Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 6

Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains  Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi  di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat  menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh  dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak  sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi  generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.

Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.

Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.

---

1. Jika diketahui
\(\frac{(2^3 − 1)(3^3 − 1)(4^3 − 1) … (100^3 − 1)}{(2^3 + 1)(3^3 + 1)(4^3 + 1) … (100^3 + 1)}=\frac{𝐴}{𝐵}\)
maka nilai dari \(𝐵 − 𝐴 = ⋯\)

---

Gunakan rumus \(𝑎^3 − 𝑏^3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎^2 + 𝑎𝑏 + 𝑏^2)\) dan \(𝑎^3 + 𝑏^3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎^2 − 𝑎𝑏 + 𝑏^2)\)

\(\frac{(2^3 − 1)(3^3 − 1)(4^3 − 1) … (100^3 − 1)}{(2^3 + 1)(3^3 + 1)(4^3 + 1) … (100^3 + 1)}=\frac{𝐴}{𝐵}\)

\(⇒\frac{(2 − 1)(2^2 + 2 + 1)(3 − 1)(3^2 + 3 + 1) … (100 − 1)(100^2 + 100 + 1)}{(2 + 1)(2^2 − 2 + 1)(3 + 1)(3^2 − 3 + 1) … (100 + 1)(100^2 − 100 + 1)}=\frac{𝐴}{𝐵}\)

\(⇒\frac{(2 − 1)(3 − 1) … (100 − 1)(2^2 + 2 + 1)(3^2 + 3 + 1) … (100^2 + 100 + 1)}{(2 + 1)(3 + 1) … (100 + 1)(2^2 − 2 + 1)(3^2 − 3 + 1) … (100^2 − 100 + 1)}=\frac{𝐴}{𝐵}\)

\(⇒\frac{1 · 2 · 3 · 4 · … · 98 · 99}{3 · 4 · 5 · 6 · … · 100 · 101}×\frac{7 · 13 · 21 · … 10101}{3 · 7 · 13 · 21 · … · 9901}\)

\(⇒\frac{2}{100 · 101}×\frac{10101}{3}=\frac{3367}{5050}=\frac{𝐴}{𝐵}\)

Jadi nilai dari \(𝐵 − 𝐴 = 5050 − 3367 = 1683\)

---

2. Sisa pembagian

\(16^{101} + 8^{101} + 4^{101} + 2^{101} + 1\)

Oleh \(2^{100} + 1\)

---

Misalkan \(𝑥 + 1 = 2^{100} + 1\)
Selanjutnya

\(16^{101} + 8^{101} + 4^{101} + 2^{101} + 1 = 2^{404} + 2^{303} + 2^{202} + 2^{101} + 1\)
\(= 2^{100·4}2^4 + 2^{100·3}2^3 + 2^{100·2}2^2 + 2^{100}2 + 1\)
\(= 16𝑥^4 + 8𝑥^3 + 4𝑥^2 + 2𝑥 + 1\)
Mencari sisa pembagian \(16𝑥^4 + 8𝑥^3 + 4𝑥^2 + 2𝑥 + 1\) oleh \(𝑥 + 1\) Menggunakan cara horner

Jadi sisa pembagiannya adalah 11

---

3. Tentukan nilai dari

\(\frac{1000 +\frac{999}{1999}}{2000 +\frac{1999}{999}}+\frac{1000}{1999}\)

---

Misalkan \(𝑥 = 1000\), maka diperoleh
\(\frac{𝑥 +\frac{𝑥 − 1}{2𝑥 − 1}}{2𝑥 +\frac{2𝑥 − 1}{𝑥 − 1}}+\frac{𝑥}{2𝑥 − 1}\)
\(=\frac{\frac{𝑥(2𝑥 − 1) + 𝑥 − 1}{2𝑥 − 1}}{\frac{2𝑥(𝑥 − 1) + 2𝑥 − 1}{𝑥 − 1}}+\frac{𝑥}{2𝑥 − 1}\)
\(=\frac{2𝑥^2 − 𝑥 + 𝑥 − 1}{2𝑥 − 1}×\frac{𝑥 − 1}{2𝑥^2 − 2𝑥 + 2𝑥 − 1}+\frac{𝑥}{2𝑥 − 1}\)
\(=\frac{2𝑥^2 − 1}{2𝑥 − 1}×\frac{𝑥 − 1}{2𝑥^2 − 1}+\frac{𝑥}{2𝑥 − 1}\)
\(=\frac{𝑥 − 1}{2𝑥 − 1}+\frac{𝑥}{2𝑥 − 1}\)
\(=\frac{2𝑥 − 1}{2𝑥 − 1}=1\)

---

4. Vera akan menyusun enam buku matematika, dua buku ekonomi dan 2 buku Bahasa. Buku-buku tersebut akan disusun dilemari buku dalam satu baris. Misalkan A adalah kejadian “tidak ada 2 atau lebih buku sejenis tersusun berurutan” tentukan peluang kejadian A.

---

Susunan buku matematika

___𝑀___𝑀___𝑀___𝑀___𝑀___𝑀___

Setelah disisipkan 2 buku ekonomi dan 2 buku Bahasa selalu ada 2 buku matematika yang saling
berdekatan, maka peluang A adalah 0.

---

5. Diketahui persegi panjang ABCD dengan panjang sisi AB dan BC berturut-turut adalah 2 dan 1. Titik E berada pada sisi BC sehingga perpanjangan garis AE memotong perpanjangan garis DC di titik F. Jika diketahui luas segitiga EFD adalah 2023. Hitunglah panjang BE.

---

Luas \(EFD =\frac{1}{2}ℎ(𝑥 + 2) = 2023\)
\(⇒ ℎ(𝑥 + 2) = 4046 … (1)\)

Dari kesebangunan \(Δ𝐶𝐸𝐹\) dan \(Δ𝐴𝐹𝐷\), diperoleh
\(\frac{𝐶𝐸}{𝐴𝐷}=\frac{𝐶𝐹}{𝐷𝐹}⇒\frac{ℎ}{1}=\frac{𝑥}{𝑥 +2}\)
\(⇒ ℎ(𝑥 + 2) = 𝑥 … (2)\)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh \(𝑥 = 4046\)

Nilai \(ℎ =\frac{4046}{𝑥 + 2}=\frac{4046}{4048}=\frac{2023}{2024}\)

Jadi \(𝐵𝐸 = 1 − ℎ = 1 −\frac{2023}{2024}=\frac{1}{2024}\)

---

6. Tentukan bilangan real \(x\) yang memenuhi persamaan

\(𝑥^3 + 3𝑥^2 + 3𝑥 + 7 = 0\)

---

gunakan rumus \((𝑎 + 𝑏)^3 = 𝑎^3 + 3𝑎^2𝑏 + 3𝑎𝑏^2 + 𝑏^3\)

\(𝑥^3 + 3𝑥^2 + 3𝑥 + 7 = 0\)
\(𝑥^3 + 3𝑥^2 + 3𝑥 + 1 + 6 = 0\)
\((𝑥 + 1)^3 + 6 = 0\)
\((𝑥 + 1)^3 = −6\)
\(𝑥 + 1 = (\sqrt{−6})^3\)
\(𝑥 = (\sqrt{−6})^3 − 1\)

---

7. Tentukan nilai \(𝑎 + 𝑐\) jika diketahui himpunan penyelesaian dari \(𝑥 − 𝑦 = 1\) dan \(𝑥^2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦^2 =18\) adalah \((𝑎, 𝑏)\) dan \((𝑐, 𝑑)\)

---

\(𝑥 − 𝑦 = 1 ⇒ 𝑦 = 𝑥 − 1\)
Subtitusi nilai \(y\) ke persamaan
\(𝑥^2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦^2 = 18\)
\(⇒𝑥^2 + 4𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1)^2 = 18\)
\(⇒𝑥^2 + 4𝑥^2 − 4𝑥 − 2(𝑥^2 − 2𝑥 + 1) = 18\)
\(⇒𝑥^2 + 4𝑥^2 − 4𝑥 − 2𝑥^2 + 4𝑥 − 2 = 18\)
\(⇒3𝑥^2 − 20 = 0\)
\(⇒3𝑥^2 = 20\)
\(⇒𝑥 = ±\sqrt{\frac{20}{3}}\)
Diperoleh nilai \(𝑎 = \sqrt{\frac{20}{3}}\) dan \(𝑐 = −\sqrt{\frac{20}{3}}\)
, jadi \(𝑎 + 𝑐 = 0\)
Atau bisa juga menggunakan rumus vieta dari persamaan \(3𝑥^2 − 20 = 0\), nilai dari \(𝑎 + 𝑐 = 0\)

---