1. Jadi banyak pengambilan minimal sehingga dipastikan mendapat bola bernomor 5 adalah 108 + 5 = 113 pengambilan.
32. If graphs of \(𝑦 =\frac{5}{4}𝑥 + 𝑚\) and \(𝑦=\frac{3}{2}𝑥 + 𝑛\) intersect at \((16, 27)\), what is the value of \(𝑚 + 𝑛\)?
Karena kedua garis berpotongan di titik \((16, 27)\) maka memenuhi
\(𝑦 =\frac{5}{4}𝑥 + 𝑚 ⇒ 𝑚 = 𝑦 −\frac{5}{4}𝑥 = 27 −\frac{5}{4}(16) = 27 − 20 = 7\)
dan
\(𝑦 =\frac{3}{2}𝑥 + 𝑛 ⇒ 𝑛 = 𝑦 −\frac{3}{2}𝑥 = 27 −\frac{3}{2}(16) = 27 − 24 = 3\)
Jadi nilai \(𝑚 + 𝑛 = 7 + 3 = 10\)
33. What is the coefficient of \(𝑥^5𝑦^2\) in the expansion of \((𝑥 + 2𝑦 + 4)^8\)?
Jadi koefisien dari \(𝑥^5𝑦^2\) adalah \({8\choose 7}4{7\choose 5}2^2 = 2688\)
34.Tentukan bilangan bulat positif terkecil 𝑥 yang memenuhi \(\sqrt{20475. 𝑥}\) adalah bilangan bulat.
\(\sqrt{20475. 𝑥} = \sqrt{225(91)(𝑥)} = 15\sqrt{91𝑥}\) Karena \(91\) tidak mempunyai factor kuadrat selain \(1\) maka nilai \(x\) yang memenuhi agar \(\sqrt{91𝑥}\) adalah bilangan bulat adalah \(𝑥 = 91\)
35. Diketahui ABCD adalah persegi dengan panjang sisi 4. Misalkan M, N dan P adalah berturut-turut titik tengah AB, BC dan CD. Carilah luas daerah irisan Δ𝐷𝑀𝑁 dan Δ𝐴𝑁𝑃.
Misalkan perpotongan AP dan DN adalah titik X, DM dan AP adalah titik Y dan DM dan AN adalah titik Z.
\([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) \(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) Perhatikan \(Δ𝐴𝑊𝑌 ≈ Δ𝐴𝐷𝑃\), maka berlaku perbandingan \(\frac{𝑊𝑌}{𝐷𝑃}=\frac{𝐴𝑊}{𝐴𝐷}⇒ 𝑊𝑌 =\frac{2}{4}(2) = 1\) Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝐶𝑁, ∠𝐷𝐴𝑃 = ∠𝐶𝐷𝑁, ∠𝐷𝐴𝑀 = ∠𝐷𝐶𝑁 = 90°, ∠𝐶𝑁𝐷 = ∠𝐷𝑃𝐴\). Perhatikan \(Δ𝐴𝐷𝑃\) dan \(Δ𝐷𝑃𝑋\), karena \(∠𝑋𝐷𝑃 = ∠𝐷𝐴𝑃\) dan \(∠𝐷𝑃𝑋 = ∠𝐷𝑃𝐴\) maka \(Δ𝐴𝐷𝑃 ≈ Δ𝐷𝑋𝑃\), akibatnya \(∠𝐴𝐷𝑃 = ∠𝐷𝑋𝑃 = 90°\), juga berlaku perbandingan \(\frac{𝑃𝑋}{𝑋𝐷}=\frac{𝑋𝐷}{𝐴𝑋}=\frac{𝐷𝑃}{𝐴𝐷}=\frac{1}{2}\) \(⇒ 4𝑃𝑋 = 𝐴𝑋 ⇒ 𝑃𝑋: 𝐴𝑋 = 1: 4\) Dengan menngunakan rumus pythagoras \(𝐴𝑃 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\) Panjang \(AX =\frac{4}{5}\sqrt{5}\),
panjang \(DX=\frac{1}{2}𝐴𝑋=\frac{1}{2}(\frac{4}{5}
\sqrt{5})=\frac{2}{5}\sqrt{5}\) Jadi luas \([𝑋𝑌𝑍𝑁] = [𝐴𝑁𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) \(=\frac{1}{2}[𝐴𝐵𝐶𝐷] − [𝐷𝑋𝐴] − [𝐴𝑍𝐷] + [𝐷𝑌𝐴]\) =
36. Tentukan nilai bilangan bulat \(𝑛\) terbesar yang memenuhi \(𝑛^2 + 24𝑛 + 16\) adalah bilangan kuadrat sempurna.
38. Diberikan segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi 𝑛 dan 𝑚, dan panjang sisi miringnya adalah 𝑛+1. Jika 𝑚 dan 𝑛 adalah bilangan bulat dan 𝑛 ≤ 60. Tentukan ada berapa banyak segitiga yang dapat dibentuk?
Dengan menggunakan rumus pyhtagoras diperoleh persamaan \(𝑛^2 + 𝑚^2 = (𝑛 + 1)^2\) \(𝑛^2 + 𝑚^2 = 𝑛^2 + 2𝑛 + 1\) \(𝑚^2 = 2𝑛 + 1\) \(2𝑛 = 𝑚^2 − 1\) \(𝑛 =\frac{𝑚^2 − 1}{2}≤ 60\) Kemungkinan nilai \(m\) adalah \(\{4, 12, 24, 40, 60\}\), jadi banyaknya segitiga yang terbentuk bergantung banyaknya nilai m yang memenuhi yaitu sebanyak \(5\) segitiga.
39. Jika persamaan \(𝑥^2 − 𝑦^2 + 11𝑥 + 7𝑦 + 18\) dapat di faktorkan menjadi \((𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑)\) maka tentukan nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑\).
karena koefisien dari \(𝑦^2\) adalah \(-1\) maka kemungkinan \((𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦 + 𝑑)\) \(= 𝑥^2 − 𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑦^2 + 𝑦𝑑 + 𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑏𝑑\) \(= 𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑\) Karena \(𝑥^2 − 𝑦^2 + (𝑑 + 𝑏)𝑥 + (𝑑 − 𝑏)𝑦 + 𝑏𝑑 = 𝑥^2 − 𝑦^2 + 11𝑥 + 7𝑦 + 18\), maka diperoleh \(𝑑 + 𝑏 = 11, 𝑑 − 𝑏 = 7\) dan \(𝑏𝑑 = 18\), nilai \(𝑏\) dan \(𝑑\) yang memenuhi adalah \(2\) dan \(9\). Jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 + 2 − 1 + 9 = 11\)
40. Diberikan \(2^𝑥 + 2^𝑦 = 20\) dan \(𝑥 + 𝑦 = 6\). Tentukan semua pasangan bulat positif \((𝑥,𝑦)\) yang memenuhi kedua persamaan.
\(2^𝑥 + 2^𝑦 = 20\) \(2^𝑥 + 2^{6−𝑥} = 20\) \(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20\) Misalkan \(𝑎 = 2𝑥\), diperoleh \(2^𝑥 +\frac{2^6}{2^𝑥} = 20 ⇒ 𝑎 +\frac{64}{𝑎}= 20 ⇒ 𝑎^2 − 20𝑎 + 64 = 0 ⇒ (𝑎 − 16)(𝑎 − 4) = 0\) Nilai 𝑎 yang memenuhi adalah \(4\) dan \(16\). Untuk \(𝑎 = 4 ⇒ 2𝑥 = 4 ⇒ 𝑥 = 2\) Untuk \(𝑎 = 16 ⇒ 2𝑥 = 16 ⇒ 𝑥 = 4\) Karena \(𝑥 + 𝑦 = 6\), maka pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((2,4)\) dan \((4,2)\)
