Program dalam rangka meningkatkan prestasi peserta didik di bidang sains yaitu penyelenggaraan kegiatan Olimpiade Sains Nasional atau disebut OSN. Pelaksanaan OSN jenjang SMP tahun 2023 berupaya untuk dapat menghasilkan anak-anak berprestasi di bidang Matematika, IPA, dan IPS dan mampu berdaya saing nasional maupun global. Melalui OSN ini, kami berharap dapat menjadi ruang atmosfer olimpiade yang sehat dan bertumbuh dalam budaya yang silih asih dan asuh. Dukungan segenap pihak sangat diperlukan dalam menyiapkan peserta didik menjadi generasi bangsa yang kelak turut andil dalam kemajuan Indonesia.
Untuk mempersiapakan diri menghadapi olimpiade nasional, siswa diharapkan belajar dari beberapa sumber yang mendukung kemampuan siswa dalam menyelesaikan masalah matematika. Materi sekolah saja belum cukup, untuk membantu para siswa belajar mandiri maka dari borneomath membuat wadah kusus berisi soal-soal terupade dari beberapa lomba ternama luar negeri yang bisa saja mirip dengan soal-soal yang akan keluar di tiap lomba olimpiade yang anda ikuti.
Berikut ini kumpulan soal dan solusi terupade dari lomba matematika dalam dan luar negeri, cocok juga untuk SMA pemula, semoga bermanfaat.
1. Determine the largest integer \(𝑥\) such that both \(𝑥 + 224\) and \(𝑥 + 496\) are perfect squares.(ASMO 2019)
Misalkan \(𝑥 + 224 = 𝑚^2 …(1)\) \(𝑥 + 496 = 𝑛^2 …(2)\) Eliminasi persamaan \((2)\) dan \((1)\) \(𝑛^2 − 𝑚^2 = 272\) \((𝑛 − 𝑚)(𝑛 + 𝑚) = 2 × 136 = 4 × 68\) agar \(n\) dan \(m\) bilangan bulat maka perkalian dua bilangan yang menghasilkan 272 harus genap dengan genap atau ganjil dengan ganjil.
Nilai \(n\) maksimum maka yang dipilih adalah \(𝑛 + 𝑚 = 136\) \(𝑛 − 𝑚 = 2\) ____________+ \(2𝑛 = 138\) \(𝑛 = 69\) Subtitusi nilai \(n=69\) ke persamaan \((2)\) diperoleh nilai maksimum \(x\) adalah \(𝑥 = 692 − 496 = 4265\)
2. Suppose \(a\) and \(b\) are positive integers for which \(8𝑎^𝑎𝑏^𝑏 = 27𝑎^𝑏𝑏^𝑎\). Find \(𝑎^2 + 𝑏^2\) (HMMT 2021)
Kemungkinan 1 : \(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{3}{2}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = 3\), nilai yang memenuhi \(𝑎 = 9\) dan \(𝑏 = 6\) Kemungkinan 2 : \(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{27}{8}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = 1\), tidak punya solusi Kemungkinan 3 : \(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{2}{3}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = −3\), nilai yang memenuhi \(𝑎 = 6\) dan \(𝑏 = 9\) Kemungkinan 4 : \(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{8}{27}\) dan \(𝑎 − 𝑏 = −1\), tidak punya solusi Jadi nilai dari \(𝑎^2 + 𝑏^2 = 9^2 + 6^2 = 6^2 + 9^2 = 117\)
3. Domino memiliki ujung kiri dan ujung kanan, masing-masing dengan warna tertentu. Alice memiliki empat kartu domino, berwarna merah-merah, merah-biru, biru-merah, dan biru-biru. Temukan banyak cara untuk menyusun kartu domino dalam satu baris ujung ke ujung sehingga ujung yang berdekatan memiliki warna yang sama. Domino tidak dapat diputar. (HMMT 2021)
Warna domino yang tersedia MM, MB, BM dan BB, kemungkinan susunan warna adalah MM, MB, BB, BM BM, MM, MB, BB MB, BB, BM, MM BB, BM, MM, MB
Ada 4 cara menyusun kartu domino
4. Let \(𝑨𝑩𝑪𝑫\) be a unit square. A circle with radius \(\frac{32}{49}\) passes through point \(𝐷\) and is tangent to side \(AB\) at point \(E\). Then \(𝐷𝐸 =\frac{𝑚}{𝑛}\), where \(𝑚, 𝑛\) are positive integers and \(𝑔𝑐𝑑(𝑚, 𝑛) = 1\).
Find \(100𝑚 + 𝑛\). (HMMT 2021)
Misalkan titik \(O\) adalah titik pusat lingkaran dan misalkan titik \(F\) adalah perpotongan \(OE\) dan \(CD\). Diketahui \(AB = BC = CD = AD= 1\) satuan Misalkan lagi \(DF = x\), dengan menggunakan rumus Pythagoras \(𝑂𝐷^2 = 𝐷𝐹^2 + 𝑂𝐹^2\) \(⇒𝑟^2 = 𝑥^2 + (1 − 𝑟)^2\) \(⇒𝑟^2 = 𝑥^2 + 𝑟^2 − 2𝑟 + 1\) \(⇒2𝑟 = 𝑥^2 + 1\)
Diperoleh \(𝑚 = 8\) dan \(𝑛 = 7\) jadi nilai dari \(100𝑚 + 𝑛 = 807\)
5. Let \(𝑛\) be the answer to this problem. An urn contains white and black balls. There are \(𝑛\) white balls and at least two balls of each color in the urn. Two balls are randomly drawn from the urn without replacement. Find the probability, in percent, that the first ball drawn is white and the second is black.
Misalkan banyak bola hitam \(𝑘, 𝑘 ≥ 2\), Peluang terambilnya bola putih pada pengambilan pertama adalah \(\frac{𝑛}{𝑛+𝑘}\) Peluang terambilnya bola hitam pada pengambilan kedua adalah \(\frac{𝑘}{𝑛+𝑘−1}\) Peluang terambilnya bola putih pada pengambilan pertama dan bola hitam pada pengambilan kedua adalah
Kemungkinan nilai \(m(m-1)\) yang memenuhi \(\{25(24), 76(75)\}\) Untuk \(𝑚 = 25 ⟹ 𝑘 = 6 ⟹ 𝑛 = 19\) Untuk \(𝑚 = 76 ⟹ 𝑘 = 57 ⟹ 𝑛 = 19\) memiliki solusi uniq Jadi besar peluangnya adalah \(19\) dalam persen
6. Let \(𝑛\) be the answer to this problem. Hexagon \(𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹\) is inscribed in a circle of radius \(90\). The area of \(𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹\) is \(8𝑛\), \(𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐹\), and \(𝐶𝐷 = 𝐹𝐴\). Find the area of triangle \(𝐴𝐵𝐶\).
Karena \(Δ𝐴𝐵𝐶\) dan \(Δ𝐴𝑂𝐶\) memiliki alas yang sama maka perbandingan
\(\frac{𝐵𝑀}{𝑀𝑂}=\frac{[𝐴𝐵𝐶]}{[𝐴𝑂𝐶]}=\frac{2}{3}\)
Panjang \(𝐵𝑀 =\frac{2}{5}𝑂𝐵 =\frac{2}{5}(90) = 36\),
Dengan menggunakan rumus Pythagoras diperoleh \(𝐴𝑀 = 72\)
Jadi \([𝐴𝐵𝐶] =\frac{1}{2}𝐴𝐶(𝐵𝑀) = 𝐴𝑀(𝐵𝑀) = 72(36) = 2592\)
Misalkan titik pusat lingkaran adalah \(O\), Tarik garis dari titik \(O\) ke \(B\) memotong tali busur \(AC\) di titik \(M\). Panjang \(CD= FA, AB = FE\) dan \(BC=ED\) maka \(Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐸𝐹𝐷\) Karena \([𝐴𝐵𝐶] = 𝑛\) maka \([𝐸𝐹𝐷] = 𝑛\). Karena \([𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹] = 8𝑛\) maka \([𝐴𝐶𝐷𝐹] = 8𝑛 − 2𝑛 = 6𝑛\) Karena \([𝐴𝑂𝐵] = [𝐹𝑂𝐷] = [𝐶𝑂𝐷] = [𝐴𝑂𝐶]\) dan \([𝐴𝐶𝐷𝐹] = 6𝑛\) maka \([𝐴𝑂𝐶] =\frac{3}{2}𝑛\)
7. Joey wrote a system of equations on a blackboard, where each of the equations was of the form \(𝑎 + 𝑏 = 𝑐\) or \(𝑎 · 𝑏 = 𝑐\) for some variables or integers \(a, b, c\). Then Sean came to the board and erased all of the plus signs and multiplication signs, so that the board reads:
\(x\;\; z = 15\)
\(x\;\; y = 12\)
\(x\;\; x = 36\)
8. Nilai dari \(\sqrt{45 + 20\sqrt 5} + \sqrt{45 − 20\sqrt 5}\)
9. Aku sebuah bilangan.Bila Aku dikurangi 45 menghasilkan sebuah bilangan kuadrat dan bila ditambahkan dengan 44 menghasilkan kuadrat lain. Bilangan berapakah aku?
Diperoleh \(𝑎 = 1, 𝑏 = 2\), dan \(𝑐 = 3\) Jadi nilai \(abc\) adalah \((1)(2)(3) = 6\)
20. Banyaknya solusi dari \(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10\), untuk \(𝑥, 𝑦\) dan \(𝑧\) bilangan bulat positif adalah …
Cara Pola Untuk \(𝑥 = 9 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 1\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(0\) Untuk \(𝑥 = 8 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 2\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(1\) Untuk \(𝑥 = 7 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 3\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(2\) Untuk \(𝑥 = 6 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 4\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(3\) …. Untuk \(𝑥 = 1 ⟹ 𝑦 + 𝑧 = 9\), banyak pasangan yang memenuhi ada \(8\) Jadi banyak solusi ada \((1 + 2 + 3 + …+ 8) = 36\) solusi.
Cara 2 Gunakan teorema star bars \({{10 − 1}\choose {3-1}} = {9\choose 2} =\frac{9!}{7! ·2!}= 36\)