Soal Lomba Matematika MCR Tingkat SMA

Misalkan bilangan palindrome 5 digit adalah \(\overline{𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎}\), Agar bilangan \(\overline{𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎}\) habis dibagi 3 maka
\(𝑎+𝑏+𝑐+𝑏+𝑎=0\) mod \(3\)
\(2(𝑎+𝑏)+𝑐=0\) mod \(3\)
• Untuk \(𝑐=0\), maka \(𝑎+𝑏=0\) mod \(3\), \(𝑎+𝑏\) yang mungkin adalah \(\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\), banyak bilangan yang memenuhi ada \(3 + 6 + 9 + 7 + 4 + 1 = 30\) bilangan
• Untuk \(𝑐=1\), maka \(𝑎+𝑏=2\) mod \(3\), \(𝑎+𝑏\) yang mungkin adalah \(\{2, 5, 8, 11, 14, 17\}\), banyak bilangan yang memenuhi ada \(2 + 5 + 8 + 8 + 5 + 2 = 30\) bilangan
• Untuk \(𝑐=2\), maka \(𝑎+𝑏=1\) mod \(3\), \(𝑎+𝑏\) yang mungkin adalah \(\{1, 4, 7, 10, 13, 16\}\), banyak bilangan yang memenuhi ada \(1 + 4 + 7 + 9 + 6 + 3 = 30\) bilangan.

Dari keterangan di atas untuk \(𝑐=\{3,4,…,9\}\) membentuk pola pengulangan sebanyak \(3\) kali, jadi banyak pasangan \((a,b)\) juga sebanyak \(30\) bilangan

Jadi banyaknya bilangan polindrom lima digit yang habis dibagi \(3\) sebanyak \(30\times 10 = 300\) bilangan

Misalkan:
\(𝑃(𝑥)=2013𝑥^4+2014𝑥^3+2015𝑥^2+2016𝑥+2017\)

dengan menggunakan teorema sisa, jika \(p(x)\) dibagi \(x-1\) memiliki sisa sama dengan \(𝑃(1)=2013+2014+2015+2016+2017=10075\), diperoleh
\(\frac{𝑃(𝑥)}{𝑥−1}=𝑞(𝑥)+\frac{10075}{𝑥−1}\)
Agar \(𝑃(𝑥)\) habis dibagi \(𝑥−1\) maka \(\frac{10075}{𝑥−1}\) merupakan bilangan bulat.

Banyaknya bilangan bulat \(x\) yang memenuhi sama dengan mencari banyak faktor positif dari \(10075\) lalu dikali \(2\).

faktorisasi prima \(10075 =5^2\times 13\times 31\)
Banyaknya factor bilangan bulat dari \(10075\) adalah \((2+1)(1+1)(1+1)\times 2=24\) bilangan

menyerdehanakan pangkat dengan menggunakan fungsi euler

\(𝜑(100)=100(1−\frac{1}{2})(1−\frac{1}{5})=100(\frac{1}{2})(\frac{4}{5})=40\)

\(43^{43}\) mod \(40\) = …

\(𝜑(40)=40(1−\frac{1}{2})(1−\frac{1}{5})=40(\frac{1}{2})(\frac{4}{5})=16\)

\(43^{43\; 𝑚𝑜𝑑\; 16}\) mod \(40\) \(= 3^{11}\) mod \(40\) \(= (3^4)^2.3^3\) mod \(40\) \(= 27\)

\(43^{43^{43}}=43^{27}\) mod \(100\)\( = (43^2)^{12}.43^3\) mod \(100\)
\(=(49^2)^6.43^3\) mod \(100\)
\(=1.43^3\) mod \(100\)
\(=7\) mod \(100\)

Gunakan rumus : \(\sqrt{(𝑎+𝑏)±2\sqrt{𝑎𝑏}}=\sqrt {𝑎} ± \sqrt {𝑏}\)

\(\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−6\sqrt{14\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−2\sqrt{9.14\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−2\sqrt{126\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−2\sqrt{252\times \frac{1}{2}\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252}−\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt 2}\)

\(\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2+6\sqrt{14\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2+2\sqrt{9.14\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2+2\sqrt{126\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2+2\sqrt{252\times \frac{1}{2}\sqrt 2}}\)
\(=\sqrt{252}+\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt 2}\)

selanjutnya subtitusi persamaan di atas ke persamaan berikut ini untuk mencari nilai c

\(\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−6\sqrt{14\sqrt 2}} +\sqrt{252+\frac{1}{2}\sqrt 2−6\sqrt{14\sqrt 2}}=\frac{1}{2}\sqrt {c}\)

\(⇒\sqrt{252}−\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt 2}+\sqrt{252}+\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt 2}=\frac{1}{2}\sqrt {c}\)

\(⇒2\sqrt{252}=\frac{1}{2}\sqrt {c}\)

\(⇒4\sqrt{252}=\sqrt {c}\)

\(⇒c=16\times {252}=4032\)

\(\begin{align}
3^{1999} × 8 × 7^{2000}\; mod\; 22 &≡ 3^{1999} × 8 × 7^{1999} × 7\; mod\; 22\\
&≡ 21^{1999} × 56\; mod\; 22\\
&≡ (−1)^{1999} × 12\; mod\; 22\\
&≡ (−1) × 12\; mod\; 22\\
&≡ −12\; mod\; 22\\
&≡ 10\\
\end{align}\)