Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 5

Uncategorized

Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains  Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi  di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat  menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh  dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak  sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi  generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.

Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.

Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.


1. Jika \(𝑚\) dan \(𝑛\) adalah akar-akar persamaan \(𝑥^2 + 5𝑥 + 3 = 0\), maka
\(\frac{1+𝑚}{1−𝑚}+\frac{1+𝑛}{1−𝑛}\)


Berdasarkan rumus vieta

\(𝑚 + 𝑛 = −5\)
\(𝑚𝑛 = 3\)

Selanjutnya

\(\frac{1 + 𝑚}{1 − 𝑚}+\frac{1 + 𝑛}{1 − 𝑛}\)
\(=\frac{1 − 𝑛 + 𝑚 − 𝑚𝑛 + 1 + 𝑛 − 𝑚 − 𝑚𝑛}{(1 − 𝑚)(1 − 𝑛)}\)
\(=\frac{2−2𝑚𝑛}{1−(𝑚 + 𝑛)+𝑚𝑛}\)

\(=\frac{2 − 2(3)}{1 − (−5) + 3}\)
\(= −\frac{4}{9}\)


2. Jika \(𝑆(𝑛)\) didefinisikan sebagai jumlah semua bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan \(n\), maka tentukan nilai \(x\) yang memenuhi \(𝑆(10) = 𝑆(4) + 𝑆(𝑥)\)


\(𝑆(10) = 𝑆(4) + 𝑆(𝑥)\)
\(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 10 = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(55 = 10 + (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(45 = (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑥)\)
\(45=\frac{(1+x)x}{2}\)
\(𝑥 = 9\)


3. Sebuah tali dibagi menjadi \(2\) bagian dengan perbandingan panjang \(2 : 3\). Potongan yang
lebih panjang dibagi \(2\) lagi dengan perbandingan \(3 : 4\). Jika bagian yang terpendek adalah \(126\) cm, berapa total panjang tali mula-mula?


Pertama perbandingan potongan adalah \(2 : 3\), misalkan yang terpendek \(2n\) dan yang
terpanjang adalah \(3n\). Yang terpanjang dipotong menjadi \(2\) bagian dengan perbandingan \(3 ∶ 4\).
Panjang terpendek dari potongan adalah \(\frac{3}{7}(3𝑛) = 126 ⇒ 9𝑛 = 126(7) ⇒ 𝑛 = 98\)

Jadi total panjang tali mula-mula adalah \(2𝑛 + 5𝑛 = 5𝑛 = 5(98) = 490\) cm


4. Tentukan jumlah semua factor prima dari \(159999\).


\(159999 = 160000 − 1\)
\(= 20^4 − 1\)
\(= (20^2)^2 − 1^2\)
\(= (20^2 − 1)(20^2 + 1)\)
\(= (20 − 1)(20 + 1)(400 + 1)\)
\(= 19 × 3 × 7 × 401\)
Jadi jumlah semua factor prima adalah \(3 + 7 + 19 + 401 = 430\)


5. Diberikan \(𝑥\) dan \(𝑦\) bilangan real yang memenuhi persamaan \(𝑥 +\frac{1}{𝑦}= 10\) dan \(𝑦 +\frac{1}{𝑥}=\frac{5}{12}\),carilah semua nilai \(𝑥\) yang memenuhi.


\(𝑥 +\frac{1}{𝑦}= 10 ⇒\frac{1}{𝑦}= 10 − 𝑥 ⇒ 𝑦 =\frac{1}{10 − 𝑥}\)
Subtitusi nilai \(𝑦 =\frac{1}{10−𝑥}\)
ke persamaan \(𝑦 +\frac{1}{𝑥}=\frac{5}{12}\)
, diperoleh
\(\frac{1}{10 − 𝑥}+\frac{1}{𝑥}=\frac{5}{12}\)
\(\frac{𝑥 + 10 − 𝑥}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{5}{12}\)
\(\frac{10}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{5}{12}\)
\(\frac{2}{10𝑥 − 𝑥^2} =\frac{1}{12}\)
\(10𝑥 − 𝑥^2 = 24\)
\(𝑥^2 − 10𝑥 + 24 = 0\)
\((𝑥 − 6)(𝑥 − 4) = 0\)
Jadi semua nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(4\) atau \(6\)


6. In quadrilateral \(𝐴𝐵𝐶𝐷, ∠𝐷𝐴𝐶 = 98° , ∠𝐷𝐵𝐶 = 82° , ∠𝐵𝐶𝐷 = 70°\) , and \(𝐵𝐶 = 𝐴𝐷\). Find
\(∠𝐴𝐶𝐷\).


Titik \(B\) dicerminkan terhadap garis \(CB\), bayangannya adalah titik \(B’\)
Diperoleh Panjang \(BC = B’C = AD\) dan \(∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐶𝐵′𝐷 = 82°\), karena jumlah \(∠𝐶𝐴𝐷 +∠𝐶𝐵′𝐷 = 180°\) maka \(𝐴𝐶𝐵′𝐷\) merupakan segiempat siklik.
Karena panjang \(CB’=AD\) dan \(𝐴𝐶𝐵′𝐷\) merupakan segiempat siklik maka \(∠𝐴𝐶𝐵′ = ∠𝐶𝐴𝐷 =98°\)
Karena \(Δ𝐵𝐶𝐷 ≅ Δ𝐶𝐵′𝐷\) maka salah satu sudut yang bersesuaian \(∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐷𝐶𝐵′ = 70°\)
Jadi \(∠𝐴𝐶𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐵′ − 𝐷𝐶𝐵′ = 98 − 70 = 28°\)


7. Let \(𝑏\) and \(𝑐\) be real numbers, and define the polynomial \(𝑃(𝑥) = 𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐\). Suppose that \(𝑃(𝑃(1)) = 𝑃(𝑃(2)) = 0\), and that \(𝑃(1) ≠ 𝑃(2)\). Find \(𝑃(0)\).


Karena \(𝑃(𝑃(1)) = 𝑃(𝑃(2)) = 0\) maka \(𝑃(1)\) dan \(𝑃(2)\) merupakan akar-akar persamaan \(𝑃(𝑥)\) sehingga berlaku

\(𝑷(𝒙) = (𝒙 − 𝑷(𝟏))(𝒙 − 𝑷(𝟐))\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − (1 + 𝑏 + 𝑐))(𝑥 − (4 + 2𝑏 + 𝑐))\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥^2 − 4𝑥 − 2𝑏𝑥 − 𝑐𝑥 − 𝑥 − 𝑏𝑥 − 𝑐𝑥 + (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)
\(𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥^2 − (5 + 3𝑏 + 2𝑐)𝑥 + (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)

Diperoleh

\(𝑏 = 3𝑏 + 2𝑐 + 5\)
\(2𝑏 + 2𝑐 = −5\)
\(𝑏 + 𝑐 = −\frac{5}{2}\)
Dan
\(𝑐 = (1 + 𝑏 + 𝑐)(4 + 2𝑏 + 𝑐)\)
\(𝑐 = (1 −\frac{5}{2})(4 + 2 (−\frac{5}{2}− 𝑐) + 𝑐)\)
\(𝑐 = (−\frac{3}{2})(4 − 5 − 2𝑐 + 𝑐)\)
\(𝑐 = (−\frac{3}{2})(−1 − 𝑐)\)
\(𝑐 =\frac{3}{2}+\frac{3}{2}𝑐−\frac{3}{2}=\frac{1}{2}𝑐\)
\(𝑐 = −3\)


8. Diketahui

\(𝐴 =\frac{1}{6}((\log_2 3)^3 − (\log_2 6)^3 − (\log_2 12)^3 + (\log_2 24)^3)\)

Tentukan nilai dari \(2^𝐴\).


Misalkan \(\log_2 3 = 𝑎\)

\(𝐴 =\frac{1}{6}((\log_2 3)^3 − (\log_2 6)^3 − (\log_2 12)^3 + (\log_2 24)^3)\)
\(=\frac{1}{6}((\log_2 3)^3 − (\log_2 3 + \log_2 2)^3 − (\log_2 3 + \log_2 4)^3 + (\log_2 3 + \log_2 8)^3)\)
\(=\frac{1}{6}(𝑎^3 − (𝑎 + 1)^3 − (𝑎 + 2)^3 + (𝑎 + 3)^3)\)
\(=\frac{1}{6}(𝑎^3 − (𝑎^3 + 3𝑎^2 + 3𝑎 + 1) − (𝑎^3 + 6𝑎^2 + 12𝑎 + 8) + (𝑎^3 + 9𝑎^2 + 27𝑎 + 27))\)
\(=\frac{1}{6}(−3𝑎2 − 3𝑎 − 1 + 3𝑎2 + 15𝑎 + 19)\)
\(=\frac{1}{6}(12𝑎 + 18) = 2𝑎 + 3\)
Karena \(\log_2 3 = 𝑎 ⇒ 2^𝑎 = 3\)
Jadi nilai dari \(2^𝐴 = 2^{2𝑎+3} = 2^{2𝑎} . 2^3 = 3^2. 2^3 = 9 × 8 = 72\)


9. Jika dua buah dadu dilemparkan, berapa peluang munculnya jumlah angka pada dua dadu tersebut berupa bilangan komposit atau bilangan kurang dari 5?


Bilangan kurang dari 5 : {1, 2, 3, 4}
Bilangan komposit : {4, 6, 8, 9, 10, 12}
Ruang sampel pelemparan dua buah dadu adalah 36

  •  Jumlah mata dadu 2 : (1,1) ada 1
  • Jumlah mata dadu 3 : (1,2) dan (2,1) ada 2
  • Jumlah mata dadu 4 : (1,3), (2,2) dan (3,1) ada 3
  • Jumlah mata dadu 6 : (1,5), (2,4), (3,3), (4,2) dan (5,1) ada 5
  • Jumlah mata dadu 8 : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), dan (6,2) ada 5
  • Jumlah mata dadu 9 : (3,6), (4,5), (5,4), dan (6,3) ada 4
  • Jumlah mata dadu 10 : (4,6), (5,5) dan (6,4) ada 3
  • Jumlah mata dadu 12 : (6,6) ada 1
    Banyak seluruhnya ada 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24
    Jadi peluanngnya adalah \(\frac{24}{36}=\frac{2}{3}\)


10. Hitunglah nilai \(x\) jika \(\sqrt{5 + 𝑥} − \sqrt{5 − 𝑥} = 3\)


\(\sqrt{5 + 𝑥} − \sqrt{5 − 𝑥} = 3\)

Kuadratkan kedua ruas

\((\sqrt{5 + 𝑥})^2+ (\sqrt{5 − 𝑥})^2− 2(\sqrt{5 + 𝑥})(\sqrt{5 − 𝑥}) = 3^2\)
\(5 + 𝑥 + 5 − 𝑥 − 2\sqrt{25 − 𝑥^2} = 9\)
\(10 − 2\sqrt{25 − 𝑥^2} = 9\)
\(−2\sqrt{25} − 𝑥^2 = −1\)
\(\sqrt{25 − 𝑥^2} =\frac{1}{2}\)

Kuadratkan kedua ruas, diperoleh

\(25 − 𝑥^2 =\frac{1}{4}\)
\(𝑥^2 = 25 −\frac{1}{4}=\frac{99}{4}\)
\(⇒𝑥=\sqrt{\frac{99}{4}}=\sqrt{\frac{9 × 11}{4}} =\frac{3}{2}\sqrt{11}\)


11. Pada deret 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, … suku-sukunya merupakan bilangan asli yang bukan bilangan kuadrat dan bukan bilangan kubik . Tentukan suku-200 pada deret tersebut.


banyak bilanga kuadrat dari 1 sampai dengan 200 : {1, 4, 9, …, 196} ada 14 bilangan
Banyak bilangan kubik dari 1 sampai dengan 200 : {1, 8, 27, 64, 125} ada 5 bilangan
Banyak bilangan kuadrat sekaligus bilangan kubik dari 1 sampai dengan 200 : {1, 64} ada 2 bilangan .
Banyak bilangan kuadrat atau kubik dari 1 sampai dengan 200 ada 14 + 5 – 2 = 17 bilangan.
Bilangan ke-200 yaitu 200+17=217, tapi karena 216 adalah bilangan kubik maka 216 harus dihilangkan dan digantikan 218. Jadi bilangan yang ke-200 yang memenuhi syarat barisan di atas adalah 218.


12. Ada berapa cara untuk menyatakan bilangan 105 sebagai jumlah dua atau lebih bilangan berurutan?


penjumlahan 2 bilangan berurutan : 52 + 53
Penjumlahan 3 bilangan berurutan : 34 + 35 + 36
Penjumlahan 5 bilangan berurutan : 19 + 20 + 21 + 22 + 23
Penjumlahan 7 bilangan berurutan :
Penjumlahan 15 bilangan berurutan
Penjumlahan 21 bilangan berurutan:
Penjumlahan 35 bilangan berurutan:
Penjumlahan 105 bilangan berurutan:
(ket : 3, 5, 7, 15, 21, 35 dan 105 dipilih karena habis dibagi 105)
Jadi banyak cara untuk menyatakan bilangan 105 sebagai jumlah dua atau lebih bilangan berurutan ada 8 cara


13. Pak Amir mempunyai empat orang anak yaitu Dodo, Didi, Dido dan Dado. Pak Amir akan membagikan 12 permen kepada keempat anaknya sehingga masing-masing mendapat jumlah yang berbeda. Ada berapa cara yang dapat dilakukan Pak Amir.


Kemungkinan pasangan \(4\) bilangan berbeda yang jumlahnya \(12\) adalah
\((1, 2, 3, 6)\) 𝑑𝑎𝑛 \((1, 2, 4, 5)\), permutasi sususunan \(4\) bilangan adalah \(4! = 24\)
Jadi banyak susunan adalah \(24 × 2 = 48\) cara


14. Luas segitiga yang dibatasi oleh garis \(𝑦 + 𝑥 = 3, 𝑦 = 2𝑥 + 6\) dan \(𝑦 = −2\) adalah …


Segitiga \(ABC\) merupakan segitiga yang terbentuk dari batasan ketiga garis.
Titik \(A\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = 2𝑥 + 6\) dan \(𝑦 = −2\) yaitu titik \((-4,-2)\)
Titik \(B\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = −2\) dan \(𝑥 + 𝑦 = 3\) yaitu titik \((5,-2)\)
Titik \(C\) merupakan perpotongan garis \(𝑦 = 2𝑥 + 6\) dan \(𝑥 + 𝑦 = 3\) yaitu titik \((-1,4)\)
Panjang \(AB = 5 – (-4) = 9\)
Tinggi segitiga \(𝐶𝐷 = 4 − (−2) = 6\)
Jadi luas segitiga \(ABC\) adalah \(\frac{9×6}{2}= 27\) satuan luas


15. The integers \(a, b\) and \(c\) are all positive. Given that \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 14\) and \(156𝑎 + 13𝑏 + 𝑐 =873\), find \(100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐\).


Untuk \(𝑎 ≥ 6\), nilai dari \(156𝑎 + 13𝑏 + 𝑐 > 873\), tidak memenuhi
Untuk \(𝑎 ≤ 4\), nilai dari \(𝑏 > 14\), kontardiksi dengan \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 14\).
kemungkinan nilai \(𝑎\) yang memenuhi adalah \(5\)
Untuk \(𝑎 = 5\), diperoleh

\(13𝑏 + 𝑐 = 93\)
\(𝑏 + 𝑐 = 9\)

Kurangkan kedua persamaan diperoleh
\(12𝑏 = 84\)
\(𝑏 = 7\)
Nilai \(𝑐\) yang memenuhi adalah \(2\)
Jadi nilai dari \(100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 100(5) + 10(7) + 2 = 572\)


16. Diketahui \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥\) adalah bilangan real dengan \((𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎) ≠ 0\) dan memenuhi
persamaan

\(\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑏}=\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑐}+ 20,\;\;\;\frac{ 𝑏^2}{𝑏 + 𝑐}=\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑎}+ 14\), and \(\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑎}=\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑏}+ 𝑥\)

Carilah nila \(𝑥\) yang memenuhi


Jumlahkan ketiga persamaan

\(\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑐}+\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑎}=\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑐}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑎}+\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑏}+ 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑐}+\)\(\frac{c^2}{c+a}\)\(−
\frac{𝑎^2}{𝑎 + 𝑐}\)\(−\frac{𝑏^2}{𝑏 + 𝑎}−\frac{𝑐^2}{𝑐 + 𝑏}\)\(= 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{𝑎^2 − 𝑏^2}{𝑎 + 𝑏}+\frac{𝑏^2 − 𝑐^2}{𝑏 + 𝑐}+\frac{𝑐^2 − 𝑎^2}{𝑐 + 𝑎}= 20 + 14 + 𝑥\)
\(\frac{(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)}{𝑎 + 𝑏}+\frac{(𝑏 − 𝑐)(𝑏 + 𝑐)}{𝑏 + 𝑐}+\frac{(𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎)}{𝑐 + 𝑎}= 20 + 14 + 𝑥\)
\(𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 − 𝑎 = 34 + 𝑥\)
\(0 = 34 + 𝑥\)
\(𝑥 = −34\)


17. Tentukan semua bilangan bulat \(𝑛\) yang memenuhi \(\frac{𝑛^3+8}{𝑛^2−4}\) juga bilangan bulat.


\(\frac{𝑛^3 + 8}{𝑛^2 − 4}\)\(=\frac{𝑛^3 + 2^3}{𝑛^2 − 2^2}\)\(=\frac{(𝑛 + 2)(𝑛^2 − 2𝑛 + 4)}{(𝑛 − 2)(𝑛 + 2)}\)\(=\frac{(𝑛^2 − 2𝑛 + 4)}{(𝑛 − 2)}=\frac{𝑛(𝑛 − 2) + 4}{𝑛 − 2}= 𝑛 +\frac{4}{𝑛 − 2}\)
Agar hasilnya adalah bilangan bulat maka nilai \(\frac{4}{𝑛−2}\) harus merupakan bilangan bulat.
Nilai \(𝑛 − 2 = \{−4, −2, −1, 1, 2, 4\} ⇒ 𝑛 = −2, 0, 1, 3, 4, 6\)
Karena \(𝑛 ≠ 2\), maka nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(0, 1, 3, 4\) dan \(6\)


18. Titik P berada diantara dua garis sejajar l dan m. Jarak terdekat dari titik P ke garis l dan m berturut turut adalah 2 dan 3. Titik Q dan R beradapa pada garis l dan m dan memenuhi panjang QR = 13 dan luas daerah segitiga PQR adalah 27 satuan luas. Jika jarak P ke R lebih panjang dari jarak P ke Q maka carilah panjang PR?



\([𝐴𝑅𝐵𝐶] = [𝐶𝑃𝑄] + [𝑄𝐵𝑅] + [𝑃𝐴𝑅] + [𝑃𝑄𝑅]\)
\(5(𝑥 + 12) = 𝑥 + 30 +\frac{(𝑥 + 12)3}{2}+ 27\)
\(⇒5𝑥 + 60 = 𝑥 + 57 +\frac{3}{2}𝑥 + 18\)
\(⇒𝑥 = 6\)

Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝑃𝑅 = \sqrt{𝐴𝑃^2 + 𝐴𝑅^2} = \sqrt{3^2 + 18^2} = \sqrt{3^2(1 + 6^2)} = 3\sqrt{37}\)


19. Dalam suatu pertemuan yang terdiri dari 10 orang , akan dipilih 5 orang sebagai anggota komite konggres. Dari 5 orang, akan dipilih 1, 2, 3 atau 4 sebagai pimpinan komite
(pimpinan komite bisa lebih dari satu orang). Ada berapa banyak cara membentuk komite tersebut?


Langkah pertama : memilih 5 orang dari 10 orang. Banyak cara memilih \({10\choose 5}\)
Langkah kedua : memilih pimpinan komite yang terdiri dari 1, 2, 3, atau 4. Banyak cara
\({5\choose 1}+ {5\choose 2}+ {5\choose 3}+{5\choose 4} = 30\)
Jadi banyak cara membentuk komite adalah \(30 × {10\choose 5}= 7560\) cara


20. Perhatikan gambar berikut!


Carilah tinggi segitiga (h).



Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\((ℎ − 4 + 36)^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\((ℎ + 32)^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\(ℎ^2 + 64ℎ + 32^2 = ℎ^2 + 40^2\)
\(64ℎ = 40^2 − 32^2\)
\(64ℎ = 72(8)\)
\(ℎ =\frac{72(8)}{64}=9\)

Jadi tinggi segitiga adalah \(9\)


Pages ( 1 of 2 ): 1 2Next »

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *