Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika Tahun 2023 Part 2

MATH CONTEST Nasional OSK SMP OSN SMP

Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains  Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi  di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat  menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh  dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak  sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi  generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.

Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.

Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.


1. Diketahui \(𝑁 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 40^3\). Carilah sisa dari pembagian \(N\) dengan \(9\)


\(\begin{align}
1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 𝑛^3 &= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛)^2\\
&=1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + ⋯ + 40^3\; mod\; 9\\
&= (1 + 2 + 3 + ⋯ + 40)^2\; mod\; 9\\
&=\left(\frac{41(40)}{2}\right)^2\;mod\; 9\\
&= (41 × 20)^2\; mod\; 9\\
&= (5 × 2)^2\; mod\; 9\\
&= 100\; mod\; 9\\
&= 1\\
\end{align}\)


2. Diketahui sebuah bilangan genap 3 digit yang habis dibagi 9 dan digit pertama 2 satuan lebih besar dari pada digit kedua, tentukan banyak bilangan yang mungkin terbentuk.


Dua angka pertama pada bilangan 3 digit tersebut adalah {20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97} Agar habis dibagi 9 dan genap maka bilangan terakhir yang harus di tambahkan sehingga memenuhi syarat adalah bilangan akhirnya genap dan jumlah digitnya habis dibagi 9.
Dengan melakukan observasi bilangan yang memenuhi adalah 648, 756, 864 dan 972. Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi ada 4 bilangan.


3. Jika \(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\), maka tentukan nilai dari \(2p\).


\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

Kurangkan persamaan awal dengan hasil \(\frac{1}{2}\) kali persamaan awal

\(\frac{1}{1}+\frac{3}{4}+\frac{5}{8}+\frac{7}{16}+…=p\)

\(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{5}{16}+\frac{7}{32}+ ⋯ =\frac{1}{2}𝑝\)
_________________________________-
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{2}{8}+\frac{2}{16}+\frac{2}{32}+ ⋯ )=\frac{1}{2}p\)
\(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(\frac{\frac{2}{8}}{1−\frac{1}{2}}\right) =\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ \left(\frac{\frac{2}{8}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}𝑝\)
\(⇒\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+ (\frac{1}{2}) =\frac{1}{2}𝑝\)

Kalikan kedua ruas dengan 4, diperoleh

\(2𝑝 = 2 + 3 + 2 = 7\)


4. Pada gambar di bawah ini luas arsiran \(A\) adalah \(𝐴 =
\frac{8}{9}\) bagian \(A\), sedangkan luas arsiran
daerah \(B =\frac{11}{15}\) bagian \(B\). Hitunglah perbandingan luas daerah \(A\) terhadap luas daerah \(B\).


Luas daerah yang tidak diarsir bagian \(A\) dan Bagian \(B\) adalah sama

\(\frac{1}{9}𝐴 =\frac{4}{15}𝐵\)
\(\frac{𝐴}{𝐵}=\frac{36}{15}=\frac{12}{5}\)

perbandingan luas daerah \(A\) terhadap luas daerah \(B\) adalah \(12 : 5\)


5. Tentukan sisa \(3^{1990}\) jika dibagi \(41\)


\(\begin{align}
3^{1990}\; mod\; 41 &= (3^4)^{497}. 3^2\; mod\; 41\\
&= (81)^{497}. 9\; mod\; 41\\
&= (−1)^{497}. 9 mod 41\\
&= -9\; mod\; 41\\
&= 32\\
\end{align}\)


6. Real number \(𝑎, 𝑏, 𝑐\) satisfy the equations \(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 26\) and \(\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐} = 28\). Find the value of

\(\frac{𝑎}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑎}\)


\(\frac{𝑎}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑎}+\frac{𝑎}{𝑐}+\frac{𝑐}{𝑏}+\frac{𝑏}{𝑎}\)
\(=\frac{𝑎+𝑐}{𝑏}+\frac{𝑎+𝑏}{𝑐}+\frac{𝑏+𝑐}{𝑎}\)
\(=\frac{26−𝑏}{𝑏}+\frac{26−𝑐}{𝑐}+\frac{26−𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}-\frac{𝑏}{𝑏}+\frac{26}{𝑐}−\frac{𝑐}{𝑐}+\frac{26}{𝑎}−\frac{𝑎}{𝑎}\)
\(=\frac{26}{𝑏}− 1 +\frac{26}{𝑐}− 1 +\frac{26}{𝑎}− 1\)
\(= 26 (\frac{1}{𝑎}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}) − 3\)
\(= 26(28) − 3\)
\(= 725\)


7. Sembilan bilangan nonnegatif memiliki rata-rata 10. Berapakah nilai median terbesar yang mungkin dari bilangan bilangan tersebut.


Terdapat \(9\) bilangan non negative, misalkan nilai mediannya adalah \(m\) (bilangan kelima) karena yang dicari nilai \(m\) maksimum maka \(4\) bilangan sebelum bilangan \(m\) adalah yang paling minimum yaitu \(0\), kemudian bilangan setelah \(m\) adalah \(m\) juga. Susunan bilangannnya adalah \(0, 0, 0, 0 , 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚, 𝑚\). Dengan menggunakan rumus rata-rata

\(\frac{4(0) + 5𝑚}{9}= 10\)
\(⇒ 5𝑚 = 90\)
\(⇒ 𝑚 = 18\)

Jadi nilai median maksimum adalah \(18\)


8. Tentukan berapa banyak bilangan 4 digit yang salah satu digitnya muncul lebih dari sekali.


banyak bilangan 4 digit yang salah satu digitnya muncul lebih dari sekali sama dengan banyaknya bilangan 4 digit dikurang dengan banyaknya bilangan 4 digit yang digitnya berbeda.
Banyaknya bilangan 4 digit ada 9000
Banyaknya bilangan 4 digit berbeda 9 × 9 × 8 × 7 = 4536
Jadi banyak bilangan 4 digit yang memenuhi adalah 9000 – 4536 = 4464


9. Diketahui \(𝑝\) dan \(𝑞\) adalah bilangan prima yang memenuhi \(𝑝 + 𝑞\) dan \(𝑝 + 7𝑞\) adalah kuadrat sempurna. Tentukan ada berapa banyak pasangan \(𝑝\) dan \(𝑞\) yang memenuhi.


Misalkan

\(𝑝 + 𝑞 = 𝑥^2 … (1)\)
\(𝑝 + 7𝑞 = 𝑦^2 … (2)\)

Kurangkan persamaan (2) dan (1), diperoleh

\(6𝑞 = 𝑦2 − 𝑥2 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥)\)

Karena \(6𝑞\) bilangan genap maka salah satu dari \(𝑦 − 𝑥\) atau \(𝑦 + 𝑥\) adalah genap. Jika \(y-x\) genap maka \(x\) dan \(y\) memiliki paritas sama sehingga dipastikan \(y+x\) genap. Karena keduanya genap maka \(6q\) adalah kelipatan \(4\).
Karena \(𝑞\) bilangan prima maka bilangan \(𝑞\) yang memenuhi hanya \(𝑞 = 2\).
Subtitusi \(q = 2\) ke persamaan

\(6𝑞 = (𝑦 − 𝑥)(𝑦 + 𝑥) = 12\)

Nilai yang memenuhi adalah
\(𝑦 + 𝑥 = 6\)
\(𝑦 − 𝑥 = 2\)
______________-
\(2𝑥 = 4\)
\(𝑥 = 2\)
Subtitusi nilai \(q\) dan \(x\) ke persamaan (1) diperoleh
\(𝑝 + 2 = 4 ⇒ 𝑝 = 2\)
Jadi banyaknya pasangan \(p\) dan \(q\) hanya \(1\) yaitu \((2,2)\)


10. The real numbers \(x, y, z, w\) satisfy

\(2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 1\)
\(𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 2\)
\(𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 + 𝑤 = 3\)
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 5𝑤 = 25\)

Find the value of \(w\).


Kalikan persaamaan \((1), (2), (3)\) dan \((4)\) dengan \(12, 6, 4\) dan \(3\)

\(24𝑥 + 12𝑦 + 12𝑧 + 12 𝑤 = 12\)
\(6𝑥 + 18𝑦 + 6𝑧 + 6𝑤 = 12\)
\(4𝑥 + 4𝑦 + 16𝑧 + 4𝑤 = 12\)
\(3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 + 15𝑤 = 75\).

Jumlahkan keempat persamaan

\(37𝑥 + 37𝑦 + 37𝑧 + 37𝑤 = 111\)
\(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 3 … (5)\)

Kurangkan persamaan \((4)\) dengan \((5)\)

\(4𝑤 = 22 ⇒ 𝑤 =\frac{11}{2}\)

Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika tahun 2023 Part 1


Pages ( 1 of 3 ): 1 23Next »

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *