Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika Tahun 2023 Part 2

MATH CONTEST Nasional OSK SMP OSN SMP

21. How many ways can you mark 8 squares of an 8 Γ—8 chessboard so that no two marked squares are in the same row or column, and none of the four corner squares is marked? (Rotations and reflections are considered different.)(HMMT)


kotak berwarna merah tidak boleh digunakan

Bagian atas ada \(6\) pilihan, apabila sudah terpilih satu bagian atas maka pilihan bagian bawah hanya ada \(5\) pilihan. Baris kedua ada \(6\) pilihan, Baris ketiga ada 5 pilihan dan seterusnya sampai baris ke \(7\) ada \(1\) pilihan.
Banyak cara adalah \(6 Γ— 5 Γ— 6! = 30 Γ— 720 = 21600\) cara


22. Find all positive integer solutions \((π‘š, 𝑛)\) to the following equation:

\(π‘š^2 = 1! + 2! + β‹― + 𝑛!\)


\(π‘š^2\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 10 = \{0, 1, 4, 5, 6, 9\}\), untuk \(𝑛 β‰₯ 4\) nilai \((1! + 2! + β‹― + 𝑛!)\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 10\; =\; 3\) kontradiksi dengan persamaan awal, maka nilai \(n\) yang mungkin adalah \(\{1, 2, 3\}\)
untuk \(𝑛 = 1 β‡’ π‘š^2 = 1 β‡’ π‘š = 1\) memenuhi
untuk \(𝑛 = 2 β‡’ π‘š^2 = 1 + 2 = 3\) tidak memenuhi
untuk \(𝑛 = 3 β‡’ π‘š^2 = 1 + 2 + 6 = 9 β‡’ π‘š = 3\) memenuhi
Jadi pasangan \((π‘š, 𝑛)\) yang memenuhi adalah \((1, 1)\) dan \((3, 3)\)


23. In trapezoid \(ABCD\) shown, \(AD\) is parallel to \(BC\), and \(AB = 6, BC = 7, CD = 8, AD = 17\). If sides \(AB\) and \(CD\) are extended to meet at \(E\), find the resulting angle at \(E\) (in degrees).


Pada segitiga \(ABF\) panjang sisinya membentuk tripel Pythagoras sehingga dapat dipastikan bahwa \(∠𝐴𝐡𝐹 = 90°\)
Karena \(BF//CE\) dan \(∠𝐴𝐡𝐹\) sehadap dengan \(∠𝐴𝐸𝐷\) maka besar \(∠𝐴𝐸𝐷 = 90°\)


24. Hitunglah \(\sqrt{5 + \sqrt{21}} βˆ’ \sqrt{5 – \sqrt{21}}\)


Misalkan
\(x=\sqrt{5 + \sqrt{21}} βˆ’ \sqrt{5 – \sqrt{21}}\)
Kuadratkan kedua ruas
\(π‘₯^2 = 5 + \sqrt{21} + 5 βˆ’ \sqrt{21} βˆ’ 2\sqrt {5 + \sqrt{21}}\sqrt{5 βˆ’ \sqrt{21}}\)
\(β‡’π‘₯^2 = 10 βˆ’ 2\sqrt{5 + \sqrt{21}}\sqrt{5 βˆ’ \sqrt{21}}\)
\(β‡’π‘₯^2 = 10 βˆ’ 2\sqrt{25} βˆ’ 21\)
\(β‡’π‘₯^2 = 10 βˆ’ 2\sqrt 4\)
\(β‡’π‘₯^2 = 10 βˆ’ 4 = 6\)
\(β‡’π‘₯ = \sqrt 6\)


25. Sebuah bilangan terdiri dari dua angka yang besarnya tujuhkali jumlah angka-angkanya. Jika kedua angka dipertukarkan diperoleh bilangan baru yang nilainya 18 lebih dari jumlah angka-angkanya. Bilangan manakah itu?


Misalkan bilangan dua angka adalah \(\overline{ab}\)

\(\overline{ab}=7(a+b)\)
\(10π‘Ž + 𝑏 = 7(π‘Ž + 𝑏)\)
\(3π‘Ž = 6𝑏\)
\(π‘Ž = 2𝑏\)

selanjutnya

\(\overline{ab}= 18 + 𝑏 + π‘Ž\)
\(10𝑏 + π‘Ž = 18 + 𝑏 + π‘Ž\)
\(9𝑏 = 18\)
\(𝑏 = 2\)

Subtitusi \(𝑏 = 2\) ke persamaan \(π‘Ž = 2𝑏\), diperoleh \(π‘Ž = 4\). Jadi bilangan dua digit yang memenuhi adalah \(42\)


26. Nilai \(π‘Ž, 𝑏\) dan \(𝑐\) memenuhi system persamaan berikut:

\(\frac{π‘Žπ‘}{π‘Ž + 𝑏}=\frac{1}{2}\),
\(\frac{𝑏𝑐}{𝑏 + 𝑐}=\frac{1}{3}\),
\(\frac{π‘Žπ‘}{π‘Ž + 𝑐}=\frac{1}{7}\),

Tentukan nilai dari \((π‘Ž βˆ’ 𝑐)^𝑏\)

[/bg_collapse]


\(\frac{π‘Žπ‘}{π‘Ž + 𝑏}=\frac{1}{2}β‡’\frac{π‘Ž + 𝑏}{π‘Žπ‘}= 2 β‡’\frac{1}{π‘Ž} +\frac{1}{𝑏}= 2\)
\(\frac{𝑏𝑐}{𝑏 + 𝑐}=\frac{1}{3}β‡’\frac{𝑏 + 𝑐}{𝑏𝑐}= 3 β‡’\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}= 3\)
\(\frac{π‘Žπ‘}{π‘Ž + 𝑐}=\frac{1}{7}β‡’\frac{π‘Ž + 𝑐}{π‘Žπ‘}= 7 β‡’\frac{1}{π‘Ž}+\frac{1}{𝑐}= 7\)

Jumlahkan ketiga persamaan

\(2\left(\frac{1}{π‘Ž}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}\right) = 12\)
\(\left(\frac{1}{π‘Ž}+\frac{1}{𝑏}+\frac{1}{𝑐}\right) = 6\)

Nilai \(π‘Ž\) diperoleh dari
\(\frac{1}{π‘Ž}+ 3 = 6 β‡’\frac{1}{π‘Ž}= 3 β‡’ π‘Ž =\frac{1}{3}\)
Nilai \(𝑏\) diperoleh dari
\(\frac{1}{𝑏}+ 7 = 6 β‡’\frac{1}{𝑏}= βˆ’1 β‡’ 𝑏 = βˆ’1\)
Nilai \(𝑐\) diperoleh dari
\(\frac{1}{𝑐}+ 2 = 6 β‡’\frac{1}{𝑐}= 4 β‡’ 𝑐 =\frac{1}{4}\)

Jadi nilai dari \((π‘Ž βˆ’ 𝑐)^𝑏 = (\frac{1}{3}βˆ’\frac{1}{4})^{βˆ’1}=(\frac{1}{12})^{-1}= 12\)


27. Carilah pasangan bilangan \((x,y)\) sehingga hasil kali jumlah, perkalian dan pembagian dari kedua bilangan tersebut bernilai sama


\(π‘₯ + 𝑦 = π‘₯𝑦 =\frac{π‘₯}{𝑦}\)

Dari persamaan

\(π‘₯𝑦 =\frac{π‘₯}{𝑦}β‡’ 𝑦 =\frac{1}{𝑦}β‡’ 𝑦^2 = 1 β‡’ 𝑦 = Β±1\)
Untuk nilai \(𝑦 = 1\)
\(π‘₯ + 𝑦 = π‘₯𝑦 β‡’ π‘₯ + 1 = π‘₯\) (π‘‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘˜ π‘šπ‘’π‘šπ‘’π‘›π‘’β„Žπ‘–)
Untuk nilai \(𝑦 = βˆ’1\)
\(π‘₯ + 𝑦 = π‘₯𝑦 β‡’ π‘₯ βˆ’ 1 = βˆ’π‘₯ β‡’ π‘₯ + π‘₯ = 1 β‡’ 2π‘₯ = 1 β‡’ π‘₯ =\frac{1}{2}\)
Jdi pasangan \((x,y)\) yang memenuhi adalah \((\frac{1}{2}, βˆ’1)\)


28. Ada beberapa burung dan beberapa sangkar. Jika ke dalam setiap sangkar dimasukan 7 ekor burung, maka akan tertinggal 1 ekor burung diluar, sementara jika ke dalam setiap sangkar di masukan 9 ekor burung, maka terdapat 1 sangkar yang tidak terisi. Berapa banyak burung yang ada?


Misalkan banyak sangkarnya adalah \(π‘₯\)

\(7π‘₯ + 1 = 9(π‘₯ βˆ’ 1)\)
\(7π‘₯ + 1 = 9π‘₯ βˆ’ 9\)
\(2π‘₯ = 10\)
\(π‘₯ = 5\)

Jadi banyak burungnya adalah 36 burung


29. Pada gambar di bawah ini, diketahui segitiga \(ABC\) dengan panjang \(AB = 7\) cm danΒ \(BC = 3\) cm. Hitunglah luas persegi \(BDEF!\)

Latihan OSN


Misalkan panjang sisi persegi \(BDEF\) adalah \(π‘₯\)
Gunakan kesebangunan segitiga \(CFE\) dan segitiga \(CBA\)

\(\frac{𝐢𝐹}{𝐡𝐢}=\frac{𝐹𝐸}{𝐴𝐡}β‡’\frac{3 βˆ’ π‘₯}{3}=\frac{π‘₯}{7}\)
\(β‡’ 7(3 βˆ’ π‘₯) = 3π‘₯\)
\(β‡’ 21 βˆ’ 7π‘₯ = 3π‘₯\)
\(β‡’ 10π‘₯ = 21\)
\(β‡’ π‘₯ =\frac{21}{10}= 2,1\)

Jadi luas \(BDEF\) adalah \((2,1)^2 = 4,41\) π‘π‘šΒ²


30. Ada tiga orang, kakek, ayah dan anak. Usia kakek adalah bilangan genap. Jika kamu balik angka-angkanya akan diperoleh usia ayah. Jika angka-angka usia ayah dijumlahkan akan diperoleh usia anak. Jumlah usia ketiga orang adalah 144. Usia kakek kurang dari 100, berapa usia kakek?


Misalkan usia kakek adalah \(\overline{ab}\) maka usia ayah \(\overline{ba}\) dan usia anak \(π‘Ž + 𝑏\)

\(\overline{ab} +\overline{ba} + π‘Ž + 𝑏 = 144\)
\(10π‘Ž + 𝑏 + 10𝑏 + π‘Ž + π‘Ž + 𝑏 = 144\)
\(12π‘Ž + 12𝑏 = 144\)
\(π‘Ž + 𝑏 = 12\)

Karena \(π‘Ž > 𝑏\) dan \(π‘Ž, 𝑏\) keduanya genap maka yang memenuhi adalah \(π‘Ž = 8\) dan \(𝑏 = 4\).
Jadi usia kakek adalah 84 tahun.


31. Jika \(π‘Ž, 𝑏\) bilangan bulat dan \(βˆ’7 < π‘Ž < βˆ’1\) dan \(βˆ’5 < 𝑏 < 2\), tentukan nilai terbesar dari \((π‘Ž βˆ’3𝑏)\)


Nilai maksimum dicapai ketika \(π‘Ž\) maksimum yaitu \(-2\) dan \(𝑏\) minimum \(βˆ’4\)
Jadi nilai maksimum dari \((π‘Ž βˆ’ 3b) = (βˆ’2 βˆ’ 3(βˆ’4)) = βˆ’2 + 12 = 10\)


32. Hitunglah

\(\frac{222+333+444+β‹―+222555+222666}{200+300+400+β‹―+200500+200600}\)

\(\frac{222+333+444+β‹―+222555+222666}{200+300+400+β‹―+200500+200600}\)
\(=\frac{111(2 + 3 + 4 + β‹― + 2006)}{100(2 + 3 + 4 + β‹― + 2006)}\)
\(=\frac{111}{100}= 1,11\)


33. Dari soal nomor 1 sampai dengan 8, seorang siswa harus memilih 5 soal saja. Jika soal nomor 1 dan 3 wajib dikerjakan , tentukan banyak cara siswa tersebut memilih soal.


Nomor 1 dan 3 wajib dikerjakan, tinggal 3 soal lagi dipilih dari 6 soal yang tersisa. Jadi banyak cara memilih adalah

\({6\choose 3} = \frac{6!}{3!.3!}=\frac{6.5.4.3!}{3!.6}= 20\) π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž


34. Perhatikan gambar di bawah. Jika \([𝐴𝐷𝑃] + [𝑃𝑄𝑅] + [𝐡𝐢𝑄] = 15\) π‘π‘šΒ², hitunglah luas \([𝐴𝐡𝑅]\)


\(𝑋 + π‘Œ + 𝑍 = 15\)

Karena \([𝑃𝑄𝐴] = [𝑃𝑄𝐡]\) maka \([𝑃𝐴𝑅] = [𝑄𝑅𝐡] = 𝑀\)

Dari gambar:

\([𝐴𝐡𝑄] = [𝐷𝐴𝑄] + [𝐡𝑄𝐢]\)
\(π‘Š + 𝑀 = 𝑋 + 𝑀 + π‘Œ + 𝑍\)
\(π‘Š = 𝑋 + π‘Œ + 𝑍 = 15\)

Jadi \([ABR]\) adalah \(15\) cmΒ²


35. Tiga orang dari kelas A dan empat orang dari kelas B duduk sebaris pada 7 kursi. Berapa cara mereka duduk berdampingan sesuai kelasnya.


Banyak susunan kelas ada \(2\) yaitu \(AB\) atau \(BA\)
Banyak susunan orang untuk kelas \(A : 3!\)
Banyak susunan orang untuk kelas \(B : 4!\)
Jadi banyak cara adalah \(2 Γ— 3! Γ— 4! = 2 Γ— 6 Γ— 24 = 288\) cara


36. Jika \(2π‘₯^2 = π‘₯𝑦 + 𝑦^2\), tentukan nilai dari \(\frac{π‘₯+𝑦}{π‘₯βˆ’π‘¦}\)


\(2π‘₯^2 = π‘₯𝑦 + 𝑦^2\)
\(β‡’π‘₯^2 + π‘₯^2 = π‘₯𝑦 + 𝑦^2\)
\(β‡’π‘₯^2 βˆ’ 𝑦^2 = π‘₯𝑦 βˆ’ π‘₯^2\)
\(β‡’(π‘₯ βˆ’ 𝑦)(π‘₯ + 𝑦) = π‘₯(𝑦 βˆ’ π‘₯)\)
\(β‡’π‘₯ + 𝑦 = βˆ’π‘₯\)
\(β‡’2π‘₯ = βˆ’π‘¦\)
\(⇒𝑦 = βˆ’2π‘₯\)

Jadi nilai dari \(\frac{π‘₯ + 𝑦}{π‘₯ βˆ’ 𝑦}=\frac{π‘₯ βˆ’ 2π‘₯}{π‘₯ βˆ’ (βˆ’2π‘₯)}=\frac{βˆ’π‘₯}{3π‘₯}= βˆ’\frac{1}{3}\)


37. Jika \(π‘Žπ‘ + π‘Žπ‘‘ + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 = βˆ’24\), dan \(𝑐 + 𝑑 = 8\), tentukan nilai dari \(π‘Ž + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑\).


\(π‘Žπ‘ + π‘Žπ‘‘ + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 = βˆ’24\)
\(β‡’π‘Ž(𝑐 + 𝑑) + 𝑏(𝑐 + 𝑑) = βˆ’24\)
\(β‡’(𝑐 + 𝑑)(π‘Ž + 𝑏) = βˆ’24\)
\(β‡’8(π‘Ž + 𝑏) = βˆ’24\)
\(β‡’π‘Ž + 𝑏 = βˆ’3\)

Jadi nilai \(π‘Ž + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = βˆ’3 + 8 = 5\)


38. Tentukan nilai \(x\) yang memenuhi persamaan:
\(\frac{x}{3} + \frac{x}{15} +\frac{x}{35} +\frac{x}{63} +\frac{x}{99} +\frac{x}{143} = 12\).


\(\frac{x}{3} + \frac{x}{15} +\frac{x}{35} +\frac{x}{63} +\frac{x}{99} +\frac{x}{143} = 12\)
\(x(\frac{1}{3} + \frac{1}{15} +\frac{1}{35} +\frac{1}{63} +\frac{1}{99} +\frac{1}{143}) = 12\)
\((\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\frac{1}{2}(\frac{1}{7}-\frac{1}{9})+\frac{1}{2}(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}(\frac{1}{11}-\frac{1}{13}))x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1} – \frac{1}{3} +\frac{1}{3} – \frac{1}{5} +\frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{7} – \frac{1}{9} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \frac{1}{11} – \frac{1}{13})x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{1}{1} – \frac{1}{13})x = 12\)
\(\frac{1}{2}(\frac{12}{13})x = 12 \Longrightarrow (\frac{12}{16})x = 12 \Longrightarrow x = 26 \)
Jadi nilai \(x\) yang memenuhi persamaan di atas adalah \(26\)


39. Diketahui nilai \(a\) dan \(b\) seperti berikut ini.
\(a = 1Β·2 +2Β·3 + 3Β·4 + 4Β·5 + … + 40Β·41 \)
\(b = 5Β·4 +10Β·6 + 15Β·8 + 20Β·10 + … + 200Β·82 \)
Tentukan nilai dari \(\frac {b}{a}\)


Kita mencari hubungan \(b\) terhadap \(a\) .
\(b = 5Β·4 +10Β·6 + 15Β·8 + 20Β·10 + … + 200Β·82 \)
\(=(1Β·2)10 +(2Β·3)10 +(3Β·4)10 + … + (40Β·41)10 \)
\(=10( 1Β·2 +2Β·3 + 3Β·4 + 4Β·5 + … + 40Β·41) \)
\(= 10a \)
\(\frac {b}{a} = 10\)
Jadi diperoleh Β nilai \(\frac {b}{a} = 10\)


40. Tentukan banyaknya bilangan \(n\) bilangan bulat yang memenuhi \(\frac{2^{2020}}{5n + 1}\) adalah bilangan bulat.


\(5n + 1 = 2^k, k ≀ 2020 \)
\(5n = 2^k – 1\), karena \(n\) bilangan bulat maka nilai \(k\) yang memenuhi \({0, 4, 8, 12, …, 2020}\). Jadi banyaknya nilai \(n\) adalah banyaknya nilai \(k\) yang memenuhi yaitu \(506\).
Selanjutnya untuk \(n\) negatif
\(5n + 1 = -2^k, k ≀ 2020 \)
\(5n = -(2^k + 1\), karena \(n\) bilangan bulat maka nilai \(k\) yang memenuhi \({2, 6, 10, …, 2018}\). Jadi banyaknya nilai \(n\) adalah banyaknya nilai \(k\) yang memenuhi yaitu \(505\).
Dengan demikian banyaknya nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(506 + 505 = 1011\)


Pages ( 3 of 3 ): Β« Previous12 3

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *