Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika tahun 2023 Part 1

\(𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 11 ⟹ (𝑥 + 1)(𝑦 + 1) − 1 = 11 ⇒ (𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 12\)
\(𝑦 + 𝑧 + 𝑦𝑧 = 14 ⟹ (𝑦 + 1)(𝑧 + 1) − 1 = 14 ⇒ (𝑦 + 1)(𝑧 + 1) = 15\)
\(𝑧 + 𝑥 + 𝑧𝑥 = 11 ⟹ (𝑧 + 1)(𝑥 + 1) − 1 = 19 ⇒ (𝑧 + 1)(𝑥 + 1) = 20\)

Dengan melakukan observasi diperoleh:
\(𝑥 + 1 = −4 ⇒ 𝑥 = −5\)
\(𝑦 + 1 = −3 ⇒ 𝑦 = −4\)
\(𝑧 + 1 = −5 ⇒ 𝑧 = −6\)

Jadi nilai \((𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−5, −4, −6)\)

\(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 𝑛 = \overline{abab}\)
\(\frac{1}{2}𝑛(𝑛 + 1) =\overline{ab}(101)\)
\(𝑛(𝑛 + 1) = 2\overline{ab}(101)\)
Karena \(𝑛(𝑛 + 1)\) bilangan berurutan maka dipastikan \(2\overline{ab}=100\) atau \(2\overline{ab} = 102\).
Kemungkinan nilai \(\overline{ab}= 50\), nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(100\) dan untuk \(\overline{ab} = 51\), nilai \(n\) yang memenuhi adalah \(101\). Jadi jumlah semua nilai \(n\) adalah \(100 + 101 = 201\)

\(𝑅 − 𝑟 = 2\)
\(𝑅^3 − 𝑟^3 = 218\)
\(𝑅^3 − 𝑟^3 = (𝑅 − 𝑟)(𝑅^2 + 𝑅𝑟 + 𝑟^2)\)
\(218 = 2(𝑅^2 + 𝑅𝑟 + 𝑟^2)\)
\(109 = 𝑅^2 + 𝑅𝑟 + 𝑟^2\)
Subtitusi nilai \(𝑟 = 𝑅 − 2\) ke persamaan \(109 = 𝑅^2 + 𝑅𝑟 + 𝑟^2\)
\(𝑅^2 + 𝑅(𝑅 − 2) + (𝑅 − 2)^2 = 109\)
\(𝑅^2 + 𝑅^2 − 2𝑅 + 𝑅^2 − 4R + 4 = 109\)
\(3𝑅^2 − 6𝑅 − 105 = 0\)
\(𝑅^2 − 2𝑅 − 35 = 0\)
\((𝑅 − 7)(𝑅 + 5) = 0\)
Jadi nilai \(R\) (panjang rusuk kubus terbesarnya) yang memenuhi adalah \(7\).

Cara subtitusi :
Subtitusi \(𝑥 = 𝑦 + 7\) ke persamaan \(2𝑥^2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦^2 = 28\), diperoleh
\(2(𝑦 + 7)^2 + (𝑦 + 7)𝑦 − 3𝑦^2 = 28\)
\(⇒ 2(𝑦^2 + 14𝑦 + 49) + 𝑦^2 + 7𝑦 − 3𝑦^2 = 28\)
\(⇒ 2𝑦^2 + 28𝑦 + 98 + 𝑦^2 + 7𝑦 − 3𝑦^2 = 28\)
\(⇒ 28𝑦 + 98 + 7𝑦 = 28\)
\(⇒ 35𝑦 = 28 − 98\)
\(⇒ 35𝑦 = −70\)
\(⇒ 𝑦 = −2\)
Karena \(𝑥 = 𝑦 + 7\) maka nilai \(𝑥 = 5\)
Jadi nilai \(x\) dan \(y\) adalah \(5\) dan \(-2\)

Cara pemfaktoran
\(2𝑥^2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦^2 = 28\)
\(⇒ (2𝑥 + 3𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 28\)
\(⇒ (2𝑥 + 3𝑦)7 = 28\)
\(⇒ (2𝑥 + 3𝑦) = 4\)
Eliminasi persamaan \(2𝑥 + 3𝑦 = 4\) dengan \(2\) kali persamaan \(𝑥 − 𝑦 = 7\)
\(2𝑥 + 3𝑦 = 4\)
\(2𝑥 − 2𝑦 = 14\)
________________-
\(5𝑦 = −10\)
\(𝑦 = −2\)
Karena \(𝑥 − 𝑦 = 7\) maka nilai \(𝑥 = 5\)
Jadi nilai \(x\) dan \(y\) adalah \(5\) dan \(-2\)

\(\frac{1}{𝑚}+\frac{1}{𝑛}=\frac{4}{7}\)
\(⇒\frac{𝑚 + 𝑛}{𝑚𝑛}=\frac{4}{7}\)
\(⇒4𝑚𝑛 = 7𝑚 + 7𝑛\)
\(⇒4𝑚𝑛 − 7𝑚 − 7𝑛 = 0\)

Kaliakan kedua ruas dengan \(4\)

\(⇒16𝑚𝑛 − 28𝑚 − 28𝑛 = 0\)
\(⇒(4𝑚 − 7)(4𝑛 − 7) − 49 = 0\)
\(⇒(4𝑚 − 7)(4𝑛 − 7) = 49 = 1 × 49 = 7×7\)

Yang memenuhi

\(4𝑚 − 7 = 1 ⇒ 𝑚 = 2\)
\(4𝑛 − 7 = 49 ⇒ 𝑛 = 14\)

Jadi nilai dari \(𝑚^2 + 𝑛^2 = 4 + 196 = 200\)

Misalkan banyaknya gula yang ditambahkan adalah \(x\) gram
Kadar gula mula-mula : \(\frac{10}{100}× 500 = 50\) gram
Ketika ditambah \(x/[latex] gram gula, kadar gulanya  naik [latex]25\%\), atau dapat ditulis dalam persamaan:

\(\frac{50 + 𝑥}{500 + 𝑥}× 100\% = 25\%\)
\(\frac{50 + 𝑥}{500 + 𝑥}=\frac{1}{4}\)
\(⇒ 200 + 4𝑥 = 500 + 𝑥\)
\(⇒ 3𝑥 = 300\)
\(⇒ 𝑥 = 100\)

Jadi tambahan gula adalah \(100\) gram

Kecepatan Aryo : \(\frac{1}{3}\)
Kecepatan Joko : \(\frac{1}{4}\)
Waktu pengerjaan : 2 jam 40 menit – 25 menit = 2 jam 15 menit = \(2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\) jam

Lama keduanya mengerjakan secara bersama-sama adalah \(t\) jam.

\(\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) 𝑡 +\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{9}{4}− 𝑡\right) = 1\)
\(⇒\left(\frac{7}{12}\right) 𝑡 + \left(\frac{3}{4}−\frac{1}{3}t\right) = 1\)
\(⇒\left(\frac{7}{12}\right) 𝑡 + \left(\frac{3}{4}−\frac{4}{12}t\right) = 1\)
\(⇒\left(\frac{3}{12}\right) 𝑡 + \left(\frac{3}{4}\right) = 1\)
\(⇒\left(\frac{1}{4}\right) 𝑡 = 1 – \left(\frac{3}{4}\right)=\left(\frac{1}{4}\right) \)
\(⇒𝑡 = 1\; 𝑗𝑎𝑚\)

Jadi catnya habis satu jam setelah pukul 07.30 yaitu pada pukul 08.30

Berdasarkan gambar
Panjang \(FL\) = Panjang \(KB\)
Panjang \(FM\) = Panjang \(MC\)
\(Δ𝐸𝐹𝐿 ≈ Δ𝐸𝐻𝐴\) maka diperoleh perbandingan

\(\frac{𝐹𝐿}{𝐴𝐻}=\frac{𝐹𝐸}{𝐻𝐸}⇒ 𝐹𝐿 =\frac{𝐹𝐸}{𝐻𝐸}(𝐴𝐻) =\frac{6}{18}(6) = 2\)

\(FL = KB = 2, LM = FM – FL = 3 – 2 = 1\)

Jadi \([BKLM] =\frac{(𝐿𝑀+𝐾𝐵)𝐵𝐶}{2}=\frac{(1+2)6}{2}= 9\; cm^2\)

Misalkan bilangan tersebut adalah N
\(N=\begin{cases}
10𝑎 + 3 ≡ 10𝑎 − 7\\
12𝑏 + 5 ≡ 12𝑏 − 7\\
15𝑐 + 8 ≡ 15𝑐 − 7\\
\end{cases}\)

kemungkinan nilai \(N\) adalah

\(𝑁 = 𝑛. 𝐾𝑃𝐾(10,12,15) − 7 = 𝑛. 60 − 7\)

Karena \(N\) adalah bilangan \(4\) digit terkecil maka nilai \(n\) yang mungkin adalah \(17\), jadi nilai \(N\) yang memenuhi adalah \(17(60) − 7 = 1013\)

• Himpunan bagian yang terdiri 1 anggota tanpa memuat angka 1 banyaknya adalah \({7\choose 1}= 7\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 2 anggota tanpa memuat angka 2 banyaknya adalah \({7\choose 2}= 21\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 3 anggota tanpa memuat angka 3 banyaknya adalah \({7\choose 3}= 30\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 4 anggota tanpa memuat angka 4 banyaknya adalah \({7\choose 4}= 30\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 5 anggota tanpa memuat angka 5 banyaknya adalah \({7\choose 5}= 21\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 6 anggota tanpa memuat angka 6 banyaknya adalah \({7\choose 6}= 7\) himpunan
• Himpunan bagian yang terdiri 7 anggota tanpa memuat angka 7 banyaknya adalah \({7\choose 7}= 1\) himpunan

Jadi banyaknya himpunan bagian yang memenuhi adalah

\(7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127\)