Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.
Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.
Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.
1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi \(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\)
\(𝑎^2 − 𝑏^2 = 2023\) \((𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 2023\) \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) memiliki paritas yang sama yaitu keduanya ganjil atau keduanya genap, maka kemungkinan pasangan \((𝑎 + 𝑏)\) dan \((𝑎 − 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((2023, 1), (289, 7)\), dan \((119,17)\).
Kemungkinan 1 \(𝑎 + 𝑏 = 2023\) \(𝑎 − 𝑏 = 1\) _______________+ \(2𝑎 = 2024 ⇒ 𝑎 = 1012\), karena \(𝑎 − 𝑏 = 1\) , maka nilai \(𝑏 = 1011\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011)\)
Kemungkinan 2 \(𝑎 + 𝑏 = 289\) \(𝑎 − 𝑏 =7\) _______________+ \(2𝑎 = 296 ⇒ 𝑎 = 148\), karena \(𝑎 − 𝑏 = 7\) , maka nilai \(𝑏 = 141\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((148,141)\)
Kemungkinan 3 \(𝑎 + 𝑏 = 119\) \(𝑎 − 𝑏 = 17\) _______________+ \(2𝑎 = 136 ⇒ 𝑎 = 68\), karena \(𝑎 − 𝑏 = 17\) , maka nilai \(𝑏 = 51\), pasangan \((𝑎, 𝑏)\) yang memenuhi adalah \((68,51)\) 𝐽𝑎𝑑𝑖 semua pasangan \((a,b)\) yang memenuhi adalah \((1012, 1011), (148,141)\),dan \((68,51)\)
2. How many perfect squares divide \(2^3 ⋅ 3^5 ⋅ 5^7 ⋅ 7^9\)?
\(𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑑 = 𝑒 = 1\), banyak cara ada \(1\) cara
Terdapat \(4\) angka \(1\) dan bilangan lainnya adalah \(\{2, 3, 4, 5, 6\}\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{4!×5} =25\) cara
Terdapat \(3\) angka \(1\) dan bilangan \(2\) angka lainnya adalah \((2,2), (2,3), (2,4), (2,5)\), dan \((3,3)\). Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}× 2 +\frac{5!}{3!}× 3 = 10 × 2 + 20 × 3 = 80\) cara.
Terdapat \(2\) angka \(1\) dan \(3\) bilangan lainnya adalah \((2, 2, 2)\), banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!.2!}=10\) cara
Teradapat \(1\) angka \(1\) (tidak memenuhi)
Jadi banyaknya barisan pasangan bilangan bulat positif \((𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒)\) yang memenuhi sebanyak \(1+25+80+10=116\) cara
7. Saya berjalan dengan kecepatan 4 km/jam dan berlari dengan kecepatan 6 km/jam. Diketahui jika saya pergi dari rumah ke sekolah dengan cara berlari akan menghemat \(3\frac{3}{4}\) menit dibandingkan saya berjalan. Berapa km jarak rumah saya ke sekolah?
Kecepatan berjalan : \(𝑣_1 = 4\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚 Kecepatan berlari : \(𝑣_2 = 6\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚 Waktu berjalan : \(𝑡_1\) Waktu berlari : \(𝑡_2 = 𝑡_1 − 3\frac{3}{4}\) menit = \((𝑡_1 −\frac{1}{16})\) 𝑗𝑎𝑚 Samakan jarak tempuh dengan cara berjalan dan berlari
10. Ada berapa cara berbeda seorang pembantu yang ceroboh memasukan empat buah surat ke dalam Amplop, dimana tidak ada alamat surat di amplop yang sesuai dengan isi suratnya?
Banyak cara menempatkan surat adalah 4! = 24 cara
Hanya satu yang sesuai. misalkan dari 4 surat A, B, C, D yang sesuai hanya A \(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A&B&C&D\\
\hline
A&C&D&B\\
\hline
A&D&B&C\\
\hline
\end{array}\) Ada 2 cara, karena yang bersesuain bisa di A, B, C atau D, maka banyak cara ada 8 cara
Ada dua surat yang bersesuaian misalkan A dan B yang bersesuian
\(\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
A& B& C& D\\
\hline
A& B& D& C\\
\hline
\end{array}\) Ada 1 cara, kemungkinan lain selain AB yaitu, AC, AD, BC, BD, CD , maka banyak cara ada 6 cara
Ada 3 surat yang bersesuain Apabila 3 surat bersesuaian maka sama saja dengan 4 bersesuaian ada 1 cara
Jadi banyak cara berbeda seoarang pembantu yang ceroboh memasukan empat buah surat ke dalam Amplop, dimana tidak ada alamat surat di amplop yang sesuai dengan isi suratnya adalah 24 − (8 + 6 + 1) = 9 𝑐𝑎𝑟𝑎
11. Pada segitiga \(ABC\), titik \(D\) pada \(AC, AB = AD\) dan \(∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°\). Temukan besar \(∠𝐷𝐵𝐶\).
Misalkan \(∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥\) dan \(∠𝐶𝐵𝐷 = 𝑦\), karena \(AD = AB\) maka \(∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥°\) Karena \(∠𝐴𝐵𝐶 − ∠𝐴𝐶𝐵 = 30°\) maka \(∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴𝐵𝐶 − 30° = 𝑥 + 𝑦 − 30°\) Dengan menggunakan jumlah sudut segitiga
15. 40% anak perempuan dan 50% anak laki-laki dalam suatu kelas memperoleh nilai A. Jika hanya 12 murid yang memperoleh nilai A di kelas tersebut dan perbandingan murid laki-laki dan murid perempuan adalah 4 : 5, berapakah jumlah murid di kelas tersebut?
Misalkan banyak perempuan dan laki-laki adalah \(P\) dan \(L\), karena hanya 12 orang mendapatkan nilai \(A\) maka didapatkan persamaan
Jadi jumlah murid di kelas tersebut adalah \(𝑃 + 𝐿 = 5𝑛 + 4𝑛 = 9𝑛 = 9(3) = 27\)
16. Berapa banyak bilangan asli dari 1 sampai 500 yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 5.
Bilangan 1 digit : {5} ada 1
Bilangan 2 digit : {14, 19, 23, 28, …., 91, 96} ada 18
Bilangan 3 digit 100-199 bilangan yang memenuhi {104, 109, 113, 118, … ,190, 195} ada 20 200-299 bilangan yang memenuhi {203, 208, 212, 217, …,294, 299} ada 20 300-399 bilangan yang memenuhi {302, 307, 311, 316,…,393, 398} ada 20 400-500 bilangan yang memenuhi {401, 406, …, 492, 497, 500} ada 21
Jadi banyak bilangan yang memenuhi adalah 1 + 18 + 20 + 20 + 20 + 21 = 100 bilangan
17. Jika diberikan \(𝑆_𝑛 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + (−1)^{𝑛−1}𝑛\), dimana \(𝑛 = 1,2, …,\) maka tentukan nilai
19. Joni melambungkan 5 koin satu persatu, dari 5 kali pelemparan muncul gambar ada 3. Tentukan peluang dua pelemparan pertama muncul gambar?
Kemungkinan salah satu susunan adalah \(GGGAA\). Banyak permutasinya \(\frac{5!}{3!2!}=\frac{5.4.3!}{3!.2!}=\frac{20}{2}=10\). Banyaknya susunan jika dua pelemparan pertama muncul gambar \(GGGAA, GGAGA,GGAG\) ada \(3\) cara. Jadi peluang dua pelemparan pertama muncul gambar adalah \(\frac{3}{10}\)
20. For any positive real numbers \(𝑎\) dan \(b\) , define \(𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2\sqrt{𝑎𝑏}\). Find all positive real numbers \(𝑥\) such that \(𝑥^2 ∘ 9𝑥 = 121\) (HMMT)
21. Let \(ABC\) be a triangle such that \(AB = 7\), and let the angle bisector of \(∠BAC\) intersect line \(BC\) at \(D\). If there exist points \(E\) and \(F\) on sides \(AC\) and \(BC\), respectively, such that lines \(AD\) and \(EF\) are parallel and divide triangle \(ABC\) into three parts of equal area, determine the number of possible integral values for \(BC\). (HMMT)
Misalkan luas daerah 3 bagian yang sama adalah \(a\)
Karena \([𝐴𝐵𝐷] = [𝐴𝐷𝐹𝐸] = [𝐸𝐶𝐹]=a\) maka \(\frac{[𝐴𝐵𝐷]}{[𝐴𝐷𝐶]}=\frac{[ABD]}{[ADFE]+[ECF]}=\frac{a}{a+a}=\frac{1}{2}=\frac{𝐵𝐷}{𝐷𝐶}\) Dengan menggunak sifat garis bagi \(AD\) pada sudut \(∠BAC\), diperoleh rumus \(𝐴𝐵. 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶. 𝐵𝐷\) \(\frac{𝐵𝐷}{𝐶𝐷}=\frac{𝐴𝐵}{𝐴𝐶}=\frac{1}{2}\) \(⇒ 𝐴𝐶 = 2𝐴𝐵 = 2(7) = 14\) Misalkan panjang \(𝐵𝐶 = 𝑎\), dengan menggunakan pertidaksaamaan segitiga \(𝑎 + 7 > 14 ⇒ 𝑎 > 7\) \(𝑎 + 14 > 7 ⇒ 𝑎 > −7\) \(14 + 7 > 𝑎 ⇒ 𝑎 < 21\) Irisan ketiga pertidaksamaan di atas adalah \(7 < 𝑎 < 21\) Nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(\{8, 9, 10, … , 20\}\) banyaknya ada \(13\) kemungkinan.
22. Setiap kartu memiliki dua petak. Setiap petak boleh kosong atau berisi noktah paling banyak sepuluh. Satu set kartu tersebut terdiri dari semua kombinasi yang mungkin untuk mengisi petak-petak itu. Banyak noktah dalam satu set kartu tersebut adalah ….
Penukaran noktah dari petak kiri dan kanan dianggap sama.
Misalkan banyak noktah pada masing-masing kartu adalah \((x,y)\)
Dari hasil penjumlahan noktah di atas membentuk barisan bertingkat
\(3, 9, 18, 30, …\)
Karena maksimal noktah adalah 10 maka jumlah semua noktah adalah \(3 + 9 + 18 + 30 + 45 + 63 + 84 + 108 + 135 + 165 = 660\)
23. \(ABCD\) adalah persegi dengan panjang sisi \(30\) cm. Titik \(F\) berada pada garis \(CD\). Jika titik \(P\) adalah titik yang berada di dalam persegi sehingga panjang \(PA, PB\) dan \(PF\) sama panjang dan \(PF ⊥ DC\). Tentukan luas segitiga \(APB\).
Misalkan panjang \(𝐹𝑃 = 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑥\) karena \(𝑃𝐴 = 𝑃𝐵\) maka dipastikan titik \(𝐹\) merupakan titik tengah garis \(𝐷𝐶\) Karena \(PF ⊥ DC\), maka panjang \(𝑃𝐸 = 𝐹𝐸 − 𝐹𝑃 = 30 − 𝑥\) Perhatikan segitiga siku-siku \(𝑃𝐸𝐵\), dengan menggunakan rumus Pythagoras
27. Tentukan \(8\) digit terakhir dari hasi perkalian
\(11 × 101 × 1001 × 10001 × 100001 × 1000001 × 111\)
Langkah pertama kelompokkan menjadi 2 kelompok: \(11 × 101 × 10001 = 11111111\) \(111 × 1001 × 1000001 = 111111111111\) Kalikan kedua hasil di atas diperoleh \(8\) digit terakhir adalah \(87654321\), selanjunya kalikan dengan \(100001\) \(87654321 × 100001 = 87654321 × (100000 + 1) = 8765432100000 + 87654321\) Delapan bilangan terakhir dari hasil penjumlahan di atas adalah \(19754321\)
28. Diberikan \(𝑥\) dan \(𝑦\) bilangan real positif yang memenuhi persamaan
\(𝑥 − 𝑦^2 = 3, 𝑥^2 + 𝑦^4 = 13\)
Tentukan nilai \(𝑥\)
\(𝑥 − 𝑦^2 = 3\) Kuadratkan kedua ruas, diperoleh \(𝑥^2 + 𝑦^4 − 2𝑥𝑦^2 = 9\) Subtitusi persamaan \(𝑥^2 + 𝑦^4 = 13\) ke persamaan di atas
31. Jonathan membutuhkan Rp2.010.000,00 untuk acara makan malam keluarga. Dia hanya mempunyai lembaran uang 2000-an, 5000-an dan 10.000-an. Ada berapa banyak cara Jonathan membayar dengan uang tersebut.
Misalkan banyak lembaran uang 2000-an, 5000-an dan 10.000-an adalah \(𝑥, 𝑦\) dan \(𝑧\)
\(2x\) dan \(10z\) bilangan genap maka dipastikan \(5y\) juga merupakan bilangan genap, karena \(5y\) genap maka \(5y\) merupakan kelipatan \(10\). Karena \(5y\) dan \(10z\) kelipatan \(10\) maka dipastikan \(2x\) juga merupakan kelipatan \(10\). Selanjutnya dimisalkan
\(2𝑥 = 10𝑎, 5𝑦 = 10𝑏\)
Didapatkan persamaan
\(10𝑎 + 10𝑏 + 10𝑧 = 2010\) \(𝑎 + 𝑏 + 𝑧 = 201\)
Dengan mengunakan teorema star bars banyak pasangan bilangan bulat tak negative \((𝑎, 𝑏, 𝑧)\) adalah \({{201 + 3 − 1}\choose {3 − 1}}={203\choose 2} = 20503\) cara
32. A rectangular piece of paper is folded along its diagonal (as depicted below) to form a nonconvex pentagon that has an area of \(\frac{7}{10}\) of the area of the original rectangle. Find the ratio of the longer side of the rectangle to the shorter side of the rectangle.(HMMT)
33. Let \(𝑎_0, 𝑎_1, 𝑎_2, …\) denote the sequence of real numbers such that \(𝑎_0 = 2\) and \(𝑎_{𝑛+1} = \frac{𝑎_𝑛}{1+𝑎_𝑛}\) for \(𝑛 ≥ 0\). Compute \(𝑎_{2023}\).
Penyebutnya membentuk pola bilangan ganjil, bentuk umum pola ke-n adalah
\(𝑎_𝑛 =\frac{2}{2𝑛+1}\)
Jadi \(𝑎_{2023} =\frac{2}{2(2023)+1}=\frac{2}{4047}\)
34. Jika \(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}\)
, maka nilai \(x\) adalah …
\(𝑥^𝑥 = 2023^{{2023}^{2024}}= 2023^{2023.2023^{2023}} = (2023^{2023})^{2023^{2023}}\) Jadi nilai \(x\) nya adalah \(2023^{2023}\)
35. In the figure below, how many ways are there to select 5 bricks, one in each row, such that any two bricks in adjacent rows are adjacent?(HMMT)
Jadi banyak cara adalah \(6 + 14 + 16 + 15 + 10 = 61\) cara
36. \(ABC\) is an isosceles triangle with \(AB = 2\) and \(∠ABC = 90°\) . \(D\) is the midpoint of \(BC\) and \(E\) is on \(AC\) such that the area of \(AEDB\) is twice the area of \(ECD\). Find the length of \(DE\).
37.Di sebuah event beberapa siswa duduk dan sebagian siswa berdiri. 30% dari sejumlah siswa yang duduk sekarang berdiri dan pada saat berbarengan 30% dari siswa yang berdiri sekarang duduk. Sekarang jumlah yang berdiri sama dengan 42% dari jumlah seluruh siswa. Tentukan perbandingan siswa yang duduk dan berdiri mula-mula?
Misalkan Mula-mula banyaknya yang duduk adalah \(D\) dan yang berdiri adalah \(B\)
Kemungkinan nilai \(𝑦\) yang memenuhi adalah \(\{3, 6, 9, …., 201\}\). Banyaknya pasangan \((x,y)\) sma dengan banyaknya nilai \(y\) yang memenuhi yaitu \(\frac{201−3}{3}+1=67\) pasangan.
40. .Banyaknya pasangan bilangan bulat \((x,y)\) yang memenuhi \(0 < 𝑥 < 𝑦\) dan \(\sqrt{𝑥} + \sqrt{𝑦} = \sqrt{2023}\)
Karena \(0 < 𝑥 < 𝑦\) , maka kemungkinan nilai \((a, b)\) adalah \(\{(1,16), (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10), (8,9)\}\), Jadi banyak kemungkinan pasangan \((x,y)\) adalah 8 pasangan.