Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika SMP Tahun 2023 Part 2

\(\frac{3}{1^2·2^2}+\frac{5}{2^2·3^2}+\frac{7}{3^2·4^2}+…+\frac{29}{14^2·15^2}\)

\(\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right)+…+\left(\frac{1}{14^2}-\frac{1}{15^2}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{15^2}\right)=1-\frac{1}{225}=\frac{224}{225}\)

\(\begin{align}
𝐴 &= 1^3 − 2^3 + 3^3 − 4^3 + 5^3 − 6^3 + ⋯ + 99^3\\
&= 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + ⋯ + 99^3 − 2(2^3 + 4^3 + 6^3 + ⋯ + 98^3)\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 99)^2 − 2 × 2^3(1^3 + 2^3 + 3^3 + ⋯ + 49^3)\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 99)^2 − 2 × 2^3(1 + 2 + 3 + ⋯ + 49)^2\\
&= \left(\frac{(1 + 99)99}{2}\right)^2− 16\left(\frac{(1 + 49)49}{2}\right)^2\\
&= (50(99))^2 − 16(25(49))^2\\
&= (50(99))^2 − (100(49))^2\\
&=(4950)^2 – (4900)^2\\
&=(4950+4900)(4950-4900)\\
&=(9850)(50)\\
&=49250\\
\end{align}\)

\(\frac{𝑃}{𝑄}−\frac{𝑄}{𝑃}=\frac{𝑃 + 𝑄}{𝑃𝑄}⇒\frac{𝑃^2 − 𝑄^2}{𝑃𝑄}=\frac{𝑃 + 𝑄}{𝑃𝑄}\)
\(⇒ (𝑃 + 𝑄)(𝑃 − 𝑄) = (𝑃 + 𝑄)\)
\(⇒ 𝑃 − 𝑄 = 1\)
Kemungkinan pasangan \((P,Q)\) yang memenuhi adalah

\((9,8), (8,7), (7,6), (6,5), (5,4), (4,3), (3,2), (2,1)\)

Jadi banyaknnya pasangan ada \(8\) pasangan.

Volume kerucut maksimum dicapai ketika alas kerucut menyinggung sisi-sisi alas kubus, diperoleh jari-jari kerucut (r) setengah dari panjang rusuk kubus(s). Karena diketahui tinggi kerucut setengah dari tinggi kubus maka perbandingan volume kerucut dan volume kubus
adalah

\(\frac{1}{3}𝜋𝑟^2𝑡 ∶ 𝑠 × 𝑠 × 𝑠\)
\(\frac{1}{3}𝜋(\frac{1}{2}𝑠)^2 \frac{1}{2}𝑠 ∶ 𝑠 × 𝑠 × 𝑠\)
\(\frac{1}{3}𝜋(\frac{1}{4}𝑠^2)\frac{1}{2}𝑠 ∶ 𝑠 × 𝑠 × 𝑠\)
\(\frac{1}{24}𝜋 ∶ 1\)
\(𝜋 ∶ 24\)

Bentuk umum

\(\frac{1}{1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛}=\frac{1}{\frac{(𝑛 + 1)𝑛}{2}}=\frac{2}{𝑛(𝑛 + 1)}
= 2(\frac{1}{𝑛}−\frac{1}{𝑛 + 1})\)

selanjutnya

\(\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+ ⋯ +\frac{1}{1+2+3+⋯+50}\)
\(= 2(\frac{1}{1}−\frac{1}{2}) + 2(\frac{1}{2}−\frac{1}{3}) + 2(\frac{1}{3}−\frac{1}{4}) + ⋯ + 2(\frac{1}{50}−\frac{1}{51})\)
\(= 2(\frac{1}{1}−\frac{1}{51})\)
\(= 2(\frac{50}{51})=\frac{100}{51}\)

\(2(𝑝 + 𝑙) = 10\)
\(𝑝 + 𝑙 = 5\)

kuadaratkan kedua ruas

\(𝑝^2 + 𝑙^2 + 2𝑝𝑙 = 25\)
\((\sqrt{15})^2+ 2𝑝𝑙 = 25\)
\(15 + 2𝑝𝑙 = 25\)
\(2𝑝𝑙 = 10\)
\(𝑝𝑙 = 5\)

Jadi luas persegi panjangnya adalah 5 satuan luas

Karena \(∠𝐴𝐵𝑃 = ∠𝐵𝐴𝑃 = 45°\) maka \(Δ𝐴𝐵𝑃\) dan \(Δ𝐶𝐷𝑄\) adalah segitiga sama kaki \((AP = BP)\)
Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝐴𝑃^2 + 𝐵𝑃^2 = 36\)
\(2𝐴𝑃^2 = 36\)
\(𝐴𝑃^2 = 18\)
\(𝐴𝑃 = \sqrt{18} = 3\sqrt 2\)

Luas \(𝐴𝑃𝐵 =\frac{1}{2}𝐴𝑃(𝐵𝑃) =\frac{1}{2}(3\sqrt 2)(3\sqrt 2) = 9\)
Luas \(𝐴𝑃𝐵\) sama dengan luas \(𝐶𝑄𝐷\)
Luas \(𝐵𝐶𝑃𝑄 = 30 – 9 – 9 = 12 = 𝐵𝐶. 𝐵𝑃 ⇒ 𝐵𝐶. (3\sqrt 2) = 12 ⇒ 𝐵𝐶 =
\frac{12}{3√2}=\frac{4}{\sqrt 2}= 2\sqrt 2\)

\(\sqrt{𝑛 + 99} − \sqrt {𝑛} < 1\)
\(⇒\sqrt{𝑛 + 99} < 1 + \sqrt {𝑛}\)
\(⇒𝑛 + 99 < 1 + 𝑛 + 2\sqrt {𝑛}\)
\(⇒98 < 2\sqrt {𝑛}\)
\(⇒49 < \sqrt {𝑛}\)
\(⇒2401 < {𝑛}\)

Jadi nilai \(n\) terkecil yang memenuhi adalah \(𝑛 = 2402\)

Misalkan \(𝑥 = 2022\)

\(⌊\frac{2023^3}{2021 · 2022}−\frac{2021^3}{2022 · 2023}⌋\)

\(=⌊\frac{(𝑥 + 1)^3}{(𝑥 − 1)𝑥}−\frac{(𝑥 − 1)^3}{𝑥(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{(𝑥 + 1)^4 − (𝑥 − 1)^4}{(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{((𝑥 + 1)^2 + (𝑥 − 1)^2)((𝑥 + 1)^2 − (𝑥 − 1)^2)}{(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{(𝑥^2 + 2𝑥 + 1 + 𝑥^2 − 2𝑥 + 1)(𝑥^2 + 2𝑥 + 1 − (𝑥^2 − 2𝑥 + 1))}{(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{(2𝑥^2 + 2)(4𝑥)}{(𝑥 − 1)𝑥(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{8(𝑥^2 + 1)}{(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{8(𝑥2 + 1)}{(𝑥2 − 1)}⌋\)

\(=⌊\frac{8(𝑥^2 − 1)}{(𝑥^2 − 1)}+\frac{16}{(𝑥^2 − 1)}⌋\)

\(=⌊8 +\frac{16}{(𝑥^2 − 1)}⌋\)

Karena \(0 <\frac{16}{(𝑥^2−1)}<1\) maka nilai dari \(⌊\frac{2023^3}{2021 · 2022}−\frac{2021^3}{2022 · 2023}⌋=\)\(⌊8 + \frac{16}{(𝑥^2−1)}⌋ = 8\)

• Boby dan Doni berada pada satu kelompok, banyak cara memilih adalah \({7\choose 3}= 35\)
  Banyak cara Andi dan Chandra juga berada pada kelompok tersebut adalah \({5\choose 1}= 5\)
  Banyak cara Boby dan Doni satu kelompok tanpa ada Andi dan Chandra bersamaan ada \(35 – 5 = 30\) cara
• Boby dan Doni tidak diikutkan, banyak cara memilih adalah \({7\choose 5}= 21\)
  Banyak cara Andi dan Chandra juga berada pada kelompok tersebut adalah \({5\choose 3}= 10\)
  Banyak kelompok tanpa memuat Boby dan Doni, dan juga tanpa memuat Andi dan Chandra secara bersamaan adalah \(21 – 10 = 11\) cara
  Jadi Banyak kelompok yang dapat dibentuk adalah \(30 + 11 = 41\) cara