Soal Lomba Matematika MCR tingkat SMP

MATH CONTEST MCR SMP

MCR (Mathematics Competition Revolution)Β  adalah ajang Kompetisi Matematika tingkat Nasional yang diselenggarakan oleh Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika UNESA . Adapun jenjang yang dilombakan dalam kompetisi ini yakni SD, SMP, dan SMA sederajat secara individu. MCR 2022 akan dilaksanakan secara daring (online) untuk babak penyisihan dan luring (offline) untuk babak semi final & final dengan tema β€œINTEGRAL : Increase Your Intelligence to Create A Golden Mathematician Generation”. Selain itu, ada banyak penghargaan yang dapat dimenangkan dengan total hadiah puluhan juta rupiah serta akan ada banyak pengalaman dan kejutan baru, seru, serta spektakuler.

Berikut ini soal-soal pilihan lomba MCR tingkat SMP, Bagi yang berminat versi lengkap soal-soal MCR bisa membeli bukunya di https://www.mcrlrpunesa.com/


1.Diketahui 2 garis dengan persaamaan \((a^2-2a)x+y=4\) dan \(x+y =5\) saling tegak lurus. Dari titik potong kedua garis ditarik suatu garis yang melalui \((0, 5b)\) dan sejajar dengan garis \(y=2bx+3\). Tentukan nilai \(a+b\). (MCR 2012)


Garis \((π‘Ž^2βˆ’2π‘Ž)π‘₯+𝑦=4\) dan \(π‘₯+𝑦=5\) saling tegaklurus maka berlaku

\(βˆ’\frac{(π‘Ž^2βˆ’2π‘Ž}{1}\times (βˆ’\frac{1}{1})=βˆ’1\)
\(β‡’π‘Ž^2βˆ’2π‘Ž=βˆ’1\)
\(β‡’ π‘Ž^2βˆ’2π‘Ž+1=0\)
\(β‡’ (π‘Žβˆ’1)(π‘Žβˆ’1)=0\)
\(β‡’ π‘Ž=1\)
Selanjutnya cari titik potong garis \(–π‘₯+𝑦=4\) dan \(π‘₯+𝑦=5\), diperoleh \(π‘₯=\frac{1}{2}\) dan \(𝑦=\frac{9}{2}\). Titik potongnnya adalah \((\frac{1}{2},\frac{9}{2})\).
Gradien garis melalui titik \((\frac{1}{2},\frac{9}{2})\) dan titik \((0, 5b)\) adalah \((\frac{5π‘βˆ’\frac{9}{2}}{0βˆ’\frac{1}{2}})=(\frac{5π‘βˆ’\frac{9}{2}}{βˆ’\frac{1}{2}})\)
Gradien \(𝑦=2𝑏π‘₯+3\) adalah \(2𝑏\) Karena kedua garis yang terbentuk sejajar maka gradiennya sama
\(\frac{5π‘βˆ’\frac{9}{2}}{βˆ’\frac{1}{2}}=2𝑏\)
\(β‡’5π‘βˆ’\frac{9}{2}=βˆ’π‘\)
\(β‡’6𝑏=\frac{9}{2}\)
\(⇒𝑏=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)
Jadi nilai dari \(π‘Ž+𝑏 = 1+\frac{3}{4}=1\frac{3}{4}\)


2. Sebuah daerah persegi akan dibagi menjadi 2016 daerah kecil dengan menarik garis-garis lurus yang menghubungkan dua sisi berbeda pada persegi. Banyak garis lurus yang harus ditarik paling sedikit ada … (MCR 2016)


Membentuk pola \(2, 4, 7, 11, …,π‘Ž_𝑛, π‘Ž_1=2,π‘Ž_2=4,π‘Ž_3=7,π‘Ž_4=11,…\)
Perhatikan pola berikut:

\(π‘Ž_2βˆ’π‘Ž_1=2\)
\(π‘Ž_3βˆ’π‘Ž_2=3\)
\(π‘Ž_4βˆ’π‘Ž_3=4\)
\(…\)
\(π‘Ž_π‘›βˆ’π‘Ž_{π‘›βˆ’1}=𝑛\)

Jumlahkan semua persamaan, diperoleh
\(π‘Ž_π‘›βˆ’π‘Ž_1=\frac{(2+𝑛)(π‘›βˆ’1)}{2}\)
\(π‘Ž_𝑛=\frac{(2+𝑛)(π‘›βˆ’1)}{2}+2\)
Karena ada 2016 daerah kecil yang terbentuk maka
\(π‘Ž_𝑛=\frac{(2+𝑛)(π‘›βˆ’1)}{2}+2β‰₯2016\)
\(⟹(2+𝑛)(π‘›βˆ’1)+4β‰₯4032\)
\(⟹(2+𝑛)(π‘›βˆ’1)β‰₯4028\)
Dengan melakukan percobaan nilai \(𝑛\) terkecil yang mungkin adalah \(63\)


3. Suatu persegi panjang berukuran \(8\times 2\sqrt 2\) mempunyai titik pusat yang sama dengan dengan suatu lingkaran berjari-jari \(2\). Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut. (MCR 2016)


Perhatikan segitiga 𝐡𝑂𝐢 karena \(2, 2\) dan \(2\sqrt 2\) membentuk tripel pythagoras maka \(Δ𝐡𝑂𝐢\) adalah segitiga siku-siku sama kaki. Luas arsiran diperoleh dari gabungan luas \(Δ𝐡𝑂𝐢\) dan \(Δ𝐴𝑂𝐷\) membentuk setengah persegi \(𝐴𝐡𝐢𝐷\) dan Luas juring \(𝐡𝑂𝐢\) dan luas juring \(𝐴𝑂𝐷\) membentuk setengah lingkaran berpusat di \(O\), jadi
Luar arsiran \(=\frac{1}{2}πΏπ‘’π‘Žπ‘  ⨀ +\frac{1}{2}luas\; π‘π‘’π‘Ÿπ‘ π‘’π‘”π‘–=\frac{1}{2}πœ‹(2)^2+\frac{1}{2}(2\sqrt 2)^2=2πœ‹+4\)



4. \(AD\) dan \(BE\) adalah garis berat segitiga \(ABC\). Kedua garis berat ini saling tegak lurus. Hitung panjang \(AB\) jika \(AC=6\) dan \(BC=6\) (MCR 2014)



5. Lima bilangan bulat berbeda \(a,b,c,d,e\) (tidak harus positif) memenuhi \((4-a)(4-b)(4-c)(4-d)(4-e)=12\). Jika \(a>b>c>d>e\). Tentukan nilai dari \((ab+cd)^e\) (MCR 2018)




Pages ( 1 of 5 ): 1 23 ... 5Next Β»

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *