Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika tahun 2023 Part 1

OSN SMA SMP

31. A circle of radius 3 crosses the center of a square of side length 2. Find the difference between the areas of the nonoverlapping portions of the figures.


Selisih daerah yang tidak saling overlapping adalah \(𝐢 βˆ’ 𝐴\).
\(𝐴 + 𝐡 = 4\)
\(𝐡 + 𝐢 = 9πœ‹\)
\(𝐢 βˆ’ 𝐴 = (𝐡 + 𝐢) βˆ’ (𝐴 + 𝐡) = 9πœ‹ βˆ’ 4\)


32. How many six-digit multiples of 27 have only 3, 6, or 9 as their digits?


Bilangan 6 digit tersebut ketika dibagi 3 maka hasilnya adalah bilangan kelipatan 9. karena keenam digitnya hanya terdiri dari angka 3, 6 atau 9, maka bilangan kelipatan 9 yang memenuhi tersusun dari digit 1, 2 atau 3. Kemungkinan bilangan yang memenuhi adalah:

  • 333333 jumlah digitnya adalah 18, habis dibagi sembilan, banyak permutasi hanya 1
  • 111222 jumlah digitnya adalah 9, habis dibagi sembilan, banyak permutasinya \(\frac{6!}{3!3!}= 20\) bilangan.
  • 111123 jumlah digitnya adalah 9, habis dibagi sembilan, banyak permutasinya \(\frac{6!}{4!}= 30\) bilangan.

Jadi banyaknya bilangan yang memenuhi adalah \(1 + 20 + 30 = 51\)


33. Find \(π‘Ž + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒\) if

\(3π‘Ž + 2𝑏 + 4𝑑 = 10,\)
\(6π‘Ž + 5𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑 + 2𝑒 = 8,\)
\(π‘Ž + 𝑏 + 2𝑐 + 5𝑒 = 3,\)
\(2𝑐 + 3𝑑 + 3𝑒 = 4,\)
\(π‘Ž + 2𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 7\)


Jumlahkan persamaan (1), (3) dan (5)

\(3π‘Ž + 2𝑏 + 4𝑑 = 10\)
\(π‘Ž + 𝑏 + 2𝑐 + 5𝑒 = 3\)
\(π‘Ž + 2𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 = 7\)
______________________+
\(5π‘Ž + 5𝑏 + 5𝑐 + 5𝑑 + 5𝑒 = 20\)
\(π‘Ž + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 4\)


34. Di dalam laci terdapat dua kaos kaki merah, dua kaos kaki hitam, 2 kaos kaki putih dan beberapa kaos kaki biru. Jika diambil 2 kaos kaki secara acaka tanpa pengembalian, peluang terambilnya kaos kaki yang berwarna sama adalah 1/5. Berapa banyak kaos kaki biru di dalam laci tersebut?


Misalkan banyak kaos kaki biru adalah \(x\)
Peluang yang terambil 2 kaos kaki berwarna sama adalah

\(\frac{2 Γ— 1}{(6 + π‘₯)(5 + π‘₯)}+\frac{2 Γ— 1}{(6 + π‘₯)(5 + π‘₯)} +\frac{2 Γ— 1}{(6 + π‘₯)(5 + π‘₯)}+\frac{π‘₯(π‘₯ βˆ’ 1)}{(6 + π‘₯)(5 + π‘₯)}=\frac{1}{5}\)

\(β‡’\frac{6 + π‘₯(π‘₯ βˆ’ 1)}{(6 + π‘₯)(5 + π‘₯)}=\frac{1}{5}\)
\(β‡’\frac{π‘₯^2 βˆ’ π‘₯ + 6}{π‘₯^2 + 11π‘₯ + 30}=\frac{1}{5}\)
\(β‡’ 5π‘₯^2 βˆ’ 5π‘₯ + 30 = π‘₯^2 + 11π‘₯ + 30\)
\(β‡’ 4π‘₯^2 βˆ’ 16π‘₯ = 0\)
\(β‡’ 4π‘₯^2 = 16π‘₯\)
\(β‡’ π‘₯ = 4\)

Jadi banyak kaos kaki biru ada \(4\)


35. Berapakah banyak bilangan 2 digit yang nilainya 7 kali dari jumlah digitnya?


\(\overline{ab} = 7(π‘Ž + 𝑏)\)
\(β‡’10π‘Ž + 𝑏 = 7π‘Ž + 7𝑏\)
\(β‡’3π‘Ž = 6𝑏\)
\(β‡’\frac{π‘Ž}{𝑏}=\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}\)
Bilangan yang memenuhi adalah \(21, 42, 63\) dan \(84\) ada 4 bilangan.


36. In triangle \(𝐡𝐸𝑁\) shown below with its altitudes intersecting at \(𝑋, 𝑁𝐴 = 7, 𝐸𝐴 = 3, 𝐴𝑋 = 4\), and \(𝑁𝑆 = 8\). Find the area of \(𝐡𝐸𝑁\).


Dengan menggunakan rumus Pythagoras

\(𝐸𝑋 = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
\(𝑁𝑋 = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\)
\(𝑆𝑋 = \sqrt{65 βˆ’ 64} = \sqrt 1 = 1\)

Karena \(Δ𝐴𝑋𝐸 β‰ˆ Δ𝐡𝑆𝑋\), maka berlaku perbandingan
\(\frac{𝐡𝑋}{𝐸𝑋}=\frac{𝑆𝑋}{𝑋𝐴}β‡’ 𝐡𝑋 =\frac{1}{4}(5) =\frac{5}{4}\)

Jadi \([𝐡𝐸𝑁] =\frac{1}{2}(𝑁𝐸)(𝐡𝑋 + 𝐴𝑋) =\frac{1}{2}(10)(\frac{5}{4}+ 4) = (5) (\frac{21}{4}) =\frac{105}{4}\) satuan luas


37. Jika \(π‘₯, 𝑦, 𝑧\) adalah bilangan real yang memenuhi \(π‘₯𝑦 = 6, π‘₯ βˆ’ 𝑧 = 2\), dan \(π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 = 9\), hitunglah nilai dari

\(\frac{π‘₯}{𝑦}βˆ’\frac{𝑧}{π‘₯}βˆ’\frac{𝑧^2}{π‘₯𝑦}\)


\(\frac{π‘₯}{𝑦}βˆ’\frac{𝑧}{π‘₯}βˆ’\frac{𝑧^2}{π‘₯𝑦}=\frac{π‘₯^2 βˆ’ 𝑦𝑧 βˆ’ 𝑧^2}{π‘₯𝑦}\)
Kalikan \((π‘₯ βˆ’ 𝑧)\) dan \(( π‘₯ + 𝑦 + 𝑧)\)

\((π‘₯ βˆ’ 𝑧)( π‘₯ + 𝑦 + 𝑧) = π‘₯^2 + π‘₯𝑦 + π‘₯𝑧 βˆ’ π‘₯𝑧 βˆ’ 𝑦𝑧 βˆ’ 𝑧^2 = π‘₯^2 + π‘₯𝑦 βˆ’ 𝑦𝑧 βˆ’ 𝑧^2 = 18\)

Misalkan

\(𝑁 =\frac{π‘₯}{𝑦}βˆ’\frac{𝑧}{π‘₯}βˆ’\frac{𝑧^2}{π‘₯𝑦}=\frac{π‘₯^2 βˆ’ 𝑦𝑧 βˆ’ 𝑧^2}{π‘₯𝑦}\)

\(𝑁 + 1 =\frac{π‘₯^2 βˆ’ 𝑦𝑧 βˆ’ 𝑧^2}{π‘₯𝑦}+\frac{π‘₯𝑦}{π‘₯𝑦}\)\(=\frac{π‘₯^2+π‘₯π‘¦βˆ’π‘¦π‘§βˆ’π‘§^2}{π‘₯𝑦}\)\( =\frac{18}{6}= 3\)

\(𝑁 = 3 βˆ’ 1 = 2\)


38. Compute the sum of all positive integers \(π‘Ž ≀ 26\) for which there exist integers \(𝑏\) and \(𝑐\) such that \(π‘Ž + 23𝑏 + 15𝑐 βˆ’ 2\) and \(2π‘Ž + 5𝑏 + 14𝑐 βˆ’ 8\) are both multiples of \(26\).


Terdapat bilangan bulat b dan c, sedemikian sehingga

\(π‘Ž + 23𝑏 + 15𝑐 ≑ 2\; π‘šπ‘œπ‘‘ 13 β‡’ π‘Ž + 10𝑏 + 2𝑐 ≑ 2\; π‘šπ‘œπ‘‘ 13 … (1)\)
\(π‘Ž + 5𝑏 + 14𝑐 ≑ 8\; π‘šπ‘œπ‘‘ 13 β‡’ π‘Ž + 5𝑏 + 𝑐 ≑ 8\; π‘šπ‘œπ‘‘ 13 … (2)\)

Kalikan \(2\) persamaan \((2)\)

\(2π‘Ž + 10𝑏 + 2𝑐 ≑ 16\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\)

Kurangkan persamaan \(2π‘Ž + 10𝑏 + 2𝑐 ≑ 16\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\) dan \(π‘Ž + 10𝑏 + 2𝑐 ≑ 2\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\), diperoleh

\(3π‘Ž ≑ 14\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\)
\(3π‘Ž ≑ 1\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\)

Kalikan kedua ruas dengan 9

\(27π‘Ž ≑ 9\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\)
\(π‘Ž ≑ 9\; π‘šπ‘œπ‘‘\; 13\)

Karena nilai \(π‘Ž < 26\), maka nilai \(π‘Ž\) yang memenuhi adalah \(9\) dan \(22\), diperoleh \(𝑏 = 0\) dan \(𝑐 =3\). Jadi jumlah semua nilai \(π‘Ž\) adalah \(9 + 22 = 31\)


39. Tentukan banyak nilai \(n\) sehingga \(\frac{5𝑛+6}{π‘›βˆ’3}\) bilangan bulat!


\(\frac{5𝑛 + 6}{𝑛 βˆ’ 3}= \frac{5(n-3)}{n-3} +\frac{21}{𝑛 βˆ’ 3}=5+\frac{21}{n-3}\)

Karena hasilnya bilangan bulat maka dipastikan \(n-3\) merupakan factor bulat dari \(21\) atau

\(𝑛 βˆ’ 3 = \{βˆ’21, βˆ’7, βˆ’3, βˆ’1, 1, 3, 7, 21\}\)

Banyaknya nilai \(n\) yang memenuhi sama dengan banyaknya factor bulat dari \(21\) yaitu sebanyak \(8\) bilangan


40. Perhatikan gambar berikut!

Diketahui \(AC = BC\) dan \(AB = AP = CP\). Hitunglah besar sudut \(βˆ π΄π‘ƒπΆ\)!


Misalkan \(βˆ πΆπ΄π‘ƒ = π‘ŽΒ°\)
Karena \(AP = CP\) maka \(βˆ πΆπ΄π‘ƒ = βˆ π΄πΆπ‘ƒ = π‘ŽΒ°\)
Berdasarkan sifat sudut pada segitiga \(APC\) karena \(βˆ πΆπ΄π‘ƒ = βˆ π΄πΆπ‘ƒ = π‘ŽΒ°\) maka \(βˆ π΄π‘ƒπ΅ = π‘ŽΒ° + π‘ŽΒ° = 2π‘ŽΒ°\)
Karena \(AP = AB\) maka \(βˆ π΄π‘ƒπΆ = βˆ π΄π΅π‘ƒ = 2π‘ŽΒ°\)
Karena \(AC = CB\) maka \(∠𝐢𝐴𝐡 = βˆ π΄π΅π‘ƒ = ∠𝐴𝐡𝐢 = 2π‘ŽΒ°\)
Jumlah sudut pada segitiga \(ABC\)
\(∠𝐢𝐴𝐡 + ∠𝐴𝐡𝐢 + ∠𝐴𝐢𝐡 = 180°\)
\(2π‘ŽΒ° + 2π‘ŽΒ° + π‘ŽΒ° = 180Β°\)
\(5π‘ŽΒ° = 180Β°\)
\(π‘ŽΒ° = 36Β°\)
Selanjutnya pada segitiga \(APC\)
\(βˆ π΄π‘ƒπΆ + βˆ πΆπ΄π‘ƒ + βˆ π΄πΆπ‘ƒ = 180Β°\)
\(βˆ π΄π‘ƒπΆ + π‘ŽΒ° + π‘ŽΒ° = 180Β°\)
\(βˆ π΄π‘ƒπΆ + 36Β° + 36Β° = 180Β°\)
\(βˆ π΄π‘ƒπΆ + 72Β° = 180Β°\)
\(βˆ π΄π‘ƒπΆ = 180Β° βˆ’ 72Β° = 108Β°\)


Pages ( 3 of 3 ): Β« Previous12 3

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *