Soal Latihan Persiapan Lomba OSN Matematika Tingkat SD Tahun 2023 Part 2

Banyak bilangan genap dari 2 sampai dengan 100 ada 50 bilangan, jika dipasangpasangkan
ada 25 pasang, dari soal di atas angka 2 sebanya 25 pasang jadi,
\((100 – 98) + (96 – 94) + ⋯+ (8 – 6) + (4 – 2)\)
\(= 2 + 2 + 2 + ⋯ + 2\)
\(= 2(25) = 50\)

Gunakan logika

\([(\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}} + 4) ×\frac{1}{3}] ÷\frac{1}{5}= 10\)

\([(\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}} + 4) ×\frac{1}{3}] × 5= 10\)

Bilangan yang dikalikan \(5\) sama dengan \(10\) adalah \(2\), maka

\((\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}} + 4) ×\frac{1}{3}= 2\)

Bilangan yang dikali \(\frac{1}{3}\) sama dengan 2 adalah 6, maka nilai

\((\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}} + 4)\)

Bilangan yang ditambahkan dengan \(4\) hasilnya \(6\) adalah \(2\), maka nilai

\(\sqrt{1 + \sqrt{𝑥 − 3}}=2\)

Bilangan yang diakarkan hasilnya \(2\) adalah \(4\), maka nilai

\(1 + \sqrt{𝑥 − 3} = 4\)

Bilangan yang ditambahkan \(1\) hasilnya \(4\) adalah \(3\), maka nilai

\(\sqrt{𝑥 − 3} = 3\)

Bilangan yang diakarin sama dengan \(3\) adalah \(9\), maka nilai

\(𝑥 − 3 = 9\)

Jadi nilai \(x\) adalah \(12\)

Diketahui :
Banyak siswa peremuan \((P)\) adalah \(60\%\)
Banyak siswa laki-laki \((L)\) sisanya yaitu \(40\%\)
Perbandingan \(𝑃 ∶ 𝐿 = 60 ∶ 40\)
Misalkan banyak siswa \(𝑃 = 60𝑛\) dan \(𝐿 = 40𝑛\)
Total siswa seluruhnya \(60𝑛 + 40𝑛 = 100𝑛\)
Laki-laki dari Provinsi Jawa Timur sebanyak \(50\%(40𝑛) = 20𝑛\)
Perempuan dari provinsi Jawa Timur sebanyak \(60\%(60𝑛) = 36𝑛\)
Total siswa dari Provinsi Jawa timur adalah \(20𝑛 + 36𝑛 = 56𝑛\)
Total siswa dari luar provinsi Jawa Timur adalah \(100𝑛 − 56𝑛 = 44𝑛\)
Jadi persentase siswa di luar provinsi Jawa Timur adalah
\(\frac{44𝑛}{100𝑛}× 100\% = 44\%\)

Perhatikan \(Δ𝐵𝑂𝐶\), segitiga tersebut merupakan segitiga sama kaki, panjang \(𝑂𝐶 = 𝑂𝐵\),
karena merupkan segitiga sama kaki maka sudut dikedua kakinya sama, misalkan sudutnya adalah \(𝑥°\)
Jumlah sudut pada segitiga adalah \(180°\)

\(𝑥° + 𝑥° + 70° = 180°\)
\(2𝑥° = 180° − 70° = 110°\)
\(𝑥 =\frac{110°}{2}= 55°\)

Karena segitiga \(ACB\) merupakan segitiga siku-siku maka

\(∠𝑂𝐴𝑃 + 𝑥 + 90° = 180°\)
\(∠𝑂𝐴𝑃 + 55 + 90° = 180°\)
\(∠𝑂𝐴𝑃 = 35°\)

Waktu tempuh dari kota A ke B adalah \(𝑡_1\)
Waktu tempuh dari kota B ke A adalah \(𝑡_2\)
\(𝑡_1 + 𝑡_2 = 15\) jam
Kecepatan dari A ke B adalah \(𝑣_1 = 40\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Kecepatan dari B ke A adalah \(𝑣_2 = 60\) 𝑘𝑚/𝑗𝑎𝑚
Karena jarak A ke B dan B ke A sama, maka

\(\text{𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐴 𝑘𝑒 𝐵} = \text{𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝐵 𝑘𝑒 𝐴}\)
\(𝑣_1 × 𝑡_1 = 𝑣_2 × 𝑡_2\)
\(40 × 𝑡_1 = 60 × 𝑡_2\)

Diperoleh perbandingan \(𝑡_1: 𝑡_2 = 60: 40 = 3 ∶ 2\)
Karena \(𝑡_1 + 𝑡_2 = 15\) jam maka
\(𝑡_1 =\frac{3}{3+2}×15 = 9\) jam
Jarak A ke B \(= 𝑣_1 × 𝑡_1 = 40 × 9= 360\) 𝑘𝑚

\(\frac{𝑥 + 𝑦}{2}= 19 ⇒ 𝑥 + 𝑦 = 38\)

Selanjutnya

\(\frac{𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{3}= 14 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 42\)

Jadi rata-rata \(x, y, a, b\) and \(c\) adalah

\(\frac{𝑥 + 𝑦 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐}{5}=\frac{38 + 42}{5}=\frac{80}{5}= 16\)

\(159999 = 160000 − 1\)
\(= 20^4 − 1\)
\(= (20^2)^2 − 1^2\)
\(= (20^2 − 1)(20^2 + 1)\)
\(= (20 − 1)(20 + 1)(401)\)
\(= 19(21)(401)\)
\(= (19)(3)(7)(401)\)
Jumlah semuaf factor prima adalah \(19 + 3 + 7 + 401 = 430\)

Misalkan luas \(𝐷𝐸𝐹 = 𝑎\)

karena \(AE = EF\)  maka \([DEF]=[ADE]=a\)
karena \(DF = FB\) maka \([DEF]=[FEB]=a\)
Karena \(AE = EF\) maka \([FEB]=[AEB]=a\)
karena \(CD = DE\) maka \([ADE]=[CDA]=a\)
karena \(CD = DE\) maka \([CDB]=[DEB]=2a\)

Berdasarkan keterangan gambar di atas

\(𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 2𝑎 = 56\)
\(7𝑎 = 56 ⇒ 𝑎 = 8\)

Jadi luas segitiga \(𝐷𝐸𝐹\) adalah \(8\)

\(𝑥̅ =\frac{2 + (1\frac{1}{2}+ 6\frac{1}{2}) + 3 + 𝑥 + 3\frac{7}{8}+ 4\frac{1}{8}+ 5 + 4 + 𝑦}{10}= 3,9\)
\(⇒ 2 + 8 + 3 + 𝑥 + 8 + 9 + 𝑦 = 39\)
\(⇒ 13 + 𝑥 + 17 + 𝑦 = 39\)
\(⇒ 30 + 𝑥 + 𝑦 = 39\)
\(⇒ 𝑥 + 𝑦 = 9\)

selisih \(x\) dan \(y\) adalah \(2\frac{1}{2}\) dan \(x < y\), dapat ditulis menjadi \(𝑦 − 𝑥 = 2\frac{1}{2}⇒ 𝑥 = 𝑦 −\frac{5}{2}\)
Subtitusi \(x\) ke persamaan \(𝑥 + 𝑦 =9\), diperoleh

\(𝑥 + 𝑦 = 9\)
\(𝑦 −\frac{5}{2}+ 𝑦 = 9\)
\(2𝑦 = 9 +\frac{5}{2}\)
\(𝑦 =\frac{\frac{23}{2}}{2}=\frac{23}{4}= 5\frac{3}{4}\)

Bruto = \(100\) kg
Tara = \(2\%\) atau \(2\%\) dari \(100\) kg adalah \(2\) kg
Berat bersih (Netto) \(= 100 – 2 = 98\) kg
Agar untung \(20\%\) maka harga penjualan adalah

\(𝐻𝐽 =\frac{100 + 20}{100}× 294.000 =\frac{120}{100}× 294.000 = 352.800\)

Karena banyak gula yang dijual adalah \(98\) kg, maka harga jual perkilo untuk mendapatkan harga penjualan \(352.800\) adalah

\(\text{𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑒𝑟 𝑘𝑖𝑙𝑜} =\frac{352.800}{98} = 3.600\)

Jadi harga jual perkilo adalah \(Rp3.600,00\)

\(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 900.000\)
\(𝐴 =\frac{1}{2}(𝐵 + 𝐶 + 𝐷)\)
\(𝐵 =\frac{2}{3}(𝐶 + 𝐷)\)
\(𝐶 = 3𝐷\)

Selanjutnya

\(𝐴 =\frac{1}{2}(𝐵 + 𝐶 + 𝐷)\)
\(2𝐴 = (𝐵 + 𝐶 + 𝐷)\)
\(2𝐴 = 900.000 − 𝐴\)
\(3𝐴 = 900000\)
\(𝐴 = 300.000\)

Diperoleh \(𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 600.000\)
Dengan cara yang sama

\(𝐵 =\frac{2}{3}(𝐶 + 𝐷)\)
\(3𝐵 = 2(𝐶 + 𝐷)\)
\(3𝐵 = 2(600.000 − 𝐵)\)
\(3𝐵 = 1200000 − 2𝐵\)
\(5𝐵 = 1200000\)
\(𝐵 = 240.000\)

Diperoleh \(𝐶 + 𝐷 = 360.000\)
Selanjutnya, subtitusi \(𝐶 = 3𝐷\) ke persamaan

\(𝐶 + 𝐷 = 360.000\), diperoleh
\(3𝐷 + 𝐷 = 360.000\)
\(4𝐷 = 360.000\)
\(𝐷 = 90.000\)

Jadi banyak uang yang diterima oleh \(D\) adalah \(90.000\)

\(25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 + 25^𝑥 = 5^{2023}\)
\(5^{2𝑥} + 5^{2𝑥} + 5^{2𝑥} + 5^{2𝑥} + 5^{2𝑥} = 5^{2023}\)
\(5(5^{2𝑥} ) = 5^2023\)
\(5^{2𝑥+1} = 5^{2023}\)

Diperoleh \(2𝑥 + 1 = 2023 ⇒ 2𝑥 = 2022 ⇒ 𝑥 = 1011\)

Diketahui:
\(𝑝 = 1\frac{1}{3}𝑙 =\frac{4}{3}𝑙 ⇒ 𝑙 =\frac{3}{4}𝑝\)
\(𝑝 = 2𝑡 ⇒ 𝑡 =\frac{1}{2}𝑝\)

\(𝑉 = 𝑝𝑙𝑡 = 5184\)
\(𝑝(\frac{3}{4}𝑝)(\frac{1}{2}𝑝) = 5184\)
\(\frac{3}{8}𝑝^3 = 5184\)
\(𝑝^3 =\frac{8}{3}(5184) = 13824\)
\(𝑝 =\sqrt[3]{13824} = 24\)

Diperoleh \(𝑙 =\frac{3}{4}(24) = 18\) dan \(𝑡 =\frac{1}{2}𝑝 =\frac{1}{2}(24) = 12\) 𝑐𝑚
Jadi luas permukaan balok tersebut adalah
\(2(𝑝𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝑙𝑡) = 2(24.18 + 24.12 + 18.12) = 2(432 + 288 + 216) = 2(936) = 1872\) 𝑐𝑚³

Karena perpotongan diagonal persegi panjang sama panjang maka

\(\text{luas AOB} = \text{luas BOC} =\frac{1}{4}\text{Luas arsiran} =\frac{1}{4}(12) = 3\; 𝑐𝑚^2\).

Jadi luas segi delapan beraturan terbentuk dari 8 buah segitiga \(AOB\), luasnya adalah adalah \(3(8) = 24\; 𝑐𝑚^2\)

Misalkan bilangan tersebut adalah \(\overline{ab}\), maka

\(\overline{ab}= 7(𝑎 + 𝑏)\)
\(⇒10𝑎 + 𝑏 = 7(𝑎 + 𝑏)\)
\(⇒10𝑎 + 𝑏 = 7𝑎 + 7𝑏\)
\(⇒10𝑎 − 7𝑎 = 7𝑏 − 𝑏\)
\(⇒3𝑎 = 6𝑏\)
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{6}{3}=\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}\)

Jadi bilangan dua digit yang memenuhi adalah \(21, 42, 63\) dan \(84\) banyaknya ada \(4\).

Untuk pembilang jabarkan dengan menggunakan rumus \(a^2 – b^2 = (a+b)(a-b)\)

\(\frac{(1 −\frac{1}{2^2})(1 −\frac{1}{3^2})(1 −\frac{1}{4^2}) … (1 −\frac{1}{2023^2})}{(1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{3}) (1 −\frac{1}{4}) … (1 −\frac{1}{2023})}\)

\(=\frac{(1 −\frac{1}{2})(1 +\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{3})(1 +\frac{1}{3})(1 −\frac{1}{4})(1 +\frac{1}{4}) … (1 −\frac{1}{2023})}{(1 +\frac{1}{2023})(1 −\frac{1}{2})(1 −\frac{1}{3})(1−\frac{1}{4}) … (1 −\frac{1}{2023})}\)

\(= (1 +\frac{1}{2})(1 +\frac{1}{3})(1 +\frac{1}{4}) … (1 +\frac{1}{2023})\)

\(= (\frac{3}{2})(\frac{4}{3})(\frac{5}{4})(\frac{6}{5}) … (\frac{2024}{2023})\)

\(=\frac{2024}{2}= 1012\)

Misalkan banyaknya ikan , burung dan kucing adalah \(I, B\) dan \(K\)

\(𝐼 + 𝐾 + 𝐵 = 15\)
\(4𝐾 + 2𝐵 = 14\)

Dengan melakukan percobaan, diperoleh \(K=3, B=1\) atau \(K=1, B=5\) atau \(K=2, B=3\), ada \(3\) kemungkinan banyaknya ikan yaitu, \(11, 9\) atau \(10\), karena banyaknya ikan genap maka banyak ikan adalah \(10\) ikan.

Diketahui kecepatan pipa \(A :\frac{1}{50}\)
dan kecepatan pipa \(B :\frac{1}{100}\)
Jika \(2\) pipa \(A\) dan \(1\) Pipa \(B\) bekerja bersama-sama maka total kecepatan:

\(\frac{1}{50}+\frac{1}{50}+\frac{1}{100}=\frac{2 + 2 + 1}{100}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)

Jadi waktu yang diperlukan \(2\) pipa \(A\) dan \(1\) pipa \(B\) untuk mengisi \(1\) ember adalah \(20\) detik

\(\frac{1}{𝑛}+\frac{2}{𝑛}+\frac{3}{𝑛}+ ⋯ +\frac{32}{𝑛}+\frac{33}{𝑛}=\frac{\frac{(1 + 33)34}{2}}{𝑛}=\frac{\frac{(34)33}{2}}{𝑛}=\frac{17(33)}{𝑛}=\frac{3 × 11 × 17}{𝑛}\)

Banyaknya nilai \(n\) sama dengan banyak factor positif dari \(3 × 11 × 17\) yaitu \((1 + 1)(1 + 1) (1 + 1) = 8\)

Samakan total pekerjaan jika dikerjakan oleh 16 orang dalam 12 hari dan 24 orang dalam 𝑛 hari.

\(16 × 12 = 24 × 𝑛\)
\(𝑛 =\frac{16×12}{24}=8\)

Jadi waktu yang diperlukan 24 orang untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama adalah 8 hari.

Misalkan pecahan tersebut adalah \(\frac{𝑎}{𝑏}\)
Jika pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 3, maka hasilnya \(\frac{3}{4}\), dapat ditulis

\(\frac{𝑎 + 2}{𝑏 + 3}=\frac{3}{4}\)
\(⇒ 4𝑎 + 8 = 3𝑏 + 9\)
\(⇒ 4𝑎 − 3𝑏 = 9 − 8\)
\(⇒ 4𝑎 − 3𝑏 = 1 … (1)\)

Selanjutnya,
Jika pembilang dikurangi 1 dan penyebutnya ditambah 4, maka hasilnya \(\frac{1}{3}\), dapat ditulis

\(\frac{𝑎 − 1}{𝑏 + 4}=\frac{1}{3}\)
\(⇒ 3𝑎 − 3 = 𝑏 + 4\)
\(⇒ 3𝑎 − 𝑏 = 7 … (2)\)

Eliminasi pers (1) dan 3 x pers (2)
\(4𝑎 − 3𝑏 = 1\)
\(9𝑎 − 3𝑏 = 21\)
___________________ −
\(−5𝑎 = −20\)
\(𝑎 = 4\)
subtitusi nilai \(𝑎\) ke pers (1)
\(4(4) − 3𝑏 = 1\)
\(16 − 3𝑏 = 1\)
\(−3𝑏 = −15\)
\(𝑏 = 5\)

Jadi diperoleh pecahan tersebut adalah
\(\frac{𝑎}{𝑏}=\frac{4}{5}\)

Misalkan umur adik adalah \(𝑎\) dan umur kedua kakak kembarnya adalah \(𝑏\)

\(𝑎 × 𝑏 × 𝑏 = 128 = 2 × 8 × 8\)

Diperoleh umur adik adalah 2 tahun dan umur kakak kembarnya adalah 8 tahun. Jadi jumlah umur ketiganya adalah 2 + 8 + 8 = 18 tahun

Data setelah diurutkan

\(4\%, 5\%, 7\%, 9\%\)

Syarat 1 :Nilai kelima kurang dari sama dengan 5%, maka mediannya adalah 5%
Syarat 2 :Nilai kelima sama dengan 6% mediannya 6%
Syarat 3 :Nilai kelima lebih dari sama dengan 7% mediannya 7%
Misalkan nilai kelima sama dengan \(y\) dan rata-ratanya \(x\), dengan menggunakan rumus
rata-rata

\(\frac{4\% + 5\% + 7\% + 9\% + 𝑦\%}{5}= 𝑥\%\)
\(25\% + 𝑦\% = 5𝑥\%\)

Yang memenuhi persamaan di atas adalah \(𝑥 = 7\%\) dan \(𝑦 = 10\%\). Jadi nilai kelima adalah \(10\)

Banyaknya bilangan yang terbentuk ada 3 × 3 × 2 × 1 = 18 bilangan Yang satuannya 0 ada 3 × 2 × 1 × 1 = 6 bilangan, tersisa 12 bilangan yang bersatuan 2, 3 dan 4 masing-masing terbagi menjadi 4 bilangan ribuan. Jadi jika semua bilangan di jumlahkan maka satuannya adalah

6(0) + 4(2 + 3 + 4) = 0 + 36 ≡ 6 𝑚𝑜𝑑 10

Misalkan banyak penonton dewasa dan anak-anak adalah \(D\) dan \(A\)

\(40𝐷 + 15𝐴 = 5000\)

Diketahui juga perbandingan \(D : A = 40\% : 60\% = 2 ∶ 3\)

Misalkan \(𝐷 = 2𝑥\) dan \(𝐴 = 3𝑥\)
Subtitusi nilai \(D\) dan \(A\) ke persamaan \(40𝐷 + 15𝐴 = 5000\), diperoleh

\(40(2𝑥) + 15(3𝑥) = 5000\)
\(80𝑥 + 45𝑥 = 5000\)
\(125𝑥 = 5000\)
\(𝑥 = 40\)

Jadi banyak anak-anak ada \(3x = 3(40) =120\) anak.

Sumbu x membagi dua bagian berbentuk segitiga, namakan segitiga atas dan segitiga bawah

Luas bangun = Luas atas + Luas bawah = \(\frac{4×1}{2}+\frac{4×4}{2}=2+8=10\) satuan luas