Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 5

\(\begin{align}
6𝑥^3 − 𝑥^2 − 3𝑥 + 2024 &= 2𝑥(3𝑥^2 + 𝑥 − 1) − 3𝑥^2 − 𝑥 + 2024\\
&= −3𝑥^2 − 𝑥 + 2024\\
&= −(3𝑥^2 + 𝑥) + 2024\\
&= −1 + 2024\\
&= 2023\\
\end{align}\)

Misalkan umur Agus = \(A\) dan umur Fauzan = \(F\) dimana \(A\) dan \(F\) bilangan dua digit

\(\overline{𝐴F} = 100𝐴 + 𝐹 = 𝑚^2 …(1)\)

Dua puluh tiga tahun kemudian dapat ditulis menjadi

\(100(𝐴 + 23) + (𝐹 + 23) = 𝑛^2\)
\(100𝐴 + 2300 + 𝐹 + 23 = 𝑛^2\)
\(100𝐴 + 𝐹 + 2023 = 𝑛^2 … (2)\)

Kurangkan persamaan \((2)\) dan \((1)\)

\(𝑛^2 − 𝑚^2 = 2323\)
\((𝑛 + 𝑚)(𝑛 − 𝑚) = 101 × 23\)

Diperoleh

\(𝑛 + 𝑚 = 101\)
\(𝑛 − 𝑚 = 23\)

Kurangkan kedua persamaan diperoleh

\(2𝑚 = 78 ⇒ 𝑚 = 39\)

Selanjutnya

\(\overline{𝐴F} =𝑚^2 = 39^2 = 1521\)

Diperoleh umur Agus adalah \(15\) tahun dan umur Fauzan adalah \(21\) tahun

Misalkan banyak penonton mula-mula adalah \(𝑁\), karena banyak dewasa mula-mula adalah
\(\frac{5}{12}𝑁\) maka nilai \(𝑁 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 12\)
Selanjunya, ada tambahan \(50\) penonton sehingga banyak penonton dewasa sekarang adalah
\(\frac{11}{25}(𝑁 + 50)\) maka nilai \(𝑁 + 50 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 25 ⇒ 𝑁 ≡ 0\; 𝑚𝑜𝑑\; 25\).
Karena yang dicari adalah nilai minimum dari \(\frac{11}{25}(𝑁 + 50)\) maka nilai \(N\) harus minimum dan dapat dibagi \(12\) dan \(25\), nilai \(N\) terkecil yang memenuhi adalah \(300\).
Jadi banyaknya minimum orang dewasa yang hadir setelah bus tiba adalah \(\frac{11}{25}(𝑁 + 50) =\frac{11}{25}(300 + 50) = 154\) 𝑝𝑒𝑠𝑒𝑟𝑡𝑎

Misalkan fungsi polinomilanya adalah

\(P(𝑥) = 2𝑥^2 + 𝑎𝑥 + 𝑏\)
\(Q(𝑥) = −2𝑥^2 + 𝑐𝑥 + 𝑑\)

Yang dicari nilai dari

\(𝑝(0) + 𝑞(0) = 𝑏 + 𝑑\)

Karena titik \((16,54)\) dan \((20,53)\) merupakan titik potong kedua kurva maka

\(P(16) = 2(16)2 + 16𝑎 + 𝑏 = 54 ⇒ 512 + 16𝑎 + 𝑏 = 54 … (1)\)
\(P(20) = 2(20)2 + 20𝑎 + 𝑏 = 53 ⇒ 800 + 20𝑎 + 𝑏 = 53 … (2)\)
\(Q(16) = −2(16)2 + 16𝑐 + 𝑑 = 54 ⇒ −512 + 16𝑐 + 𝑑 = 54 … (3)\)
\(Q(20) = −2(20)2 + 20𝑐 + 𝑑 = 53 ⇒ −800 + 20𝑐 + 𝑑 = 53 … (4)\)

Kurangkan \(5\) kali persamaan \((1)\) dengan \(4\) kali persamann \((2)\)

\(−640 + 𝑏 = 58 ⇒ 𝑏 = 698\)

Kurangkan \(5\) kali persamaan \((3)\) dengan \(4\) kali persamann \((4)\)

\(640 + 𝑑 = 58 ⇒ 𝑑 = −582\)

Jadi nilai dari .

\(𝑝(0) + 𝑞(0) = 𝑏 + 𝑑 = 698 − 582 = 116\)

Misalkan waktu tempuh ada \(t\) menit
Perhatikan garis merah adalah tujuan awal keduanya dimana jaraknya nya sama dari posisi awal mereka. Sedangkan garis biru adalah jarak tempuh apabila arus sungai
diabaikan. Sherry membidik posisi tujuan di \(A\) berhubung ada bantuan arus maka jaraknya bergeser searah arus sejauh \(14t\) menuju ke \(B\), demikian juga Melanie, bidikan awal adalah
titik \(A\) karena berlawanan arus maka jaraknya bergeser mundur sejauh \(14t\) dan tiba di titik \(B\).
Perhatikan kedua segitiga yang terbentuk
Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(264^2 + (\frac{𝑑}{2}− 14𝑡)^2= 3600𝑡^2\)
\(264^2 + (\frac{𝑑}{2}+ 14𝑡)^2= 6400𝑡^2\)

kurangkan kedua persamaan, diperoleh

\((\frac{𝑑}{2}+ 14𝑡)^2− (\frac{𝑑}{2}− 14𝑡)^2= 2800𝑡^2\)
\(𝑑(28)𝑡 = 2800𝑡^2\)
\(𝑑 = 100𝑡\)

Subtitusi nilai \(d\) ke persamaan (1)

\(264^2 + (50𝑡 − 14𝑡)^2 = 3600𝑡^2\)
\(264^2 + (36𝑡)^2 = 3600𝑡^2\)
\(𝑡 =\frac{11}{2}\)𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

Jadi nilai \(𝑑\) nya adalah \(100𝑡 = 100 (\frac{11}{2}) = 550\) 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

\(\frac{𝑛 + 7}{\sqrt{𝑛 − 1}}\)\(=\frac{𝑛 − 1 + 8}{\sqrt{𝑛 − 1}}\)\(=\frac{(\sqrt{𝑛 − 1})^2 + 8}{\sqrt{𝑛 − 1}}\)\(=\sqrt{𝑛 − 1} +\frac{8}{\sqrt{𝑛 − 1}}\)

Supaya hasilnya bilangan bulat maka jelas bahwa nilai dari \(\sqrt{𝑛 − 1}\) merupakan factor positif dari 8, yaitu

\(\sqrt{𝑛 − 1} = \{1, 2, 4, 8\}\)
\(𝑛 − 1 = \{1, 4, 16, 64\}\)
\(𝑛 = \{2, 5, 17, 65\}\)

Jadi jumlah semua nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(2 + 5 + 17 + 65 = 89\)

Cara 1:
Banyak pengambilan masing-masing bola adalah
24 bola merah (4 kelompok)
4 bola kuning
4 bola hijau
4 bola biru
4 bola unggu
pada pengambilan bola terakhir apapun warnanya pasti didapatkan 5 bola berwarna sama sehingga membentuk satu kelompok tambahan. Banyak pengambilan bola minimal adalah 25 + 16 + 1 = 41 bola.

Cara 2
Banyak pengambilan masing-masing bola adalah
9 bola merah (1 kelompok)
9 bola kuning (1 kelompok)
9 bola hijau (1 kelompok)
9 bola biru (1 kelompok)
4 bola unggu
pada pengambilan bola terakhir apapun warnanya pasti didapatkan 5 bola berwarna sama sehingga membentuk satu kelompok tambahan. Banyak pengambilan bola minimal adalah 36 + 4 + 1 = 41 bola.

Misalkan jumlah 16 bilangan asli pertama adalah

\(𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) + ⋯ + (𝑎 + 15) = 16𝑎 + \frac{(1 + 15)15}{2}= 16𝑎 + 120\)

Dan jumlah 17 bilangan asli pertama adalah

\(𝑏 + (𝑏 + 1) + (𝑏 + 2) + ⋯ + (𝑏 + 16) = 17𝑏 + \frac{(1 + 16)16}{2}= 17𝑏 + 136\)

Karena keduanya nilainya sama, maka

\(16𝑎 + 120 = 17𝑏 + 136\)
\(16𝑎 + 120 − 136 = 17𝑏\)
\(16𝑎 − 16 = 17𝑏\)
\(𝑏 =\frac{16𝑎 − 16}{17}=\frac{16(𝑎 − 1)}{17}\)

Karena yang dicari adalah nilai minimum maka nilai \(𝑎 − 1 = 17 ⇒ 𝑎 = 18\)
Jadi bilangan asli minimum yang memenuhi adalah \(16𝑎 + 120 = 16(18) + 120 = 408\)

Misalkan Angka dan huruf disimbolkan dengan A dan H

• Terdiri dari 4 angka ada 1 susunan yaitu AAAA,
  banyak sandi 4 × 4 × 4 × 4 = 256
• Terdiri dari 3 angka dan 1 huruf ada 4 susunan yaitu AAAH, AAHA, AHAA, HAAA,
  banyak sandi (4 × 4 × 4 × 6) × 4 = 1536
• Terdiri dari 2 angka dan 2 huruf ada 3 susunan yaitu AHAH, HAHA, HAAH,
  banyak sandi (4 × 4 × 6 × 6) × 3 = 1728

Jadi banyak susunan sandi seluruhnya adalah 256 + 1536 + 1728 = 3520 cara

\(𝑎 = 2023\)
\(𝑏 =\frac{2}{𝑎}\)
\(𝑐 =\frac{3}{𝑏}=\frac{3}{\frac{2}{a}}= 3×\frac{𝑎}{2}=\frac{3𝑎}{2}\)
\(𝑑 =\frac{4}{𝑐}=\frac{4}{\frac{3𝑎}{2}}= 4×\frac{2}{3𝑎}=
\frac{4×2}{3𝑎}\)
\(𝑒 =\frac{5}{𝑑}=\frac{5}{\frac{4×2}{3𝑎}}= 5 ×\frac{3𝑎}{4×2}=\frac{5×3𝑎}{4×2}\)
\(…\)
\(𝑗 =\frac{10}{𝑖}=\frac{10×8×6×4×2}{9×7×5×3𝑎}\)
Selanjutnya

\(𝑎 × 𝑏 × 𝑐 × 𝑑 × 𝑒 × … × 𝑗\)
\(= 𝑎 ×\frac{2}{𝑎}×\frac{3𝑎}{2}×\frac{4 × 2}{3𝑎}×\frac{5 × 3𝑎}{4 × 2}×\frac{6 × 4 × 2}{5 × 3𝑎}× … ×\frac{10 × 8 × 6 × 4 × 2}{9 × 7 × 5 × 3𝑎}= 10 × 8 × 6 × 4 × 2= 3840\)

Gunakan bantuan rumus \((𝑎 + 𝑏 + 𝑐)^2 = 𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐\)
Jumlahkan ketiga persamaan
\(𝑎^2 + 𝑏^2 + 𝑐^2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 30\)
\((𝑎 + 𝑏 + 𝑐)^2 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 30\)
misalkan \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑥\)
\(𝑥^2 + 𝑥 = 30\)
\(𝑥(𝑥 + 1) = 5 × 6\)
\(𝑥 = 5\)
Jadi nilai dari \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 5\)

Cara \(1\) : menggunakan perbandingan garis berat
karena \(CD\) merupakan garis berat dan \(O\) adalah titik berat maka berlaku \(𝐶𝑂 ∶ 𝑂𝐷 = 1 ∶ 2\).

Cara \(2\) : menggunakan aturan sin.

\([𝐴𝐵𝐶] = 3[𝐴𝑂𝐶] = 3(\frac{1}{2}(1)(1) \sin\;120° = \frac{3}{2}(\frac{1}{2}\sqrt{3})=\frac{3}{4}\sqrt{3}\)

\(\frac{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}{(𝑏 − 𝑐)(𝑑 − 𝑎)}=\frac{5}{3}⇒\frac{(𝑏 − 𝑐)(𝑑 − 𝑎)}{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}=\frac{3}{5}\)

Selanjutnya

\(\frac{(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑑)}{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}=\frac{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}−\frac{(𝑏 − 𝑐)(𝑑 − 𝑎)}{(𝑎 − 𝑏)(𝑐 − 𝑑)}= 1 −\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\)

Jumlahkan keempat persamaan diperoleh

\(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑑𝑎 + 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = 16\)
\(⇒𝑏(𝑎 + 𝑐) + 𝑑(𝑎 + 𝑐) + +2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = 16\)
\(⇒(𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑) + 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑) = 16\)

Misalkan 𝑎 + 𝑐 = 𝑚[/latex] dan \(𝑏 + 𝑑 = 𝑛\)

\(𝑚𝑛 + 2(𝑚 + 𝑛) = 16\)
\(⇒𝑚𝑛 + 2𝑚 + 2𝑛 = 16\)
\((𝑚 + 2)(𝑛 + 2) − 4 = 16\)
\((𝑚 + 2)(𝑛 + 2) = 20\)

Karena \(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 > 0\), maka kemungkinan yang memenuhi adalah \(𝑚 + 2 = 5 ⇒ 𝑚 = 3\) dan \(𝑛 + 2 =4 ⇒ 𝑛 = 2\), Jadi nilai \(𝑚 + 𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 3 + 2 = 5\)

• \(x^2 + 𝑥 + 1 = 0\)
  \(𝑥 +\frac{1}{𝑥}= −1\)
• \(x^2 +\frac{1}{𝑥^2} = (𝑥 +\frac{1}{𝑥})^2− 2𝑥·\frac{1}{𝑥}= 1 − 2 = −1\)
• \((𝑥^2 +1\frac{𝑥^2}) (𝑥 +\frac{1}{𝑥}) = 𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3} + 𝑥 +\frac{1}{𝑥}= 1 ⇒ 𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3} − 1 = 1 ⇒ 𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3} = 2\)
• \(x^4 +\frac{1}{𝑥^4} = (𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2})^2− 2𝑥^2·\frac{1}{𝑥^2} = 1 − 2 = −1\)
• \((𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3})(𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2}) = 𝑥^5 +\frac{1}{𝑥^5} + 𝑥 +\frac{1}{𝑥}= −2 ⇒ 𝑥^5 +\frac{1}{𝑥^5} − 1 = −2 ⇒ 𝑥^5 +\frac{1}{𝑥^5} = −1\)
• \((𝑥^3 +\frac{1}{𝑥^3})^2= (𝑥^6 +\frac{1}{𝑥^6} + 2) = 4 ⇒ 𝑥^6 +\frac{1}{𝑥^6} = 2\)
• …

Dari pola di atas dapat disimpulkan

\(𝑥^𝑚 +\frac{1}{𝑥^𝑚} =\begin{cases}
2, &𝑚 = 3𝑘\\
−1, &𝑚 ≠ 3𝑘\\
\end{cases}\)

untuk \(k\) bilangan bulat positif.

Banyaknya bilangan kelipatan \(3\) dari \(1\) sampai dengan \(2014\) ada \(671\), dan bilangan selain kelipatan \(3\) ada \(1343\), jadi

\((𝑥 +\frac{1}{𝑥}) + (𝑥^2 +\frac{1}{𝑥^2}) + ⋯ + (𝑥^{2014} + \frac{1}{𝑥^{2014}})\)
\(= 671(2) + 1343(−1) = −1\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(\overline{abc}\), jika satuan dihilangkan maka bilangan dua tersisa yaitu\(\overline{ab}\) merupakan factor dari \(\overline{abc}\)

\(\overline{abc} = 𝑘.\overline{abc}\)
\(100𝑎 + 10𝑏 + 𝑐 = 𝑘(10𝑎 + 𝑏)\)
\(𝑐 = 𝑘10𝑎 − 100𝑎 + 𝑘𝑏 − 10𝑏\)
\(𝑐 = 10𝑎(𝑘 − 10) + (𝑘 − 10)𝑏 = (𝑘 − 10)(10𝑎 + 𝑏)\)

Karena \(10𝑎 + 𝑏\) adalah bilangan dua digit sedangkan \(c\) bilangan satu digit maka kemungkinan nilai \(𝑘 − 10 = 0\), diperoleh nilai \(𝑐 = 0\). Jadi banyak bilangan \(3\) digit yang memenuhi adalah \(9 × 10 ×1 = 90\) bilangan

\(𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑎 + 𝑏\)

Untuk \(𝑏 = 0\)

\(𝑓(𝑎)𝑓(0) − 𝑓(0) = 𝑎\)
\(𝑓(0)(𝑓(𝑎) − 1) = 𝑎\)

Untuk \(𝑎 = 0\)

\(𝑓(0)(𝑓(0) − 1) = 0\)
\(𝑓(0) = 0\) 𝑎𝑡𝑎𝑢 \(𝑓(0) = 1\)

untuk \(𝑓(0) = 0\), tidak memenuhi

Subtitusi \(𝑓(0) = 1\) ke persamaan

\(𝑓(0)(𝑓(𝑎) − 1) = 𝑎\)
\(𝑓(𝑎) − 1 = 𝑎\)
\(𝑓(𝑎) = 𝑎 + 1\)

Jadi \(𝑓(2023) = 2023 + 1 = 2024\)

Gunakan rumus : \((𝑎 − 𝑏)^3 = 𝑎^3 − 𝑏^3 − 3𝑎𝑏(𝑎 − 𝑏)\)
Pangkat tiga kedua ruas

\(\sqrt[3]{𝑥 + 9}  − \sqrt[3]{𝑥 − 9} = 3\)
\(⇒ (\sqrt[3]{𝑥 + 9})^3-(\sqrt[3]{x-9})^3− 3 \sqrt[3]{(𝑥 + 9)(𝑥 − 9)} (\sqrt[3]{𝑥 + 9} − \sqrt[3]{𝑥 − 9}) = 27\)
\(⇒ 𝑥 + 9 − (𝑥 − 9) − 3 (\sqrt[3]{𝑥^2 − 81}(3) = 27\)
\(⇒ 18 − 9 (\sqrt[3]{𝑥^2 − 81}) = 27\)
\(⇒ 2 − (\sqrt[3]{𝑥^2 − 81})= 3\)
\(⇒ \sqrt[3]{𝑥^2 − 81}= −1\)
\(⇒ 𝑥^2 − 81 = −1\)
\(⇒ 𝑥^2 = 80\)
\(⇒ 𝑥 = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)

Misalkan nilai \(A\) memiliki \(n\) digit, digitnya pertamanya adalah \(x\) dan digit selanjutnya adalah \(y\), maka \(A\) dapat ditulis dalam bentuk \(𝐴 = 𝑥10^{𝑛−1} + 𝑦\), karena \(𝐵\) adalah bilangan asli yang
didapatkan dengan cara memindah digit pertama dari \(𝐴\) ke digit terakhirnya, maka \(B\) dapat ditulis menjadi \(𝐵 = 10𝑦 + 𝑥\). Selanjutnya

\(3𝐴 = 𝐵\)
\(3(𝑥^{10𝑛−1} + 𝑦) = 10𝑦 + 𝑥\)
\(3𝑥10^{𝑛−1} + 3𝑦 = 10𝑦 + 𝑥\)
\(7𝑦 = 3𝑥^{10𝑛−1} − 𝑥 = 𝑥(3. 10^{𝑛−1} − 1)\)

Karena \(A\) paling minimal, pilih \(𝑥 = 1\)

\(7𝑦 = (3. 10^{𝑛−1} − 1)\)

\((3. 10^{𝑛−1} − 1)\) merupakan kelipatan \(7\), maka nilai \(𝑛\) terkecil yang memenuhi adalah \(6\)

\(7𝑦 = 300000 − 1 = 299999\)
\(𝑦 = 42857\)

Jadi nilai \(A\) adalah \(100000 + 42857 = 142857\)

• Bilangan kurang dari \(1000\), misalkan berbentuk \(\overline{abc}\), dimana nilai \(0 ≤ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≤ 9\)

\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9\)

Banyak cara \({{9 + 3 − 1}\choose{3-1}}={11\choose 2}= 55\) cara

• Bilangan berbentuk \(\overline{1abc}\)

\(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 8\)

Banyak cara \({{8 + 3 − 1}\choose{3 − 1}}={10\choose 2}= 45\) cara.

• Bilangan diantara \(2000\) dan \(2023\) yang jumlah angka-angkanya \(9\) adalah \(2007\) dan \(2016\)
  Jadi banyaknya bilangan yang jumlah angkanya \(9\) kurang dari \(2023\) adalah \(55 + 45 + 2 = 102\)